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1、9.2 正项级数及其敛散性判别正项级数及其敛散性判别二二. 正项级数敛散性的判别法正项级数敛散性的判别法一一.正项级数的概念正项级数的概念则称此级数为则称此级数为正项级数正项级数. 定义定义9.2.1 若数项级数若数项级数中的各项中的各项因为对任意因为对任意均有各项均有各项, 则则于是正项级数的部分和数列于是正项级数的部分和数列是一个单増数列是一个单増数列, 即即证证 “充分性充分性”“必要性必要性”从而正项级数收敛从而正项级数收敛.存在存在, 收敛收敛, 则则 若若存在存在, 由数列单调有界准则知极限由数列单调有界准则知极限 定理定理9.2.1 正项级数正项级数收敛的充要条件是部分和数列收敛
2、的充要条件是部分和数列有上界有上界. 由收敛数列的有界性定理由收敛数列的有界性定理 知知, 有上界有上界.正项级数发散的充要条件是部分和数列正项级数发散的充要条件是部分和数列无上界无上界.此定理的等价命题此定理的等价命题:从而正项级数发散从而正项级数发散.”其等价命题是其等价命题是: “若若 无上界无上界, 则则例例1判定判定 p 级数级数的敛的敛散性散性. . (2) 当当 p1 时时, 因为因为解解（1） 当当 时时, 级数为调和级数级数为调和级数, 发散发散.所以所以发散发散, 则则 p 级数级数发散发散.(3) 当当 p1 时时, 设设于是于是 收敛收敛. .结论结论: 如何判别正项级
3、数的敛散性是讨论正项级数的基本问题如何判别正项级数的敛散性是讨论正项级数的基本问题, 直接利用上述定理来判别直接利用上述定理来判别, 即讨论部分和数列是否有上界是即讨论部分和数列是否有上界是非常困难的非常困难的. 因此因此, 需要建立其它敛散性的判别法需要建立其它敛散性的判别法.例例1判定判定 p 级数级数的敛的敛散性散性. .设两个正项级数设两个正项级数定理定理9.2.2 (比较判别法比较判别法)应项满足应项满足:二二. 正项级数敛散性的判别法正项级数敛散性的判别法则则 (1)当级数当级数也收敛也收敛;收敛时收敛时, 级数级数（大收小收）（大收小收）(2)当级数当级数发散时发散时, 级数级数
4、也发散也发散.（小发大发）（小发大发）的对的对1. 比较判别法比较判别法证证 设设部分和分别是部分和分别是故级数故级数收敛收敛.故级数故级数发散发散. (1)当级数当级数收敛时收敛时, 则则(2)当级数当级数发散时发散时,1nnu = = 注注1 因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性 . 故定故定理中的不等式不一定从首项就开始面满足理中的不等式不一定从首项就开始面满足.注注2当级数当级数收敛时收敛时, 不一定有级数不一定有级数收敛收敛.发散时发散时, 不一定有级数不一定有级数发散发散.当级数当级数例如例如,发散，而发散，而收敛收敛. 注注3 应用比较判别
5、法时应用比较判别法时, 须找合适的已知敛散性的级数须找合适的已知敛散性的级数作为作为参考级数参考级数. 重要参考级数重要参考级数: 几何级数几何级数, p - 级数级数, 调和级调和级数数. . 例例2 判定级数判定级数的敛散性的敛散性. .解解收敛收敛,因为因为则级数则级数收敛收敛.例例3 判定级数判定级数的敛散性的敛散性. .解解则级数则级数发散发散.发散发散,因为因为设两个正项级数设两个正项级数推论推论9.2.1c 0，使得从某项，使得从某项 (如第如第N项项) 起满足起满足 , 如果如果存在常数存在常数则则 (1)当级数当级数也收敛也收敛;收敛时收敛时, 级数级数(2)当级数当级数发散
6、时发散时, 级数级数也发散也发散.定理定理9.2.3 (比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式)若两个正项级数若两个正项级数满足满足: (1)当当0 l +时时, 级数级数同敛散同敛散;(2)当当l= 0且级数且级数也收敛也收敛;收敛时收敛时, 级数级数(3)当当l= +且级数且级数也发散也发散.发散时发散时, 级数级数同敛散同敛散;则级数则级数则对于则对于证证则对于则对于也收敛也收敛;则若级数则若级数收敛收敛, 对于对于则则解解而级数而级数是收敛的是收敛的的敛散性的敛散性.例例5 判定级数判定级数因为因为所以级数所以级数是收敛的是收敛的也发散也发散.则若级数则若级数发散发散, 定理定理9.
7、2.4 (达朗贝尔比值判别法达朗贝尔比值判别法)若正项级数若正项级数满足满足2. 比值判别法比值判别法则则(1) 当当0 l 1时时, 级数级数发散发散;(3) 当当l = 1时时, 级数级数可能收敛可能收敛, 也可能发散也可能发散. (1)当当 l 0且满足且满足证证 则则收敛收敛.从而在它前面增加从而在它前面增加N项的级数项的级数也收敛也收敛.收敛收敛,(2)当当 l 1时时, 则对任意给定的则对任意给定的 0且满足且满足则当则当n N时时, 后项后项 un+1 始终大于前项始终大于前项un发散发散.但当但当 p 1时时, p 级数收敛级数收敛; 当当 p 1 时时, p 级数发散级数发散
8、.比如比如 p 级数级数无论无论 p 取何值取何值, 均有均有(3) 当当 l = 1时时, 级数级数可能收敛可能收敛, 也可能发散也可能发散.例例7 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性.故原级数收敛故原级数收敛. .解解故原级数发散故原级数发散. .解解例例8 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性.解解比值审敛法失效比值审敛法失效, , 改用比较审敛法改用比较审敛法例例9 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性.定理定理9.2.5 (柯西根值判别法柯西根值判别法)若正项级数若正项级数满足满足则则 (1) 当当0 l 1时时, 级数级数发散发散;(3) 当当 l = 1 时时, 级数级数可能收敛可能收敛, 也可能发散也可能发散.3. 根值判别法根值判别法证证收敛。收敛。例例10 判定级数判定级数的敛散性的敛散性. .解解 的敛散性的敛散性.例例11 讨论级数讨论级数解解 因为因为故原级数收敛故原级数收敛. .由根值判别法知：由根值判别法知：(1) 当当，即，即时，级数收敛；时，级数收敛； (2) 当当，即，即时，级数发散；时，级数发散； 此时原级数为此时原级数为, 原级数发散；原级数发散；(3) 当当，即，即时，不能判定级数的敛散性。时，不能判定级数的敛散性。综上所述，当综上所述，当时，级数收敛；当时，级数收敛；当时，时，级数发散；级数发散；
