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1、选修选修4-7 4-7 优选法与试验设计初步优选法与试验设计初步三年三年1 1考考 高考指数高考指数: :1.1.掌握分数法、掌握分数法、0.6180.618法及其适用范围，能运用这些方法解法及其适用范围，能运用这些方法解决一些简单的实际问题，知道优选法的思想方法决一些简单的实际问题，知道优选法的思想方法. .2.2.了解斐波那契数列了解斐波那契数列FFn n ，理解在试验次数确定的情况下分，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明，通过连分数知道数法最佳性的证明，通过连分数知道 和黄金分割的关系和黄金分割的关系. . 3.3.知道对分法、盲人爬山法、分批试验法，了解目标函数为知道对分法、
2、盲人爬山法、分批试验法，了解目标函数为多峰情况下的处理方法多峰情况下的处理方法. .4.4.了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选方了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选方法及其优选的思想方法法及其优选的思想方法. .1.1.黄金分割法、分数法、对分法是考查重点；黄金分割法、分数法、对分法是考查重点；2.2.题型为填空题属基础题题型为填空题属基础题. . 1.1.单峰函数单峰函数如果函数如果函数f f（x x）在区间）在区间a,ba,b上只有上只有_的最大值点（或最的最大值点（或最小值点）小值点）C C，而在最大值点（或最小值点），而在最大值点（或最小值点）C C的左侧，函
3、数的左侧，函数_；在点；在点C C的右侧，函数的右侧，函数_，则称这，则称这个函数为区间个函数为区间a,ba,b上的单峰函数上的单峰函数. .我们规定，区间我们规定，区间a,ba,b上的上的_也是单峰函数也是单峰函数. .唯一唯一单调单调增加增加( (减少减少) )单调减少单调减少( (增加增加) )单调函数单调函数【即时应用【即时应用】判断下列函数在判断下列函数在1 1，6 6上是否为单峰函数上是否为单峰函数. .（若是打（若是打“”，若不是打若不是打“”）(1) ( )(1) ( )(2)(2)y=-xy=-x2 2+4x-3 ( )+4x-3 ( )(3)(3)y=sinx ( )y=s
4、inx ( )(4) ( )(4) ( )【解析【解析】根据单峰函数的定义可得根据单峰函数的定义可得(1) (1) (2) (4)(2) (4)是是. .而而y=sinxy=sinx在在 上递增，在上递增，在 上单调性不确定，所以上单调性不确定，所以y=sinxy=sinx在在1 1，6 6上不是单峰函数上不是单峰函数. .答案：答案：(1) (2) (3)(1) (2) (3) (4) (4)2.2.黄金分割法黄金分割法记记 _为黄金分割常数为黄金分割常数. .在试验中把试点安排在在试验中把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法，即黄金分割点来寻找最佳点的方法，即_，这是最常，这是最常用的单
5、因素单峰目标函数的优选法之一用的单因素单峰目标函数的优选法之一. .0.6180.618黄金分割法黄金分割法【即时应用【即时应用】 已知一种材料的最佳加入量在已知一种材料的最佳加入量在110 g110 g到到210 g210 g之间之间. .若用若用0.6180.618法法安排试验，则第一次试点的加入量可以是安排试验，则第一次试点的加入量可以是_._.【解析【解析】相对于端点，第一次试点选取的加入量有两种情况相对于端点，第一次试点选取的加入量有两种情况, ,可以是可以是171.8171.8或或148.2.148.2.答案答案171.8171.8或或148.2148.23.3.分数法分数法优选法
6、中，用优选法中，用 近似代替近似代替确定试点的方法叫分数法确定试点的方法叫分数法. .其中其中_为斐波那契数列中的项为斐波那契数列中的项. .F Fn n【即时应用【即时应用】某化工厂准备对一化工产品进行技术改造，决定优选加工温某化工厂准备对一化工产品进行技术改造，决定优选加工温度，假定最佳温度在度，假定最佳温度在6060到到8181之间现用分数法进行优选，之间现用分数法进行优选，则第二次试点的温度为则第二次试点的温度为_._.【解析【解析】把区间分成把区间分成2121段，则第二试点在段，则第二试点在 处，处，所以其对应的温度为所以其对应的温度为60+ (81-60)=68.60+ (81-6
