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1、2.22.2平面向量的线性运算平面向量的线性运算2.2.12.2.1向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义目标导航目标导航课标要求课标要求1.1.理解向量加法的定义理解向量加法的定义. .2.2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量向量的和向量. .3.3.掌握向量加法的运算律掌握向量加法的运算律, ,并会应用它们进行向量计算并会应用它们进行向量计算. .素养达成素养达成1.1.通过对向量加法定义及其运算法则的学习通过对向量加法定义及其运算法则的学习, ,促使学生促使学生养成数学抽象、直观想象和数学建模的核心素养养成
2、数学抽象、直观想象和数学建模的核心素养. .2.2.利用向量加法的运算律进行向量计算利用向量加法的运算律进行向量计算, ,加强学生直观加强学生直观想象和逻辑推理等核心素养的提升想象和逻辑推理等核心素养的提升. .新知导学新知导学课堂探究课堂探究1.1.向量加法的定义向量加法的定义定义定义: :求两个向量求两个向量 的运算的运算, ,叫做向量的加法叫做向量的加法. .对于零向量与任一向量对于零向量与任一向量a a, ,规定规定0 0+ +a a= =a a+ + = = . .0 0新知导学新知导学素养养成素养养成a a和和2.2.向量求和的法则向量求和的法则法则法则三角形三角形法则法则前提前提
3、已知非零向量已知非零向量a a, ,b b, ,在平面内任取一点在平面内任取一点A A作法作法结论结论图形图形法则法则平行四边平行四边形法则形法则前提前提已知不共线的两个向量已知不共线的两个向量a a, ,b b, ,在平面内任在平面内任取一点取一点O O作法作法以同一点以同一点O O为起点的两个已知向量为起点的两个已知向量a a, ,b b为为邻边作邻边作 OACBOACB结论结论 图形图形思考思考1:1:向量加法的三角形法则和平行四边形法则的使用条件有什么不同向量加法的三角形法则和平行四边形法则的使用条件有什么不同? ?提示提示: :三角形法则适用于任意两个非零向量求和三角形法则适用于任意
4、两个非零向量求和, ,平行四边形法则只适用平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和于两个不共线的向量求和. .3.3.向量加法的运算律向量加法的运算律(1)(1)交换律交换律: :a a+ +b b= = . .(2)(2)结合律结合律:(:(a a+ +b b)+)+c c= = . .4.4.重要结论重要结论| |a a+ +b b| | | |a a|+|+|b b|.|.b b+ +a aa a+(+(b b+ +c c) )思考思考2:2:( (a a+ +b b)+()+(c c+d)=(+d)=(a a+d)+(+d)+(b b+ +c c) )成立吗成立吗? ?提示提示: :
5、成立成立. .向量加法满足交换律和结合律向量加法满足交换律和结合律, ,因此在进行多个向量的加法运因此在进行多个向量的加法运算时算时, ,就可以按照任意的次序和任意的组合进行就可以按照任意的次序和任意的组合进行. .名师点津名师点津(1)(1)在使用向量加法的三角形法则时在使用向量加法的三角形法则时, ,应注意应注意“首尾连接首尾连接”; ;在使用平行在使用平行四边形法则时四边形法则时, ,应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同. .(2)(2)向量向量a a+ +b b与非零向量与非零向量a a, ,b b的模及方向的联系的模及方向的联系当两个非零向
6、量当两个非零向量a a与与b b不共线时不共线时, ,由向量加法的三角形法则可知由向量加法的三角形法则可知a a+ +b b的的方向与方向与a a, ,b b的方向都不相同的方向都不相同, ,且且 |a a|-|-|b b|a a+ +b b|a a|+|+|b b|,|,几何意义是几何意义是三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边, ,两边之差小于第三边两边之差小于第三边. .当两个非零向量当两个非零向量a a与与b b共线且同向时共线且同向时( (如图如图1),1),则向量则向量a a+ +b b与与a a( (或或b b) )方向方向相同相同, ,且且| |a a+ +b b|=
