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1、第三章 线性系统的时域分析法3.1 引言引言3.2 线性控制系统的时域性能指标及典型输入线性控制系统的时域性能指标及典型输入3.3 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应3.4 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应3.5 高阶系统的时域响应高阶系统的时域响应3.6 线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性3.7 线性系统稳态误差的计算线性系统稳态误差的计算绝对稳定性、相对稳定性 系统稳定性示意图 绝对稳定性如果控制系统没有受到任何扰动、或输入信号的作用，则系统的输出量能始终保持在某一状态，即控制系统处于平衡状态；如果线性定常控制系统受到扰动量的作用，当撤消该扰动后，系统的输出量最终又能返回到它的
2、平衡状态，则该控制系统就称为稳定的系统 相对稳定性指的是一个稳定的控制系统在动态响应过程中距离不稳定的程度，系统的相对稳定性一般采用稳定裕度来描述 单位阶跃信号（Unit step function） 时域表达式： 复域表达式： 单位脉冲信号（Unit impulse function） 时域表达式： 复域表达式： 单位斜坡函数 (Unit ramp function) 时域表达式： 复域表达式： 单位加速度函数(Unit acceleration function) 时域表达式： 复域表达式： 正弦函数(Sinusoidal function) 时域表达式： 复域表达式： 系统的时域性能指标
3、 控制系统的时域性能指标包含两大部分静态性能指标和动态性能指标 静态性能指标 (Steady-state Performance) 稳态误差 (Steady-state Error)：如果系统在稳态时的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统存在稳态误差。稳态误差是描述系统稳态性能的一种指标，是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量 控制系统动态性能指标示意图 延迟时间 （Delay Time） 响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间 上升时间 （Rise Time） 响应曲线从稳态值的 上升到 所需的时间。也有采用从0上升到稳态值所需的时间 峰值时间（Peak Time） 系统响应偏离终值为最大
4、时所需要的时间，也即响应误差达最大值时所需要的时间 调节时间 （Settling Time） 在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间 超调量 （Overshoot） 响应曲线的最大偏离量 与终值 之差的百分比 ，即：一阶系统的时域响应一阶系统电路图及结构图，如下所示： 该系统的微分方程为：当初始条件为零时，对上面的微分方程两边求拉氏变换可得：根据传递函数的定义可得其传递函数为： 其中 ，称为时间常数 一阶系统的标准式：一阶系统单位阶跃响应根据一阶系统的标准式，当 时，可得系统输出为：对上式取拉氏反变换
5、可得：一阶系统阶跃响应曲线 一阶系统单位脉冲响应根据一阶系统的标准式，当 时，可得系统输出为：对其求拉氏反变换后可得：一阶系统单位脉冲响应曲线一阶系统单位斜坡响应 根据一阶系统的标准式，当 时，可得系统输出为：对上式求拉氏反变换得：一阶系统的单位斜坡响应曲线 一阶系统的单位加速度响应 根据一阶系统的标准式，当 时，可得系统输出为：对上式取拉氏反变换可得：一阶系统的单位加速度误差响应曲线 二阶系统的时域响应二阶系统的标准式：上式中： 称为系统的固有频率 称为系统的阻尼比 从上述二阶系统的标准式中，可求得二阶系统的特征方程为其特征根为 二阶系统结构图：二阶系统的特性根据二阶系统的标准式，当 时，假
6、设系统初始状态位零，则系统的输出为：从上式可以看出，系统的响应 会随着阻尼比 的不同而不同，如下页图所示 （3-1）小结此时系统发散，闭环极点为一对共扼复根，它们位于右半S平面 此时系统称为欠阻尼系统，其闭环极点为一对共扼复根，它们位于左半S平面 此时系统称为临界系统，其闭环极点为两个相等的实根 此时系统称为过阻尼系统，其闭环极点为两个不相等的实根 此时系统为零阻尼系统，其闭环极点为两个虚根，系统的瞬态响应变为等幅振荡，这种系统在现实中并不存在 二阶系统极点分布图：欠阻尼二阶系统的响应 1、单位阶跃响应按照二阶系统的标准式，对于欠阻尼系统而言，当输入信号为单位阶跃信号时，其响应输出为： 对上式
7、取拉氏反变换，得单位阶跃响应为：式中： 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线 各项动态性能指标可由下列公式求得： 延时时间 上升时间 峰值时间 超调量 调节时间 2、单位斜坡响应当二阶系统的输入信号为单位斜坡信号时，其输出为： 对上式取拉氏反变换，可得系统的单位斜坡响应为： 式中： 不同阻尼比二阶系统的单位斜坡响应曲线 不同固有频率欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应曲线3、单位加速度响应 临界阻尼二阶系统 1、单位阶跃响应当阻尼比 时，二阶系统可写成如下形式： 当输入为单位阶跃信号时，其输出响应为：对上式取拉氏反变换得其输出响应：2、单位斜坡响应当系统的输入为单位斜坡信号时，其输出响应可表达成如下形式：对
8、上式取拉氏反变换得其输出响应： 过阻尼二阶系统 1、单位阶跃响应对于过阻尼系统而言，意味着阻尼比 ，所以，当输入信号为单位阶跃信号时，系统输出为： 其中： ， ，它们分别称为过阻尼系统的时间常数，且 对上式求拉氏反变换可得系统的输出响应： 2、单位斜坡响应过阻尼系统的单位斜坡响应为：对上式取拉氏反变换得：高阶系统的时域响应* 假设高阶系统的各初始条件等于零，则高阶系统的响应输出为： 当输入信号为单位阶跃信号时，则输出响应可写成为 上式中 表示实数极点的个数， 表示共轭复数极点的个数，且 将上式因式分解后可得： 上式中 为 在输入极点处的留数， 为 在闭环极点 处的留数， 和 是与 在闭环复数极
9、点 处的留数 对上式取拉氏反变换可得系统的阶跃响应为： 劳斯稳定判据 劳斯表系统类型 设系统开环传递函数为 式中： 为系统增益， 为系统含有积分环节的个数，根据 数值的不同，称之为相应的系统，如 称之为0型系统， 称之为I型系统等等 系统稳态误差计算公式：上式中： 为系统的输入信号 不同类型系统的稳态误差 1.单位阶跃信号输入对于单位阶跃输入而言，其拉氏变换为 ，代入稳态误差计算公式可得： 从上式可得出如下结论：上式中， 称之为静态位置误差系数 2.单位速度输入信号 对于单位阶跃输入而言，其拉氏变换为 ，代入稳态误差计算公式可得： 从上式可得出如下结论：上式中 称静态速度误差系统 3.单位加速度输入对于单位阶跃输入而言，其拉氏变换为 ，代入稳态误差计算公式可得： 从上式可得出如下结论：上式中 称静态加速度误差系统
