《高中数学 8.3抛 物 线配套课件 理 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 8.3抛 物 线配套课件 理 新人教A版（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 抛 物 线 三年三年3 3考考 高考指数高考指数:掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. .1.1.抛物线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，抛物线抛物线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的转化是高考的热点，有上的点到焦点的距离与到准线的距离的转化是高考的热点，有时与其他知识交汇命题；时与其他知识交汇命题；2.2.从考查题型看，对概念、性质、方程直接考查，一般以选择从考查题型看，对概念、性质、方程直接考查，一般以选择题、填空题为主；解答题的常见题型为确定抛物线方程、直线题、填空题
2、为主；解答题的常见题型为确定抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等与抛物线的位置关系等. .1.1.抛物线的定义抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线(1)(1)在平面内；在平面内；(2)(2)动点到定点动点到定点F F距离与到定直线距离与到定直线l的距离的距离_；(3)(3)定点定点_定直线上定直线上. .相等相等不在不在【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：在抛物线的定义中，若定点思考：在抛物线的定义中，若定点F F在定直线在定直线l上，动点的上，动点的轨迹是什么？轨迹是什么？提示：提示：若定点若定点F F在定直线在定直线l上，则动点的轨迹为过点上
3、，则动点的轨迹为过点F F与定直线与定直线l垂直的一条直线垂直的一条直线. .(2)(2)若动点若动点P P到点到点F(0,-2)F(0,-2)的距离与它到直线的距离与它到直线y-2=0y-2=0的距离相等，的距离相等，则点则点P P的轨迹方程为的轨迹方程为_._.【解析【解析】由抛物线的定义知，点由抛物线的定义知，点P P的轨迹是以点的轨迹是以点F(0,-2)F(0,-2)为焦点，为焦点， y=2y=2为准线的抛物线，其方程为：为准线的抛物线，其方程为：x x2 2= =8y.8y.答案：答案：x x2 2= =8y8y2.2.抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程和几何性质标准标准方程
4、方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)xyoF图图形形xyoFM(xM(x0 0,y,y0 0) )M(xM(x0 0,y,y0 0) )范范围围焦焦点点x2=-2py(p0)x2=2py(p0)yoxFxyoFM(xM(x0 0,y,y0 0) )M(xM(x0 0,y,y0 0) )llll准线准线对称轴对称轴顶点顶点离心率离心率焦半径焦半径y 轴轴(0,0)e=1y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=-2py(p0)x2=2py(p0)标准标准方程方程x 轴轴【即时应用【即时应用】(1)(1)设设a0a0，aRaR，则抛物线，则抛物线y=4axy=4ax2 2的焦点坐标
5、为的焦点坐标为_._.(2)(2)设抛物线的顶点在原点，其焦点在设抛物线的顶点在原点，其焦点在y y轴上，又抛物线上的点轴上，又抛物线上的点P(kP(k，-2)-2)与焦点与焦点F F的距离为的距离为4 4，则，则k k等于等于_._.(3)(3)顶点在原点，对称轴是顶点在原点，对称轴是x x轴，且顶点与焦点的距离等于轴，且顶点与焦点的距离等于6 6的的抛物线方程是抛物线方程是_._.【解析【解析】(1)(1)抛物线方程即为抛物线方程即为 故其焦点坐标为故其焦点坐标为(0(0， ).).(2)(2)由题意可得由题意可得x x2 2-2py(p-2py(p0)0)，焦点，焦点F(0F(0， )
