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1、全全等等形形全全等等三三角角形形性质性质应用应用全等三角形对应边（高线、全等三角形对应边（高线、中线）相等中线）相等全等三角形对应角（对应角全等三角形对应角（对应角的平分线）相等的平分线）相等全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等SSSSASASAAASHL解决问题解决问题角角的的平平分分线线的的性性质质角平分线上的一点到角的两边距离相等角平分线上的一点到角的两边距离相等角的内部到角的两边的距离的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离的点在角的平分线上判定判定条件条件（尺规作图） （判定三角形全等必（判定三
2、角形全等必须有一组对应边相等须有一组对应边相等.）一本章知识结构一本章知识结构二、全等三角形识别思路复习二、全等三角形识别思路复习如图，已知如图，已知ABC和和DCB中，中，AB=DC，请补充一，请补充一个条件个条件-，使，使ABC DCB。思路思路1：找夹角找夹角找第三边找第三边找直角找直角已知两边：已知两边： ABC= DCB（SAS）AC=DB（SSS） A= D=90（HL）ABCD如图，已知如图，已知C= D，要识别，要识别ABC ABD，需要，需要添加的一个条件是添加的一个条件是-。思路思路2：找任一角找任一角已知一边一角已知一边一角（边与角相对）（边与角相对）（AAS） CAB=
3、 DAB或者或者CBA= DBAACBD如图，已知如图，已知1= 2，要识别，要识别ABC CDA，需，需要添加的一个条件是要添加的一个条件是-思路思路3： 已知一边一角（边与角相邻）：已知一边一角（边与角相邻）：ABCD21找夹这个角的另一边找夹这个角的另一边找夹这条边的另一角找夹这条边的另一角找边的对角找边的对角AD=CB ACD= CAB D= B（SAS）（ASA）（AAS）如图，已知如图，已知B= E，要识别，要识别ABC AED，需要，需要添加的一个条件是添加的一个条件是-思路思路4：已知两角：已知两角：找夹边找夹边找一角的对边找一角的对边ABCDEAB=AEAC=AD或或DE=B
4、C(ASA)(AAS)三找全等三角形对应边和对应角的方法：三找全等三角形对应边和对应角的方法：1、从长短大小、从长短大小两个全等三角形的一对最长边（最大角）是对应边（角）；一对最短边（最小角）是对应边（角）2、从对应边与对应角的关系、从对应边与对应角的关系对应角所对的边为对应边；对应边所对的角为对应角；两个对应角所夹的边为对应边；两条对应边所夹的角为对应角。3、从位置、从位置公共边为对应边；公共角为对应角；对顶角为对应角四 三角形中常见辅助线的作法例1 如图1，已知ABC中，AD是ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围提示：延长AD至A，使ADAD，连结BA根据“SAS”易证ABD
5、ACD，得ACAB这样将AC转移到ABA中，根据三角形三边关系定理可解1.延长中线构造全等三角形2、引平行线构造全等三角形例2 如图2，已知ABC中，ABAC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BDCE，DE与BC交于点F求证：DF=EF提示：此题辅助线作法较多，如：作DGAE交BC于G；作EHBA交BC的延长线于H；再通过证三角形全等得DFEF例3 如图3，已知RTACB中，C=90，AC=BC，AD=AC，DEAB，垂足为D，交BC于E求证：BD=DE=CE提示：连结DC，证ECD是等腰三角形3、作连线构造等腰三角形4、利用翻折，构造全等三角形例4 如图4，已知ABC中，B2C，AD平分
6、BAC交BC于D求证：ACABBD提示：将ADB沿AD翻折，使B点落在AC上点B处，再证BD=BDBC，易得ADBADB，BDC是等腰三角形，于是结论可证5、作三角形的中位线例5 如图5，已知四边形ABCD中，ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点M、N求证：BMECNE提示：连结AC并取中点O，再连结OE、OF则OEAB，OFCD，故1BME，2CNE、且OE=OF，故12，可得证例例1.如图，在如图，在ABC中，中，两条角平分线两条角平分线BD和和CE相交相交于点哦，若于点哦，若BOC=1200，那，那么么A的度数是的度数是.ABCDEO600例例2、