7、0)=68.答案：答案：68684.4.其他几种常用的优选法其他几种常用的优选法(1)(1)对分法对分法 (2)(2)盲人爬山法盲人爬山法 (3)(3)分批试验法分批试验法【即时应用【即时应用】(1)(1)如果你是一名会计，发现上月的公司账户不平（借方余额如果你是一名会计，发现上月的公司账户不平（借方余额合计不等于贷方余额合计），那么为了最快查出错误记录，你合计不等于贷方余额合计），那么为了最快查出错误记录，你将采用的优选方法是将采用的优选方法是_._.(2)(2)洗澡时为调节水温到合适温度，最好采用的优选方法是洗澡时为调节水温到合适温度，最好采用的优选方法是_._.【解析【解析】(1)(1)
8、符合对分法的适用范围，故采用的优选方法是对符合对分法的适用范围，故采用的优选方法是对分法分法. .(2)(2)符合盲人爬山法的适用范围，故最好采用盲人爬山法符合盲人爬山法的适用范围，故最好采用盲人爬山法. .答案：答案：(1)(1)对分法对分法 (2)(2)盲人爬山法盲人爬山法 黄金分割法黄金分割法0.6180.618法法 【方法点睛【方法点睛】黄金分割法的基本原则黄金分割法的基本原则两个试点关于存优范围的中心对称，且每次舍去的区间长度与两个试点关于存优范围的中心对称，且每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度成比例舍去前的区间长度成比例. .优选时，第一个试点确定在因素范优选时，第一个试点确定在
9、因素范围的围的0.6180.618处，后续试点用处，后续试点用“加两头，减中间加两头，减中间”来确定来确定.0.618.0.618法适用于连续性因素范围的优选问题法适用于连续性因素范围的优选问题. . 【例【例1 1】若某试验的因素范围是】若某试验的因素范围是100100，1 1001 100，现准备用黄，现准备用黄金分割法找到最优加入量，分别以金分割法找到最优加入量，分别以a an n表示第表示第n n次试验的加入量次试验的加入量（结果都取整数）（结果都取整数）. .(1)a(1)a1 1=_=_，(2)(2)若干次试验后的存优范围包含在区间若干次试验后的存优范围包含在区间700700，75
10、0750内，则内，则a a5 5=_.=_.【解题指南【解题指南】利用利用“a a1 1= =小小+0.618+0.618（大（大- -小）小）, ,a an n= =小小+ +大大- -中间中间”来求即可来求即可. . 【规范解答【规范解答】(1)(1)由黄金分割法知：由黄金分割法知：a a1 1=100+0.618=100+0.618(1 100-100)=718.(1 100-100)=718.(2)(2)由由(1)(1)得得a a2 2=100+1 100-718=482=100+1 100-718=482，因为，因为700700，750750包含存包含存优范围，所以最优点在优范围，所
11、以最优点在700700，750750上，比较前两次试验结果，上，比较前两次试验结果，好点是好点是718718，此时的存优范围是，此时的存优范围是482482，1 1001 100，于是可求得，于是可求得a a3 3=482+1 100-718=864.=482+1 100-718=864.依此思路依此思路，可得，可得a a4 4=628,a=628,a5 5=774.=774.答案答案：(1)718 (2)774 (1)718 (2)774 【反思【反思感悟感悟】(1)(1)试验的好点一定在存优范围内；试验的好点一定在存优范围内；(2)(2)要根据试验对象选取恰当的试验方法；要根据试验对象选取
12、恰当的试验方法；(3)(3)本题用黄金分割法找试点值，一定要算准第一试点值，后本题用黄金分割法找试点值，一定要算准第一试点值，后续试点值则利用续试点值则利用“加两头，减中间加两头，减中间”来计算来计算. . 分数法分数法 【方法点睛【方法点睛】分数法的最优性分数法的最优性(1(1）在目标函数为单峰的情形，通过）在目标函数为单峰的情形，通过n n次试验，最多能从次试验，最多能从(F(Fn+1n+1- -1)1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n n次试验中次试验中的最优试验点；的最优试验点；(2(2）在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试