6、)，准线，准线y y ，由抛物线的定义可得由抛物线的定义可得|PF|PF|y|yP P| | 4 4|-2|-2| p p4 4，则则x x2 2-8y-8y，又，又(k(k，-2)-2)在抛物线上，故有在抛物线上，故有k k2 2-8-8(-2)(-2)，kk4.4.(3)(3)因为抛物线顶点与焦点的距离等于因为抛物线顶点与焦点的距离等于6 6，所以，所以 =6=6，又因为顶，又因为顶点在原点，对称轴是点在原点，对称轴是x x轴，所以抛物线方程为：轴，所以抛物线方程为：y y2 2= =24x.24x.答案：答案：(1)(0, ) (2)(1)(0, ) (2)4 (3)y4 (3)y2 2
7、= =24x24x 抛物线的定义及其应用抛物线的定义及其应用【方法点睛【方法点睛】 利用抛物线的定义可解决的常见问题利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用. .【提醒【提醒】注意一定要验证定点是否在定直线上注意一定要验证定点是否在定直
8、线上. . 【例【例1 1】已知抛物线】已知抛物线y y2 2=2x=2x的焦点是的焦点是F,F,点点P P是抛物线上是抛物线上的动点的动点, ,又有点又有点A(3,2).A(3,2).(1)(1)求求|PA|+|PF|PA|+|PF|的最小值的最小值, ,并求出取最小值时并求出取最小值时P P点的坐标点的坐标. .(2)(2)求点求点P P到点到点B(- ,1)B(- ,1)的距离与点的距离与点P P到直线到直线x=- x=- 的距离之和的的距离之和的最小值最小值. .【解题指南【解题指南】(1)(1)由定义知，抛物线上点由定义知，抛物线上点P P到焦点到焦点F F的距离等于的距离等于点点P
9、 P到准线的距离到准线的距离d,d,求求|PA|+|PF|PA|+|PF|的问题可转化为的问题可转化为|PA|+d|PA|+d的问题的问题. .(2)(2)把点把点P P到直线的距离转化为到焦点的距离即可解决到直线的距离转化为到焦点的距离即可解决. .【规范解答【规范解答】(1)(1)将将x=3x=3代入抛物线方程代入抛物线方程y y2 2=2x,=2x,得得662,A2,A在抛物线内部在抛物线内部. .设抛物线上点设抛物线上点P P到准线到准线l: :x= x= 的距离为的距离为d,d,由定义知由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d|PA|+|PF|=|PA|+d, ,当当PAPAl时时,
10、|PA|+d,|PA|+d最小最小, ,最小值为最小值为x xy yF FO OP PlA A（3,23,2）即即|PA|+|PF|PA|+|PF|的最小值为的最小值为 此时此时P P点纵坐标为点纵坐标为2,2,代入代入y y2 2=2x,=2x,得得x=2,x=2,PP点坐标为点坐标为(2,2).(2,2).(2)(2)由于直线由于直线x= x= 即为抛物线的准线，即为抛物线的准线，故故|PB|+d|PB|+d=|PB|+|PF|BF|,=|PB|+|PF|BF|,当且仅当当且仅当B B、P P、F F共线时取等号共线时取等号. .而而 |PB|+d|PB|+d的最小值为的最小值为【反思【反
11、思感悟感悟】1.1.抛物线的应用框图抛物线的应用框图定义应用定义应用抛物线抛物线抛物线上的点到抛物线的焦抛物线上的点到抛物线的焦点与准线的距离相互转化，点与准线的距离相互转化，常用焦半径公式常用焦半径公式几何法几何法代数法代数法数形结合数形结合转化为函数最值转化为函数最值问题或不等式解决问题或不等式解决最值问题最值问题2.2.建立函数关系后，一定要注意根据题目的条件探求自变量的建立函数关系后，一定要注意根据题目的条件探求自变量的取值范围，即函数的定义域取值范围，即函数的定义域. . 抛物线的标准方程与性质抛物线的标准方程与性质【方法点睛【方法点睛】1.1.求抛物线的标准方程的方法及注意事项求抛
12、物线的标准方程的方法及注意事项(1)(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有只有p p，所以，只需一个条件确定，所以，只需一个条件确定p p值即可；值即可；(2)(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量线方程时，需先定位，再定量. .2.2.抛物线的标准方程及其性质的应用抛物线的标准方程及其性质的应用由抛物线的方程可求由抛物线的方程可求x x、y y的范围，从而确定开口方向；由方程的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求可判