7、如图，、如图，ABAC，BDCD，BHCH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA解：有三组。解：有三组。在在ABH和和ACH中中AB=AC，BH=CH，AH=AHABHACH（SSS）；）； BD=CD，BH=CH，DH=DHDBHDCH（SSS）AB=AC，BD=CD，AD=ADABDACD（SSS）；）；在在ABH和和ACH中中在在ABH和和ACH中中解：解：E、F分别是分别是AB，CD的中点（的中点（）又又AB=CD AE=CF在在ADE与与CBF中中AE=ADECBF() AE=ABCF=CD（）1212例例3.如图，已
8、知如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是分别是AB，CD的中点，且的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由，说出下列判断成立的理由.ADECBFA= C线段中点的定义线段中点的定义CFADABCDSSSADECBF全等三角形全等三角形对应角相等对应角相等已知已知ADBCFECB A= C()= 例例4.4.如图，如图，E E，F F在在BCBC上，上，BE=CFBE=CF，AB=CDAB=CD，ABCDABCD。求证：求证：AFDEAFDEABCDEFABFDCE(SAS)AFB=DECAF/DE AB CD，AD BC（已知（已知） 12 34在在ABC与与CDA中中 12（已证
9、）（已证）AC=AC（公共边（公共边) 34（已证）（已证） ABCCDA（ASA） AB=CDBC=AD（全等三角形对（全等三角形对应边相等）应边相等）证明证明:连结连结AC.例例5.5.如图，如图，ABCDABCD，ADBCADBC，那么，那么AB=CDAB=CD吗？为什吗？为什么？么？ADAD与与BCBC呢？呢？ABCD2341 例例6.6.如图，已知如图，已知AB=ADAB=AD， B=DB=D，1=21=2，求证：求证：BC=DEBC=DEABCDE12证明证明:1=2:1=21+EAC=2+EAC1+EAC=2+EACBAC=DAEBAC=DAE在在ABCABC和和ADEADE中中
10、ABCABCADE(AAS)ADE(AAS)BC=DEBC=DE解解 CE ABCE AB，DF ACDF AC（已知）（已知） AEC= BFD=RtAEC= BFD=Rt AF=BE AF=BE （已知）（已知）即即AE+EF=BF+EFAE+EF=BF+EFAE=BFAE=BF AC=BD AC=BD RtACE RtBDF RtACE RtBDF（HLHL） CE=DFCE=DF（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） 例例7.如图，已知如图，已知CE AB，DFAB，AC=BD，AF=BE，则，则CE=DF。请说明理由。请说明理由。例例8.8.已知：已知：ACB=ADB=
11、90ACB=ADB=900 0，AC=ADAC=AD，P P是是ABAB上任上任意一点，求证：意一点，求证：CP=DPCP=DP CABDP证明证明: :在在RtRtABCABC和和RtRtABDABD中中RtRtABCRtABCRtABDABDCAB=DABCAB=DABAPCAPCAPD(SAS)APD(SAS)CP=DPCP=DP 例例9. 9. 如图如图CDABCDAB，BEACBEAC，垂足分别为，垂足分别为D D、E E，BEBE与与CDCD相交于点相交于点O O，且，且1 12 2，求证，求证OBOBOCOC。证明：证明：12CD AB，BE ACODOE(角平分线的性质定理角平
12、分线的性质定理)在在OBD与与OCE中中 BODCOE(对顶角相等对顶角相等)ODOE(已证已证) ODBOEC(垂直的定义垂直的定义)OBDOCE(ASA)OBOC例例10.如图如图A、B、C在一直线上，在一直线上，ABD，BCE都是都是等边三角形，等边三角形，AE交交BD于于F，DC交交BE于于G，求证：，求证：BFBG。证明：证明：ABD，BCE是等边三角形。是等边三角形。DBAEBC60A、B、C共线共线DBE60ABEDBC在在ABE与与DBC中中ABDB ABEDBCBEBC ABEDBC(SAS)21在在BEF与与BCG中中 EBFCBGBEBC 21BEFBCG(ASA) BF
13、BG(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)例例11.11.如图如图AB/CD,B=90AB/CD,B=90,E,E是是BCBC的中点的中点,DE,DE平分平分ADC,ADC,求证求证:AE:AE平分平分DABDABCDBAEF证明证明: :作作EFAD,EFAD,垂足为垂足为F FDEDE平分平分ADCADCAB/CD,C=BAB/CD,C=B又又B=90B=90C=90C=90又又EFADEFADEF=CEEF=CE又又E E是是BCBC的中点的中点EB=ECEB=ECEF=EBEF=EBB=90B=90EBABEBABAEAE平分平分DABDABBCDCBCDC 例例12. 12.