13、验，才）在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过能通过n n次试验保证从次试验保证从(F(Fn+1n+1-1)-1)个试点中找出最佳点个试点中找出最佳点. . 【例【例2 2】在某市新一轮农村电网改造升级过程中，需要选一个】在某市新一轮农村电网改造升级过程中，需要选一个电阻调试某村设备的线路，但调试者手中只有阻值分别为电阻调试某村设备的线路，但调试者手中只有阻值分别为0.5 0.5 KK，1 K1 K，1.3 K1.3 K，2 K2 K，3 K3 K，5 K5 K，5.5 K5.5 K等七等七种阻值不同的定值电阻种阻值不同的定值电阻. .他用分数法进行优选试验时，依次将他用分数
14、法进行优选试验时，依次将电阻从小到大安排序号，如果第电阻从小到大安排序号，如果第1 1个试点与第个试点与第2 2个试点比较，第个试点比较，第1 1个试点是好点，则第个试点是好点，则第3 3个试点值的阻值为个试点值的阻值为_K._K.【解题指南【解题指南】调整试验范围调整试验范围, ,让其适应于分数法让其适应于分数法, ,本题需增加或本题需增加或减少试点个数使试点总数恰好是某个减少试点个数使试点总数恰好是某个F Fn n-1.-1.【规范解答【规范解答】按分数法试验要求，先把这些电阻值由小到大顺按分数法试验要求，先把这些电阻值由小到大顺序排列，并在两个端点增加虚点，使试验的总数正好是序排列，并在
15、两个端点增加虚点，使试验的总数正好是8 8个，个，则第则第1 1试点在试点在 处，第处，第2 2试点在试点在 处，现由题意知存优范围为处，现由题意知存优范围为 右边区间，故第右边区间，故第3 3试点在试点在 处，即对应编号处，即对应编号6 6的电的电阻，所以答案为阻，所以答案为5 K.5 K.答案：答案：5 5 【反思【反思感悟感悟】(1)(1)分数分数法适应于因素范围是由一些离散的点法适应于因素范围是由一些离散的点组成，试点只能取某些特定值的情形，它用渐进分数近似代替组成，试点只能取某些特定值的情形，它用渐进分数近似代替0.6180.618确定第一个试点，后续试点的选取和黄金分割法一样确定第
16、一个试点，后续试点的选取和黄金分割法一样. . (2)(2)若因素范围内的试点将试验范围所分的段数不是斐波那契若因素范围内的试点将试验范围所分的段数不是斐波那契数，则可以通过减少试点数或增加虚点数凑成斐波那契数数，则可以通过减少试点数或增加虚点数凑成斐波那契数. .如如本题只有本题只有7 7个试点，则需要增加虚点个试点，则需要增加虚点. . 试验次数的问题试验次数的问题【方法点睛【方法点睛】试验次数的问题试验次数的问题(1)(1)一般地，用一般地，用0.6180.618法做试验，若给定精度法做试验，若给定精度，为了达到这，为了达到这个精度，所要做的试验次数个精度，所要做的试验次数n n满足满足
17、0.6180.618n-1n-11,1,即即(n-1)(n-1)lg0.618lglg0.618lg0.0.所以所以(2)(2)在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过能通过n n次试验保证从次试验保证从(F(Fn+1n+11)1)个试点中找出最佳点个试点中找出最佳点. .【例【例3 3】(1)(1)在用黄金分割法对某试验进行优选，要达到精度在用黄金分割法对某试验进行优选，要达到精度0.0010.001的要求需要进行的要求需要进行_次试验次试验. .(2)(2)用对分法找最佳点时，达到精度是用对分法找最佳点时，达到精度是0.01
18、0.01的要求需要进行的要求需要进行_次试验次试验. .【解题指南【解题指南】分别利用相应的精度公式，结合指数、对数运算分别利用相应的精度公式，结合指数、对数运算去求解去求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)设达到设达到0.0010.001的要求需要的要求需要n n次试验，那么次试验，那么n n=0.618=0.618n-1n-10.0010.001，所以所以 即需要即需要1616次试验次试验. .(2)(2)由由 得得所以要进行所以要进行7 7次试验次试验. .答案答案: :(1)16 (2)7(1)16 (2)7【反思【反思感悟感悟】试验次数非常重要，它反映了优选法的优越性，试验次数非常重要，它反映了优选法的优越性，要注意不同优选法的精度限制下试验次数的计算公式要注意不同优选法的精度限制下试验次数的计算公式. .
