《指数函数幂函数、对数函数增长的比较课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《指数函数幂函数、对数函数增长的比较课件（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6 6 指数函数、幂函数、指数函数、幂函数、 对数函数增长的比较对数函数增长的比较一粒米的故事一粒米的故事 从前，有一个国王特别喜爱一项称为从前，有一个国王特别喜爱一项称为“围棋围棋”的游戏，于是的游戏，于是他决定奖赏围棋的发明者，满足他的一个心愿他决定奖赏围棋的发明者，满足他的一个心愿. . “陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我一粒米陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我一粒米. .”发明者发明者说说. . “只是一粒米？只是一粒米？”国王回答说国王回答说. . “是的，只要在棋盘的第一是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米格放上一粒米，在第二格放上两粒米
2、，在第三个加倍放上四粒米以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放满棋盘格数为止，以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放满棋盘格数为止，这就是我的愿望这就是我的愿望. .” 国王很高兴，认为这个愿望很容易满足。于国王很高兴，认为这个愿望很容易满足。于是国王大声地说是国王大声地说“好！把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们好！把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议的协议” 思考：国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗？思考：国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗？1.1.巩固幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质巩固幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质. .2.2.通过比较幂函数、指数函数、对数函数
3、的增长快慢通过比较幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢, ,了解这三种函数增速的差别了解这三种函数增速的差别. .（重点）（重点）3.3.体会数形结合思想在研究函数中的应用体会数形结合思想在研究函数中的应用. .( (难点）难点）y=by=bx xy=ay=ax x一、指数函数一、指数函数y=ay=ax x (a1)(a1)图像图像及及a a对图像影响对图像影响y yx xO1baa1a1时，时，y=ay=ax x是增函数，是增函数，底数底数a a越大，其函数值增长越大，其函数值增长就越快就越快. .y=logy=loga ax xy=logy=logb bx x二、对数函数二、对数函数y=l
4、ogy=loga ax x(a1)(a1)图像及图像及a a对图像影响对图像影响y yx xO Oa1a1时，时，y=logy=loga ax x是增函数，是增函数，1 1a ab b底数底数a a越小，其函数值增长就越小，其函数值增长就越快越快. .y=xy=x2 2y=xy=x3 3三、幂函数三、幂函数y=xy=xn n(n1)(n1)图像及图像及n n对图像影响对图像影响y yx xO On1n1时，时，y=xy=xn n是增函数，是增函数，且且x1x1时，时，n n越大其函数值越大其函数值增长就越快增长就越快. .对于上述三种增加的函数对于上述三种增加的函数, ,它们的函数值的增长快慢
5、它们的函数值的增长快慢有何差别呢有何差别呢? ?对函数对函数y=2y=2x x,y=x,y=x2 2(x0),y=log(x0),y=log2 2x x的函数值的函数值( (取近似值取近似值) )比比较较列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像.x0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2 x-2.322-0.73700.4851.82.22.63.03.43.482 4.595 6.063810.5563.244.846.67911.560.848 1.138 1.379 1.