14、如图，两根长度为如图，两根长度为1212米的绳子，米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。距离相等吗？请说明你的理由。 AB=AC（已知）（已知）AD=AD（公共边）（公共边）RtABDRtACD(RtABDRtACD(HLHL) )BD=CD解：解：BD=CD ADB= ADC=90做一做做一做 1、如图，要识别、如图，要识别ABCADE，除公，除公共角共角A外，把还需要的两个条件及其根外，把还需要的两个条件及其根据写在横线上。据写在横线上。ABCED（1）
15、， （ ）（2） ， （ ）（3） ， （ ）（4） ， （ ）（5） ， （ ）（6） ， （ ）（7） ， （ ）SAS 2 2、如图，、如图，D为为BC中点，中点，DFAC，且，且DE=DF，B与与C相等吗？为什么？相等吗？为什么？ADCBFE3、如图，如图，AB=AC，BD、CE是是ABC的的角平分线，角平分线，ABDCBE吗？为什么？吗？为什么？BACDE4、如图，、如图，AB=AD，AC=AE，BAE= DAC，ABC与与ADE全等吗？全等吗？BACDE考考你，学得怎样？考考你，学得怎样？5、如图如图1 1，已知，已知AC=BD，1=2，那么那么ABC ，其判定根据是，其判定根据是
16、_。6、 如图如图2，ABC中，ADBC于于D，要使，要使ABDACD，若根据，若根据“HL”判定，还需加条件判定，还需加条件_ = _ = _，7、 如右图，已知如右图，已知AC=BD， A =D ，请你添一个直接条件，请你添一个直接条件，_= _= ， 使使AFCDEB8 8、如如图图，已已知知ABABACAC，BEBECECE，延延长长AEAE交交BCBC于于D D，则图中全等三角形共有（），则图中全等三角形共有（）（A A）1 1对对 （B B）2 2对（对（C C）3 3对（对（D D）4 4对对9、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等
17、的是（）（A A）一锐角和斜边对应相等（）一锐角和斜边对应相等（B B）两条直角边对应相等）两条直角边对应相等（C C）斜边和一直角边对应相等（）斜边和一直角边对应相等（D D）两个锐角对应相等）两个锐角对应相等1010、下列四组中一定是全等三角形的为、下列四组中一定是全等三角形的为 （ ）A A三内角分别对应相等的两三角形三内角分别对应相等的两三角形 B B、斜边相等的两直角三角形、斜边相等的两直角三角形C C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形 D D、三边对应相等的两个三角形、三边对应相等的两个三角形答：证法错误。答：证法错误。SAS定
18、理应用错误。定理应用错误。11.【99江西江西】已知，如图，已知，如图，求证：，求证：有一同学证法如下：有一同学证法如下：证：连结证：连结AB在在ABC和和ABD中中BC=BDC=DAB=ABABCABD(SAS)AC=AD你认为这位同学的证法对吗？如果错误，你认为这位同学的证法对吗？如果错误，错在哪里，应怎样证明？错在哪里，应怎样证明？12.12.如图，如图，ACB=90ACB=90，AC=BCAC=BC，BECEBECE，ADCEADCE于于D D，AD=2.5cm,DE=1.7cmAD=2.5cm,DE=1.7cm。求：。求：BEBE的长。的长。ABCDE13.如图如图,在在ABC中中,
19、 ACB=90,AO是角平分线是角平分线,点点D在在AC的延长线上的延长线上,DE过点过点O且且DE AB,垂足为垂足为E.(1)请你找出图中一对相等的线段请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等并说明它们相等的理由的理由;ACDOBE解：解：ACB=90BCACAO平分平分BAC又又DEABBCACOE=OC（角角平平分分线线上上的点到角两边的距离相等的点到角两边的距离相等（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，并说明理由并说明理由14、如图，、如图，B=C=90度，度，M是是BC的中点，的中点，DM平分平分ADC，求证：求证：AM平分平
20、分DABADCBME四、小结：四、小结：找夹角（找夹角（SAS）找第三边（找第三边（SSS）找直角（找直角（HL）已知两边已知两边找任一角（找任一角（AAS）已知一边一角已知一边一角（边与角相邻）（边与角相邻）找夹这个角的另一边（找夹这个角的另一边（SAS）找夹这条边的另一角（找夹这条边的另一角（ASA）找边的对角（找边的对角（AAS）已知两角已知两角找夹边（找夹边（ASA）找一角的对边（找一角的对边（AAS）1、全等三角形识别思路、全等三角形识别思路：3、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。（边与角相对）（边与角相对）2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。注意：、注意：、“分别对应相等分别对应相等”是关键；是关键；、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。