13、断其对称轴，求p p值，确定焦点坐标等值，确定焦点坐标等. .【提醒【提醒】抛物线方程中的参数抛物线方程中的参数p p0 0，其几何意义是焦点到准线，其几何意义是焦点到准线的距离的距离. . 【例【例2 2】(2011(2011山东高考山东高考) )设设M(xM(x0 0，y y0 0) )为抛物线为抛物线C C：x x2 2=8y=8y上一上一点，点，F F为抛物线为抛物线C C的焦点，以的焦点，以F F为圆心、为圆心、|FM|FM|为半径的圆和抛物为半径的圆和抛物线线C C的准线相交，则的准线相交，则y y0 0的取值范围是的取值范围是( )( )(A)(0(A)(0，2) (B) 2)
14、(B) 0 0，2 2 (C) (2(C) (2，+) (D)+) (D)2 2，+)+)【解题指南【解题指南】本题可先求抛物线的准线，由圆与准线相交知动本题可先求抛物线的准线，由圆与准线相交知动圆半径的范围，再由抛物线方程求得点圆半径的范围，再由抛物线方程求得点M M纵坐标的取值范围纵坐标的取值范围. .【规范解答【规范解答】选选C.C.设圆的半径为设圆的半径为r r，因为，因为F(0F(0，2)2)是圆心，抛物是圆心，抛物线线C C的准线方程为的准线方程为y=-2y=-2，由圆与准线相交知，由圆与准线相交知4 4r r，因为点，因为点M(xM(x0 0，y y0 0) )为抛物线为抛物线C
15、 C：x x2 2=8y=8y上一点，所以有上一点，所以有x =8yx =8y0 0，又点，又点M(xM(x0 0，y y0 0) )在圆在圆x x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=r=r2 2上，所以上，所以x +(yx +(y0 0-2)-2)2 2=r=r2 21616，所，所以以8y8y0 0+(y+(y0 0-2)-2)2 21616，即有，即有y +4yy +4y0 0-12-120 0，解得，解得y y0 02 2或或y y0 0-6-6，又因为又因为y y0 000，所以，所以y y0 02.2.【反思【反思感悟感悟】1.1.解答本题的关键是直线与圆相交，圆的半径解答本题的
16、关键是直线与圆相交，圆的半径大于圆心到直线的距离大于圆心到直线的距离. .2.2.当点在曲线上时，点的坐标适合曲线方程，这一条件在求最当点在曲线上时，点的坐标适合曲线方程，这一条件在求最值、范围、解方程中应用比较广泛，但容易被忽视值、范围、解方程中应用比较广泛，但容易被忽视. . 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系【方法点睛【方法点睛】1.1.直线与抛物线的位置关系的判定直线与抛物线的位置关系的判定设直线方程设直线方程Ax+By+CAx+By+C=0=0与抛物线方程与抛物线方程y y2 2=2px(p=2px(p0)0)联立，消去联立，消去x x得到关于得到关于y y的方程的方程my
17、my2 2+ny+ny+l=0.=0.方程特征方程特征交点个数交点个数位置关系位置关系 直线直线与抛与抛物线物线 m=0m=0 1 1 直线与抛物线的对称轴平直线与抛物线的对称轴平行或重合，两者相交行或重合，两者相交 m0,m0,0 02 2相交相交m0,=0m0,=01 1相切相切 m0,m0,0 00 0相离相离2.2.直线与抛物线相交的几个结论直线与抛物线相交的几个结论已知抛物线已知抛物线y y2 2=2px(p=2px(p0)0)，过其焦点的直线交抛物线于，过其焦点的直线交抛物线于A A、B B两两点，设点，设A(xA(x1 1，y y1 1) )、B(xB(x2 2，y y2 2)
18、) ，则有以下结论：，则有以下结论：(1) (1) AB|=xAB|=x1 1+x+x2 2+p+p或或|AB|= (|AB|= (为为ABAB所在直线的倾斜角所在直线的倾斜角) )；(2)x(2)x1 1x x2 2= = (3)y(3)y1 1y y2 2-p-p2 2；(4)(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为物线的通径长为2p.2p.【提醒【提醒】直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行切，因为当直线与对称轴平行( (或重合或
19、重合) )时，直线与抛物线也只时，直线与抛物线也只有一个交点有一个交点. . 【例【例3 3】已知抛物线】已知抛物线C C：y y2 2=2px(p=2px(p0)0)过点过点A(1,-2).A(1,-2).(1)(1)求抛物线求抛物线C C 的方程，并求其准线方程；的方程，并求其准线方程；(2)(2)是否存在平行于是否存在平行于OA(OOA(O为坐标原点为坐标原点) )的直线的直线l ，使得直线，使得直线l与抛与抛物线物线C C有公共点，且直线有公共点，且直线OAOA与与l的距离等于的距离等于 ？若存在，求直线？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由的方程；若不存在，说明理由. .【解题
