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1、第四节 基本积分法 : 直接积分法 ;换元积分法 ;分部积分法 初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容: 第四四章 一、一、 有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和则对于真分式, 如果 的因式分解为例例1. 将下列真分式分解为部分分式 :解解: (1) 用拼凑法(2) 用赋值法故(3) 混合法原式 =四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: 变分子为 再分项积分 例例2. 求解解: 已知例例3. 求解解: 原式思考思考: 如何求例例4.
2、求求解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 例例5. 求求解解: 原式例例6. 求求解解: 原式注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁按常规方法解:第一步 令比较系数定 a , b , c , d . 得第二步 化为部分分式 . 即令比较系数定 A , B , C , D .第三步 分项积分 .此解法较繁 !二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式 ,令万能代换t 的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则例例7. 求求解解: 令则例例8.
3、 求求解解: 说明说明: 通常求含往往更方便 .的有理式用代换2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:令例例9. 求解解: 令则原式例例10. 求解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,则有原式令例例11. 求解解: 令则原式原式内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .简便 , 思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便 ?解解: 1.2. 原式例例1. 求解解: 原式习题课例例2. 求解解:原式分析分析: 例例3. 求解解 :原式分部积分例例4. 求解解:例例11. 求解解: 令比较同类项系数, 故 原式说明说明: 此技巧适用于形为的积分.
