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1、1第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 4.4 洛朗级数洛朗级数一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”二、洛朗二、洛朗( (Laurent) )定理定理三、将函数展开为三、将函数展开为洛朗级数的方法洛朗级数的方法2第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”1. 问题分析问题分析引例引例 根据前面的讨论已知，根据前面的讨论已知，函数函数 在在 点的幂级数点的幂级数展开式为展开式为 事实上，该函数在整个复平面上仅有事实上，该函数在整个复平面上仅有 一个奇点，一个奇点，但正是这样一个奇点，使得函数只能在但正是这样一个奇点，
2、使得函数只能在 内展开内展开为为 z 的幂级数，的幂级数，而在而在 如此广大的如此广大的解析区域解析区域内不能内不能展开为展开为 z 的幂级数。的幂级数。 有没有其它办法呢？有没有其它办法呢？一粒老鼠屎，坏了一锅汤！一粒老鼠屎，坏了一锅汤！3第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”1. 问题分析问题分析设想设想 这样一来，在整个复平面上就有这样一来，在整个复平面上就有由由 ，有有 从而可得从而可得4第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”1. 问题分析问题分析启示启示 如果如果不
3、限制不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个复平面上展开复平面上展开( (除了奇点所在的圆周上除了奇点所在的圆周上) )。 在引入了负幂次项以后，在引入了负幂次项以后，“幂级数幂级数”的收敛特性如何呢？的收敛特性如何呢？ 下面将讨论下列形式的级数下面将讨论下列形式的级数:5第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”分析分析2. 级数级数 的收敛特性的收敛特性将其分为两部分：将其分为两部分：正幂次项部分正
4、幂次项部分与与负幂次项部分负幂次项部分。(A)(B)(1) 对于对于 (A) 式，其收敛域的形式为式，其收敛域的形式为(2) 对于对于 (B) 式，其收敛域的形式为式，其收敛域的形式为根据上一节的讨论可知：根据上一节的讨论可知：6第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”结论结论2. 级数级数 的收敛特性的收敛特性(1) 如果级数如果级数 收敛，收敛，则其收敛域则其收敛域“一定一定”为环域：为环域： 如果只含如果只含正正幂次项幂次项( (或者加上有限个或者加上有限个负负幂次项幂次项) )，特别地特别地则其收敛域为：则其收敛域为：或或 如果
5、只含如果只含负负幂次项幂次项( (或者加上有限个或者加上有限个正正幂次项幂次项) )，则其收敛域为：则其收敛域为： 上述两类收敛域被看作是一种上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域特殊的环域。7第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”结论结论2. 级数级数 的收敛特性的收敛特性(1) 如果级数如果级数 收敛，收敛，则其收敛域则其收敛域“一定一定”为环域：为环域：而且具有与幂级数同样的而且具有与幂级数同样的运算性质运算性质和和分析性质分析性质。(2) 级数级数 在收敛域内其和函数是在收敛域内其和函数是解析解析的的, 因此，下面将讨论如何将一
6、个函数在其解析环域内展开因此，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开为上述形式的级数。为上述形式的级数。8第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 R2z0R1D二、洛朗二、洛朗( (Laurent) )定理定理设函数设函数 在圆环域在圆环域定理定理C 为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。的任何一条简单闭曲线。解析解析,内内在此圆环域中展开为在此圆环域中展开为则则 一定能一定能其中，其中，证明证明 ( (略略) )z zC P94定理定理 4.7 ( (进入证明进入证明?)?)9第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 注注 (1) 展开式中的系数展开式中的系数 可
7、以用下面得方法直接给出。可以用下面得方法直接给出。二、洛朗二、洛朗( (Laurent) )定理定理R2z zz0R1CD10第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 注注 (2) 洛朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为洛朗级数洛朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为洛朗级数二、洛朗二、洛朗( (Laurent) )定理定理的的解析部分解析部分和和主要部分主要部分。(3) 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项的级数是唯一的。的级数是唯一的。(4) 系数系数?(5) 若函数若函数 在圆环在圆环 内解析，则内解析，则 在在在此圆环内的洛朗展
8、开式就是泰勒展开式。在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展开式。11第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 三、将函数展开为三、将函数展开为洛朗级数的方法洛朗级数的方法1. 直接展开法直接展开法 根据洛朗定理，在根据洛朗定理，在指定指定的解析环上的解析环上R2z zz0R1CD直接计算展开系数：直接计算展开系数： 有点繁！有点烦！有点繁！有点烦！12第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 三、将函数展开为三、将函数展开为洛朗级数的方法洛朗级数的方法 根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。代换