20、指南【解题指南】(1)(1)用待定系数法求出抛物线方程及其准线方用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程；程；(2)(2)依题意设直线依题意设直线l的方程为的方程为y=-2x+ty=-2x+t，联立直线与抛物线，联立直线与抛物线的方程，利用判别式限制参数的方程，利用判别式限制参数t t的范围，再由直线的范围，再由直线OAOA与直线与直线l的的距离等于距离等于 列出方程，求出列出方程，求出t t的值的值. .【规范解答【规范解答】(1)(1)将将(1(1，2)2)代入代入y y2 2=2px=2px，得，得(-2)(-2)2 2=2p=2p1 1，p=2p=2，故所求的抛物线方程为，故所求的抛物线
21、方程为y y2 2=4x=4x，其准线方程为，其准线方程为x=-1.x=-1.(2)(2)假设存在符合题意的直线假设存在符合题意的直线l，其方程为，其方程为y=-2x+ty=-2x+t，由由 得得y y2 2+2y-2t=0+2y-2t=0，因为直线，因为直线l与抛物线与抛物线C C有公共点，有公共点，所以所以=4+8t0=4+8t0，解得，解得t t 另一方面，由直线另一方面，由直线OAOA与直线与直线l的的距离等于距离等于 可得可得 t=t=1 1，由于，由于1 1 ,+),+)，11- - ，+) +) ，所以符合题意的直线，所以符合题意的直线l存在，其方程为存在，其方程为y=-2x+1
22、.y=-2x+1.【反思【反思感悟感悟】1.1.求抛物线方程，一般是先设出抛物线方程求抛物线方程，一般是先设出抛物线方程( (注意抛物线的开口方向，焦点的位置注意抛物线的开口方向，焦点的位置) )，用待定系数法求解；，用待定系数法求解；2.2.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求设而不求”、“整体整体代入代入”、“点差法点差法”以及定义的灵活应
23、用以及定义的灵活应用. .【满分指导【满分指导】直线与抛物线综合问题的规范解答直线与抛物线综合问题的规范解答 【典例】【典例】(12(12分分)(2011)(2011福建高考福建高考) )已知直线已知直线l：y=x+my=x+m， mRmR. .(1)(1)若以点若以点M(2,0)M(2,0)为圆心的圆与直线为圆心的圆与直线l相切于点相切于点P P，且点，且点P P在在y y轴上，轴上，求该圆的方程；求该圆的方程；(2)(2)若直线若直线l关于关于x x轴对称的直线为轴对称的直线为l，问直线，问直线l与抛物线与抛物线C C：x x2 2=4y=4y是否相切？说明理由是否相切？说明理由. .【解
24、题指南【解题指南】(1)(1)设出点设出点P P坐标坐标, ,根据切线特点求出点根据切线特点求出点P P坐标，从坐标，从而求出圆的半径，然后写出圆的标准方程，也可设出圆的方而求出圆的半径，然后写出圆的标准方程，也可设出圆的方程，用待定系数法求解；程，用待定系数法求解；(2)(2)由由l的方程求得的方程求得l的方程，将的方程，将l的方程与抛物线的方程与抛物线C C的方程联的方程联立，得一元二次方程，然后依据对应判别式立，得一元二次方程，然后依据对应判别式来判定两者能否来判定两者能否相切相切. .【规范解答【规范解答】方法一：方法一：(1)(1)依题意，点依题意，点P P的坐标为的坐标为(0,m)
25、.(0,m).因为因为MPMPl, ,所以所以 解得解得m=2m=2，即点，即点P P坐标为坐标为(0,2) (0,2) 2 2分分从而圆的半径从而圆的半径 故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=8 =8 6 6分分(2)(2)因为直线因为直线l的方程为的方程为y=x+my=x+m，所以直线，所以直线l的方程为的方程为y=-x-my=-x-m. .由由 得得x x2 2+4x+4m=0. .8+4x+4m=0. .8分分4 42 24 44m=16(1-m).4m=16(1-m).当当m=1m=1，即，即=0=0时，直线时，直线l与抛物线与抛物线C C相切；
