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1、不定积分重点：重点：1.不定积分的概念、性质不定积分的概念、性质 2.积分方法凑微分、变量代换、分部积分法）积分方法凑微分、变量代换、分部积分法）1235 5变量代量代换法第二法第二换元元积分法）分法）注：要求熟悉某些常用代换，如46.6.分部积分法分部积分法解题技巧解题技巧:把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为 常常见搭配是：搭配是： 57特殊特殊类型函数的型函数的积分只要求分只要求简单的）的）1有理函数的有理函数的积分分2三角函数有理式的积分 万能变换：常用变换：（考研几乎不用）3简单无理函数的积分要熟练掌握常用 代换）（凑微分）6【典型归类】【典型
2、归类】7偶？【注】偶函数的原函数只有一个是奇函数8（2019设F(x)是是连续函数函数f(x)的一个原函数，的一个原函数，（AF(x)是偶函数是偶函数 f(x)是奇函数是奇函数.f(x)是偶函数是偶函数.f(x)是周期函数是周期函数. 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. （B） F(x)是奇函数是奇函数(C) F(x)是周期函数是周期函数(D) F(x)是单调函数是单调函数 f(x)是单调函数是单调函数.表示表示“M的充分必要条件是的充分必要条件是N”，则必有，则必有 A 【注】【注】 函数函数f(x)与其原函数与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性的奇
3、偶性、周期性和单调性已多次考查过已多次考查过. 问：问：f(x)与其原函数与其原函数F(x)的有界性之间有何关系？的有界性之间有何关系？9分段函数的原函数要处理好常数C10【注】初等函数的原函数不一定是初等函数，因此不一【注】初等函数的原函数不一定是初等函数，因此不一, ,定都能积出定都能积出. .例如：例如： 此类积分函数多在定积分和二重积分中出现，用变上限积分的导数或交换积分次序来处理。111213二、不定积分的计算题二、不定积分的计算题.凑微分法凑微分法9.【注】凑微分法最常用，要优先考虑，且往往与其【注】凑微分法最常用，要优先考虑，且往往与其 它方法相结合它方法相结合1410. 若是套
4、用若是套用标准代准代换： 以上以上计算并算并简单解：解：注意到注意到1511.12.13.14.15.16.16.变量代换法第二换元法）：变量代换法第二换元法）：17.18.20.19.以下是一些特殊代换以下是一些特殊代换17未必容易未必容易21.22.23.1826.25.24.19 简单有理函数的不定积分简单有理函数的不定积分2027.29.28.30.2127. 解解: 令令那么原式原式22简单无理函数的不定积分简单无理函数的不定积分原则：原则：简单无理函数简单无理函数变量替换变量替换有理函数有理函数符号符号 R (u, v) 表示以表示以 u 和和 v 为变量的有理函数为变量的有理函数
5、.积分积分有理化有理化2331.解：解：32.2433.34. 2535.26三角函数的不定积分三角函数的不定积分几乎不用分母次数太高）几乎不用分母次数太高）27R(sinx,cosx) 具有某种性质时，作特殊变量替换：具有某种性质时，作特殊变量替换： 2836.解：解：2937.解：解：3038.解：解：313239.解：解：三角函数的不定积分其它特殊形式三角函数的不定积分其它特殊形式3340.解：解：3441.解：解：42.结论结论通过以上各例可知，万能代换不一定是最佳方通过以上各例可知，万能代换不一定是最佳方法法, , 故三角函数有理式积分的计算中先考虑其故三角函数有理式积分的计算中先考
6、虑其它手段它手段, , 不得已才用万能置换不得已才用万能置换. .35.分部积分法分部积分法43.44.3645.3746.解解. . 多种积分方法结合使用多种积分方法结合使用38令令39解解:（92.4）同类题：同类题：（01.3）47.48.（06.2）49.4050.51. . 不定积分的典型技巧不定积分的典型技巧1. 加减函数法加减函数法52.412. 乘除函数法乘除函数法53.54. 3. 抵消法抵消法分部积分55. 4256.56.解解4. 4. 还原法解方程法）还原法解方程法）4357.57.解解注意循环形式注意循环形式有时候使用若干次分部积分可导出所求积分的方程式，然后有时候使用若干次分部积分可导出所求积分的方程式，然后解此方程求出积分。解此方程求出积分。4458.58.5. 5. 解方程组法解方程组法5858解：解：那么那么解得解得59.59.456. 6. 递推公式法递推公式法60.60.6060解：解：61.61.4662. 设设解解: 令求积分即而隐函数的积分隐函数的积分. . 杂例杂例4763. 64. 65. 66. 48