6、5851.766xyo1122345y=2xy=x2y=log2 x3.结合函数的图像找出其交点坐标结合函数的图像找出其交点坐标. 从图像看出从图像看出 y=log2 x的图像的图像与另外两函数的图像没有交点，与另外两函数的图像没有交点，且总在另外两函数图像的下方，且总在另外两函数图像的下方，y=x2的图像与的图像与 y=2x 的图像有两个的图像有两个交点交点(2，4)和（和（4，16）.4.根据图像根据图像,分别写出使不等式分别写出使不等式 log2 x2xx2和和 log2 xx22x成立的自成立的自 变量变量x的取值范围的取值范围.使不等式使不等式 log2 x2xx2 的的x取值范围取
7、值范围是是(2，4);使不等式使不等式 log2 x x21)和幂函数和幂函数 y=xn (n0),在区间在区间（0，+）上，无论）上，无论n比比a大多少，尽管在大多少，尽管在x的一定变化范围的一定变化范围内，内，ax会小于会小于xn,但由于但由于ax的增长快于的增长快于xn的增长，因此总存在的增长，因此总存在一个一个x0,当当xx0时，必有时，必有axxn.对于对数函数对于对数函数 y=log2 x（a1)和幂函数和幂函数y=xn (n0),在区间（在区间（0，+）上）上,随着随着x的增大，的增大，logax增长的越来越慢，图像增长的越来越慢，图像就像是渐渐地与就像是渐渐地与x轴平行一样轴平
8、行一样.尽管在尽管在x的一定变化范围内，的一定变化范围内， logax可能会大于可能会大于xn，但由于，但由于logax的增长慢于的增长慢于xn的增长，的增长，因此总存在一个因此总存在一个x0,当当xx0时，必有时，必有logax1),1),指数函数指数函数y=y=a ax x(a(a1)1)与幂与幂函数函数y=y=x xn n(n(n0)0)在区间（在区间（0 0，+）上都是增函数，但它）上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个们的增长速度不同，而且不在同一个“档次档次”上上. .随着随着x x的增大，的增大，y=ay=ax x（a1a1）的增长速度越来越快，会超过并）的增长速度越
9、来越快，会超过并远远大于远远大于y=y=x xn n（n0n0）的增长速度，而）的增长速度，而y=y=logloga ax(ax(a1)1)的的增长速度则会越来越慢增长速度则会越来越慢. .因此总会存在一个因此总会存在一个x x0 0，当，当xxxx0 0 时，必有时，必有logloga ax x x xn na0)0)增长快于增长快于对数函数对数函数 y=y=logloga ax(ax(a1)1)增长，但它们与指数增长比起增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸指数爆炸”. .【规律总结规律总结】(1)(1)对数函数增长最慢对数函数增长最慢
10、(2)(2)当自变量当自变量x x大于某一个特定值时，指数函数比幂函大于某一个特定值时，指数函数比幂函数增长快数增长快例例1.试用计算器来计算试用计算器来计算2500的近似值的近似值.解：解： 第一步，利用科学计算器算出第一步，利用科学计算器算出210=1 024=1.024103；第二步，再计算第二步，再计算2100，因为因为 2100=(210)10=（1.024103)10=1.024101030,所以，我们只需用科学计算器算出所以，我们只需用科学计算器算出1.024101.2677，则则2100 1.26771030；第三步，再计算第三步，再计算2500，因为因为 2500=(2100
11、)5=（1.26771030)5=1.2677510150,所以，我们只需用科学计算器算出所以，我们只需用科学计算器算出1.267753.2740，从而算出从而算出 2500 3.2710150.例例2.2.在自然界中，有些种群的世代是隔离的，即每一代在自然界中，有些种群的世代是隔离的，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代. .假设一个假设一个理想种群，其每个个体产生理想种群，其每个个体产生2 2个后代，又假定种群开始个后代，又假定种群开始有有1010
12、个个体，到第二代时，种群个体将上升为个个体，到第二代时，种群个体将上升为2020个，个，以后每代增加以后每代增加1 1倍，依次为倍，依次为4040，8080，160160，试写出计算过程，归纳种群增长模型，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡. .解：解： 设设N Nt t 表示表示t t 世代种群的大小，世代种群的大小，N Nt t+1+1表示表示t t+1+1世代种群的大小，世代种群的大小，由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：N Nt t+1+1=
