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1、4.3 协方差协方差 相关系数相关系数 一、一、 协方差的定义协方差的定义二、二、 协方差的性质协方差的性质三、相关系数的定义三、相关系数的定义四、四、 相关系数的性质相关系数的性质 对于二维随机变量( ， )来说，数学期望E ，E 仅仅反映了 与 各自的平均值，而方差D ，D 也仅反映了 与 各自离开均值的偏离程度，它们没有提供 与 之间相互联系的任何信息。 而事实上，从前面的二维随机变量( ， )联合分布律或联合概率密度的讨论，我们知道 与 之间是存在着密切联系，因此，我们也希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系。 这便是本节要讨论的问题。 在方差性质4的证明中，我们已经发现当 与
2、 独立时，必有 也就是说，当 时， 与 肯定不独立，由此说明式 在一定程度上反映了 、 间的某种联系。 由定义可知，在离散型场合下的协方差是通过和式来表示的，即 一、一、 协方差的定义协方差的定义在连续型场合下的协方差是通过积分来表示的，即 特别，当 = 时，有 二、二、 协方差的性质协方差的性质注： 与 独立是式D( + )=D +D ，E()=E E 成立的充分条件，上两式成立的充要条件是 Cov( ， )=0。(2) Cov( ， )=E()-E( )E( )；我们常利用这一式子计算协方差。(3) Cov( ， )=Cov( ， )；(5) Cov( 1+ 2， )=Cov( 1， )+
3、Cov( 2， )。 协方差的数值虽然在一定程度上反映了 与 相互间的联系，但它还受 与 本身数值大小的影响。 譬如说，当 ， 各自增大k倍，即 1= k ， 1= k ，这时 1与 1间的相互联系和 与 间的相互联系应该是一样的，但事实上由性质4知：（4）Cov(a ，b )=abCov( ， ) ； a，bR 即表明协方差增大了k2倍。为克服这一个缺点，引入下面的所谓相关系数的定义。 顾名思义，相关系数反映了随机变量 与 之间的相互关系也就是它们相互之间的一种联系。 但到底是哪一种联系呢？这是需要进一步弄清的问题。 三、相关系数的定义三、相关系数的定义引理引理 设( ， )是一个二维随机变
4、量，若E 2 ， E 2存在，则有 证 考虑一个关于实变量t的二次函数 因此，二次方程g(t)=0的判别式非正，即有 上述不等式通常称为柯西许瓦兹(CauchxSchwarx)不等式。由这个不等式立即可得：四、四、 相关系数的性质相关系数的性质 所以，当二维随机变量( ， )的两个分量具有方差时，它们间的协方差必定存在，当然相关系数也一定存在。 现在来证明的两个重要性质，并由此说明的意义。 定理2 设( ， )是二维随机变量，它们的相关系数存在，则 (2) |=1的充分必要条件是 与 以概率1线性相关。即存在常数a、b，使得 证 (1)令 则对 1， 1运用上式有 即有|1。 (2)由上式知|
5、=1等价于 这相当于在引理证明中，二次方程g(t)=0有一个重根t0 。即有 再由方差的性质5即知上式成立的充分必要条件是 其中a=t0，b=Et0E均为常数。（2）特别，当 =1时称为正线性相关，当时=-1称为负线性相关。当| |1时，这种线性相关程度将随着| |的减小而减弱。当 =0时，就称 和 是不相关的。（3）前面曾经指出，当 和 独立时，若Cov( ， )存在，则必有Cov( ， )=0，因而此时 =0，此即表示 和 一定不相关。注：（1）由定理的证明可以看出，相关系数是衡量随机变量间线性关系的一个度量。更确切地说，应该称它为线性相关系数，只是因为大家习惯了，所以一直称作相关系数。当
6、| |=1时，与之间依概率1存在线性关系。 反之是否成立呢？回答是否定的，这可从下面反之是否成立呢？回答是否定的，这可从下面的例子看出，与不相关并不能保证与的相互独立。的例子看出，与不相关并不能保证与的相互独立。 例1 已知随机变量 的分布律为 而 = 2。试证随机变量 与 不相关但并不相互独立。 证 与 不相互独立是显然的，因为 的值完全由 的值决定。 故 与 线性不相关。 从上述例子可以看出，不相关性和独立性是两个不同的概念。在一般情况下并不能从不相关性推出独立性。不过从下述例子可以看出，当( ， )服从二维正态分布时， 与 的不相关性与独立性是一致的。 例2 设 。证明： 由此可知，若 ，则恰好是 与 的相关系数。 从这个例子还可看出，一个二维正态分布中的五个参数 依次为服从这个分布的随机变量( ， )中的随机变量 ， 的相应的数学期望、方数学期望、方差及相关系数差及相关系数。因此，可以由这些数字特征完全确定二维正态分布。 因而对二维正态随机变量来说，不相关就意味着 =0，而 =0又与 、 的独立性等价。这一点在两随机变量的独立性两随机变量的独立性中已证实。所以就正态分布而言，不相关性与独立性是两个等价的概念。例3 已知二维随机变量( ， )的联合概率密度为 试求E ，E ，D ，D ，Cov( ， )， 。 由对称性易知