9、运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。 两个重要的已知展开式两个重要的已知展开式2. 间接展开法间接展开法13第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 三、将函数展开为三、将函数展开为洛朗级数的方法洛朗级数的方法都需要根据函数的奇点位置，将复平面都需要根据函数的奇点位置，将复平面( (或者题目指定或者题目指定无论是无论是直接展开法直接展开法还是还是间接展开法间接展开法，在求展开式之前，在求展开式之前，注意注意的展开区域的展开区域 ) )分为若干个解析环。分为若干个解析环。比如比如 设函数的奇点为设函数的奇点为展开点为展开点为则复平面则复平面被分为四个解析环：被分为四个解析环：r1r2r314
10、第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 12函数函数 有两个奇点：有两个奇点：以展开点以展开点 为中心，为中心，将复平面分为三个解析环：将复平面分为三个解析环：解解 (1) 将复平面分为若干个将复平面分为若干个解析环解析环(2) 将函数进行将函数进行部分分式部分分式分解分解P97 例例4.13 15第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 解解12 当当 时，时，(3) 将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开16第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 解解12 当当 时，时，(3) 将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开17第四章 解析函数的
11、级数表示 4.4 洛朗级数 解解12 当当 时，时，(3) 将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开18第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 i- - i有两个奇点：有两个奇点：以展开点以展开点 为中心，为中心，将复平面分为两个解析环：将复平面分为两个解析环：解解 (1) 将复平面分为若干个将复平面分为若干个解析环解析环注意：注意：不需要将函数进行不需要将函数进行部分分式部分分式分解。分解。函数函数P98 例例4.15 19第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 解解 当当 时，时，i- - i(2) 将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开20第
12、四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 解解 当当 时，时，i- - i(2) 将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开21第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 函数函数 有两个奇点：有两个奇点：以展开点以展开点 为中心，为中心，解解 (1) 将复平面分为若干个将复平面分为若干个解析环解析环注意：注意：不需要将函数进行不需要将函数进行部分分式部分分式分解。分解。将复平面分为两个解析环：将复平面分为两个解析环：1222第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 解解 当当 时，时，(2) 将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开1223第四章 解析函
13、数的级数表示 4.4 洛朗级数 解解 当当 时，时，(2) 将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开1224第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 解解在在 内展开成洛朗级数。内展开成洛朗级数。例例 把函数把函数解解在在 内展开成洛朗级数。内展开成洛朗级数。例例 把函数把函数25第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 轻松一下吧26第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 附：附：洛朗定理的证明洛朗定理的证明由二连域的柯西积分公式有由二连域的柯西积分公式有如图，在圆环内作两个圆：如图，在圆环内作两个圆：证明证明对对 内任一点内任一点 z ，R2zrz zRz z
14、z0R1G G1G G2C其中，其中，记为记为27第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 附：附：洛朗定理的证明洛朗定理的证明证明证明 对第一个积分对第一个积分和泰勒展开式一样，可以推得和泰勒展开式一样，可以推得R2zrz zRz zz0R1G G1G G2C28第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 附：附：洛朗定理的证明洛朗定理的证明证明证明29第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 附：附：洛朗定理的证明洛朗定理的证明证明证明30第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 因此有因此有附：附：洛朗定理的证明洛朗定理的证明证明证明31第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 附：附：洛朗定理的证明洛朗定理的证明证明证明32第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 级数级数(4.4.5)的系数由不同的式子的系数由不同的式子(4.4.6)与与(4.4.7) 表出表出. 如果在圆环域内取绕如果在圆环域内取绕 z0 的任何一条正向简单闭曲线的任何一条正向简单闭曲线 C , 则根据闭路变形原理则根据闭路变形原理, 这两个式子可用一个式子来表示这两个式子可用一个式子来表示:附：附：洛朗定理的证明洛朗定理的证明证明证明即即( (返回返回) )