13、=R R0 0N Nt t , , 其中其中R R0 0为时代净繁殖率为时代净繁殖率. .如果种群的如果种群的R R0 0速率年复一年地增长，则速率年复一年地增长，则当当R R0 011时，种群上升；时，种群上升；R R0 0=1=1，种群稳定；，种群稳定；00R R0 011，种群下降；，种群下降；当当R R0 0=0=0，雌体没有繁殖，种群在这一代中死亡，雌体没有繁殖，种群在这一代中死亡. .【变式练习变式练习】银行的定期存款中，存期为银行的定期存款中，存期为1 1年、年、2 2年、年、3 3年、年、5 5年的年利率分别为年的年利率分别为2.25%,2.43%,2.70%, 2.25%,2
14、.43%,2.70%, 2.88%2.88%，现将，现将1 0001 000元人民币存入银行，求元人民币存入银行，求: :应怎样应怎样存取以使存取以使5 5年后得到的本金和利息总和最大？年后得到的本金和利息总和最大？解：解：存存5 5年共有年共有6 6种存款方式：种存款方式：（1 1）一次性存入）一次性存入5 5年，本金和利息的总和为年，本金和利息的总和为1 000+51 000+51 0002.88%=1 1441 0002.88%=1 144（元）；（元）；（2 2）存一个三年，再存一个两年）存一个三年，再存一个两年(1 000+31 000(1 000+31 0002.70%)(1+22
15、.43%)1 133.54(2.70%)(1+22.43%)1 133.54(元元) )；（3 3）存一个三年，再存两个一年）存一个三年，再存两个一年1 000(1+32.70%)1 000(1+32.70%)(1+2.25%)(1+2.25%)2 21 130.19(1 130.19(元元) )；（4 4）存两个两年，再存一个一年）存两个两年，再存一个一年1 000(1+21 000(1+22.43%)2.43%)2 2(1+2.25%)(1+2.25%)1 124.301 124.30（元）；（元）；（5 5）存一个两年，再存三个一年）存一个两年，再存三个一年1 000(1+21 000(
16、1+22.43%)(1+2.25%)2.43%)(1+2.25%)3 31 120.991 120.99（元）；（元）；（6 6）存五个一年）存五个一年1 000(1+2.25%)1 000(1+2.25%)5 51 117.681 117.68（元）（元）. .答：一次性存入答：一次性存入5 5年本金和利息的总和最大年本金和利息的总和最大. .1 1当当x x越来越大越来越大时，下列函数中，增，下列函数中，增长速度最快速度最快的是（的是（ ）A.A. B. B. C.C. D. D. 【解析解析】由于指数函数的增长为爆炸式增长，由于指数函数的增长为爆炸式增长，则则 的的增长速度最快增长速度最
17、快.D DB【解析】3.3.某种植物生长发育的数量某种植物生长发育的数量y y与时间与时间x x的关系如表：的关系如表：下面的函数关系式中，能表达这种关系的是下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( () )A.yA.y=2x-1 =2x-1 B.yB.y=x=x2 2-1-1C.yC.y=2=2x x-1 -1 D.yD.y=1.5x=1.5x2 2-2.5x+2-2.5x+2解：解：代入数据验证可得答案代入数据验证可得答案x x1 12 23 3y y1 13 38 8D D4.4.有一种树木栽植五年后可成材在栽植后五年内，年有一种树木栽植五年后可成材在栽植后五年内，年增加增加20%20%
18、，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%10%，现有两种砍伐方案：，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？解：解：设树木最初栽植量为设树木最初栽植量为a a，甲方案在，甲方案在1010年后树木产量为年后树木产量为y y1 1a(1a(120%)20%)5 5(1(110%)10%)5 5a(1.2a(1.21.1)1.1)5 54a.4a.乙方案在乙方案在1010年后树木产量为年后树木产量为y y2 22a(12a(120%)20%)5 52a2a1.21.25 54.98a.4.98a.y y1 1y y2 24a4a4.98a4.98a0 0，因因此此，乙乙方方案案能能获获得得更更多多的的木木材材( (不不考考虑虑最最初初的的树树苗苗成成本本，只按成材的树木计算只按成材的树木计算) )1.1.幂函数、指数函数、对数函数的图像幂函数、指数函数、对数函数的图像. .2.2.三种函数增速的差别三种函数增速的差别. . 人要学会走路，也得学会摔跤，而且只有经过摔跤才能学会走路。马克思