26、相切；当当m1m1，即，即00时，直线时，直线l与抛物线与抛物线C C不相切不相切. .11. .11分分综上，当综上，当m=1m=1时，直线时，直线l与抛物线与抛物线C C相切；当相切；当m1m1时，直线时，直线l与抛与抛物线物线C C不相切不相切. . 1212分分方法二：方法二：(1)(1)设所求圆的半径为设所求圆的半径为r r，则圆的方程可设为，则圆的方程可设为(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=r=r2 2 . .依题意，所求圆与直线依题意，所求圆与直线l：y=x+my=x+m相切于点相切于点P(0,m) P(0,m) ，则，则 4 4分分 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为
27、(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=8. =8. 6 6分分(2)(2)同方法一同方法一. .【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示解答本题时有以下两点容易造成失分：解答本题时有以下两点容易造成失分：(1)(1)直线与圆相切，利用代数法求解，由于运算量大、运算法则应用不直线与圆相切，利用代数法求解，由于运算量大、运算法则应用不当易出现计算错误；当易出现计算错误；(2)(2)直线关于直线关于x x轴对称，不能得出两个倾斜角互补轴对称，不能得出两个倾斜角
28、互补( (即斜率为相反数即斜率为相反数) )或两或两直线在直线在y y轴上的截距互为相反数，思路受阻，从而造成失分轴上的截距互为相反数，思路受阻，从而造成失分. . 备备考考建建议议解决直线与圆、抛物线的问题时，还有以下几点在备考时应高度关注：解决直线与圆、抛物线的问题时，还有以下几点在备考时应高度关注：(1)(1)根据题设条件，合理选择圆的方程的形式根据题设条件，合理选择圆的方程的形式( (是标准方程还是一般方程是标准方程还是一般方程) )；(2)(2)直线与抛物线的交点问题，可联立直线与抛物线的方程，消元化成直线与抛物线的交点问题，可联立直线与抛物线的方程，消元化成一元二次方程，注意一元二
29、次方程，注意“设而不求设而不求”；(3)(3)直线与抛物线有一个交点时，直线与抛物线不一定相切直线与抛物线有一个交点时，直线与抛物线不一定相切. . 1.(20111.(2011辽宁高考辽宁高考) )已知已知F F是抛物线是抛物线y y2 2=x=x的焦点，的焦点，A A，B B是该抛是该抛物线上的两点，物线上的两点，|AF|+|BF|=3|AF|+|BF|=3，则线段，则线段ABAB的中点到的中点到y y轴的距离为轴的距离为 ( )( )(A) (B)1 (C) (D)(A) (B)1 (C) (D)【解析【解析】选选C.C.设设A(xA(x1 1 ，y y1 1) )，B(xB(x2 2
30、，y y2 2),),由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，|AF|=x|AF|=x1 1+ =x+ =x1 1+ + ，|BF|=x|BF|=x2 2+ =x+ =x2 2+ + ，又因为又因为|AF|+|BF|=3|AF|+|BF|=3，得，得所以线段所以线段ABAB的中点横坐标的中点横坐标所以选所以选C C2.(20112.(2011四川高考四川高考) )在抛物线在抛物线y=xy=x2 2+ax-5(a0)+ax-5(a0)上取横坐标上取横坐标x x1 1=-4,x=-4,x2 2=2=2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同
31、时与抛物线和圆一条直线同时与抛物线和圆5x5x2 2+5y+5y2 2=36=36相切，则抛物线顶点的相切，则抛物线顶点的坐标为坐标为 ( )( )(A)(-2(A)(-2，-9) (B)(0-9) (B)(0，-5)-5)(C)(2(C)(2，-9) (D)(1-9) (D)(1，-6)-6)【解析【解析】选选A.A.当当x x1 1=-4=-4时，时，y y1 1=11-4a=11-4a，当当x x2 2=2=2时，时，y y2 2=2a-1.=2a-1.k=a-2.k=a-2.设切点横坐标为设切点横坐标为x x0 0，由由y=2x+ay=2x+a得切线斜率为得切线斜率为2x2x0 0+a.2x+a.2x0 0+a=a-2,+a=a-2,xx0 0=-1=-1，切点为，切点为(-1(-1，-a-4)-a-4)，切线方程为：切线方程为：y+a+4=(a-2)(x+1)y+a+4=(a-2)(x+1)即即(a-2)x-y-6=0(a-2)x-y-6=0，即：即：(a-2)(a-2)2 2+1=5,+1=5,又又a0,a=4a0,a=4，y=xy=x2 2+4x-5=(x+2)+4x-5=(x+2)2 2-9,-9,顶点坐标为顶点坐标为(-2(-2，-9).-9).
