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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第九讲第九讲第九讲第九讲 函数极限的运算函数极限的运算函数极限的运算函数极限的运算第三章 函数的极限与连续性本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解
2、函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第三章 函数的极限与连续性第三节 极限运算法则 极限运算法则的理论依据 依据无穷小量的运算法则定理定理法则法则 由此你能不能写出极限四则运算公式？由此你能不能写出极限四则运算公式？一. 极限运算法则和的极限等于极限的和.乘积的极限等于极限的乘积.商的极限等于极限的商(分母不为零).差一点 ! ?结论成立的条件. 设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(
3、x) 存在, 则法则 1、3 可推广至有限个函数的情形. 法则6 中换成其极限仍为注： 由极限运算理论根据中的定理及无穷小量的运算法则, 容易证明上述各公式. 复合函数的极限有什么问题没有？有什么问题没有？7. 复合函数的极限计算定理定理定理定理注意这个条件, 缺了它定理不一定成立. 证证由极限的定义, 即要证明：综上所述：该定理可以推广到其它几种极限过程中去该定理可以推广到其它几种极限过程中去. . 例例请课后想想,为什么?解例1 初等展开解例2 有理化解例3 有理化解例4求故 部分分式法例5证明原式由即得所证.证证解例6求 求有理分式函数求有理分式函数 x x x x0 0 的极限时的极限
4、时, ,若分母不若分母不等于零等于零, ,则可直接代值计算则可直接代值计算. .解例7或者用下面的方法 利用无穷小量与无穷大量的关系利用无穷小量与无穷大量的关系 涉及到两个无穷大量的差解例8所以,由复合函数求极限法则这类复合函数的极限通常可写成解例9这是求幂指函数极限常用的方法:解例10这是两个无穷大量相减的问题. 我们首先进行通分运算, 设法去掉不定因素, 然后运用四则运算法则求其极限. ( ( 通分通分 ) )解例11问 b 取何值时,存在, 并求其值.若 由函数的极限与其左、右极限的关系, 得 b = 2 , ,解例12并由此证明其中, n, mN.求第二问怎么做？令则当 x 0 时, y 0, 故下面证明. 变量代换例13解