7、|=|a a|+|+|b b|.|.当两个非零向量当两个非零向量a a与与b b反向且反向且| |a a|b b| |时时( (如图如图2),2),则则a a+ +b b与与b b方向相同方向相同( (与与a a方向相反方向相反),),且且| |a a+ +b b|=|=|a a|-|-|b b|.|.当两个向量当两个向量a a与与b b中至少有一个为中至少有一个为0 0时时, ,则必有则必有| |a a+ +b b|=|=|a a|+|+|b b|=|=|a a|-|-| |b b|.|.综上可知任意两个向量综上可知任意两个向量a a, ,b b恒有恒有|a a|-|-|b b|a a+ +
8、b b|a a|+|+|b b|.|.课堂探究课堂探究素养提升素养提升题型一向量的加法运算题型一向量的加法运算方法技巧方法技巧(1)(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤应用三角形法则求向量和的基本步骤(2)(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤应用平行四边形法则求向量和的基本步骤(2)(2)如图所示如图所示, ,已知向量已知向量a a, ,b b, ,c c, ,试作出向量试作出向量a a+ +b b+ +c c. .题型二向量加法与平面几何的综合应用题型二向量加法与平面几何的综合应用 例例22 已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD中中,AO=OC,DO=OB.,AO
9、=OC,DO=OB.求证求证: :四边形四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形. .方法技巧方法技巧(1)(1)用向量证明几何问题的一般步骤用向量证明几何问题的一般步骤: :把几何问题中的边转化成相应的向量把几何问题中的边转化成相应的向量; ;通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系; ;还原成几何问题还原成几何问题. .(2)(2)要注意有向线段表示的向量相等要注意有向线段表示的向量相等, ,说明有向线段所在直线平行或重说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等合且长度相等. .互动探究互动探究: :本例条件不变本例条件不变, ,求证求证:A
10、DOCBO.:ADOCBO. 备用例备用例22如图所示如图所示, ,已知已知E,FE,F分别是分别是 ABCDABCD的边的边DC,ABDC,AB的中点的中点, ,求证求证: :四边四边形形AECFAECF是平行四边形是平行四边形. .题型三向量加法的实际应用题型三向量加法的实际应用 例例33 一架飞机从一架飞机从A A地按北偏东地按北偏东3535的方向飞行的方向飞行800 km800 km到达到达B B地接到受伤地接到受伤人员人员, ,然后又从然后又从B B地按南偏东地按南偏东5555的方向飞行的方向飞行 800 km 800 km 送往送往C C地医院地医院, ,求这求这架飞机飞行的路程及
11、两次位移的和架飞机飞行的路程及两次位移的和. .方法技巧方法技巧求解与向量有关的实际问题的解题步骤求解与向量有关的实际问题的解题步骤(2)(2)求船实际航行的速度的大小与方向求船实际航行的速度的大小与方向( (用与江水的速度方向间的夹角用与江水的速度方向间的夹角表示表示).).错解错解: :C C正解正解: :B B学霸经验分享区学霸经验分享区(1)(1)三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法, ,两个法两个法则是统一的则是统一的. .当两个向量首尾相连时常选用三角形法则当两个向量首尾相连时常选用三角形法则, ,当两个向量当两个向量共始点时共始点时, ,常选用平行四边形法则常选用平行四边形法则. .(2)(2)向量的加法满足交换律向量的加法满足交换律, ,因此在进行多个向量的加法运算时因此在进行多个向量的加法运算时, ,可以可以按照任意的次序和任意的组合去进行按照任意的次序和任意的组合去进行. .课堂达标课堂达标B B2.2.下列命题中正确的个数为下列命题中正确的个数为( ( ) )D DD D5.5.已知向量已知向量a a, ,b b, ,c c, ,如图如图, ,求作求作a a+ +b b+ +c c. .点击进入点击进入 课时作业课时作业
