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1、引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元行所有元素除素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的代与它的代数余子式的乘积，即数余子式的乘积，即 定理定理(Laplace展开定理展开定理) 行列式等于它的行列式等于它的任一行任一行(列列) 的各元素与其对应的代数余的各元素与其对应的代数余子式乘积之和子式乘积之和.D =D =关于代数余子式, 还有下列定理行行列列式式的的任任一一行行(列列)的的所所有有元元素素与与另另一一行行(列列)的的对对应应元元素素的的代代数数余余子子式式乘乘积之各等于零积之各等于零. 或定理定理2即( ij )机动 目录
2、上页 下页 返回 结束 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质4 4 克莱姆法则克莱姆法则二、重要定理二、重要定理三、小结三、小结 思考题思考题 一、克莱姆法则一、克莱姆法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 设线性方程组设线性方程组则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性方程组非齐次线性方程组;此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念(克莱姆法则克莱姆法则) 设设 n 个变量个变量 n 个方程的线性方程组为个方程的线性方程组为(4.1)定理定理1如果系数行列式则方程组(4.1)有唯一解,且解可表示为其中 Di
3、( i = 1, 2, , n)是用常数项 b1, b2, bn代替 D 中第 i列各元素而得到的 n 阶行列式, 即i=(1, 2, , n )机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得机动 目录 上页 下页 返回 结束 由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,于是于是当当 时时, ,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解结论结论1.1. 若线形方程组（若线形方程组（4.1)系数行列式系数行列式D 0， 则它一定有唯一解则它一定有唯一解.等等价价 若若线线形形方方程程组组（4.1)无无解解或或有有两两个个不不同同解，则必有系数行列式解
4、，则必有系数行列式D = 0.(4.1)克莱姆法则可叙述为：克莱姆法则可叙述为：在方程组(4.1)中, 若b1=b2=bn=0, 即为齐次线性方程组，而(4.1)称为非齐次的线性方程组. 显然 x1= x2 = = xn = 0 是 (4.2) 的解(零解).(4.2)关于齐次方程组 (4.2) 还有下列结论：结论结论1.1. 若系数行列式若系数行列式D 0，则它只有零解则它只有零解.结结论论2.2. 若若齐齐次次方方程程组组有有非非零零解解，则则必必有有系系数数行列式行列式D = 0.例例1.1.求解线性方程组故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 用克莱姆法则解方程组用克莱姆法则解
5、方程组解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 问问 为何值时，齐次线性方程组为何值时，齐次线性方程组有非零解有非零解? ?分析分析如果齐次线性方程组有非零解，则如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式系数行列式D=0D=0。由由D=0不难验证：将不难验证：将2，5，8代入齐代入齐次线性方程组确有非零解次线性方程组确有非零解.解一：u利用行列式的性质使得行列式中零尽量的多利用行列式的性质使得行列式中零尽量的多解二：u行（列）和相等行（列）和相等5（4）u按某行（列）展开后，行列式的结构不发生变化（递推）按某行（列）展开后，行列式的结构不发生变化（递推）
6、5 计算计算n(n 2)阶行列式阶行列式解：设行列式为解：设行列式为D，则，则解解: : 将其直接按第一列展开, 得计算 n 阶行列式6. 6.解解: :(i2)计算 n 阶行列式7. 7.机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 一、全排列一、全排列机动 目录 上页 下页 返回 结束 逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为，逆序数为偶数的排列称为偶
7、数的排列称为偶排列偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆逆序数序数二、逆序数二、逆序数机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换叫做相邻对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对
8、换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数三、对换三、对换机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、n阶行列式的定义阶行列式的定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法注注机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、五、n阶行列式的性质阶行列式的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 余子式与代数余子式余子式与代数余子式六、行列式按行（列）展开六、行列式按行（列）展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 七、克莱姆法则七、克莱姆法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 克莱姆法则的理论价值克莱姆法则的理论价值定理定理定理定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理定理定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.用定义及性质计算（证明）用定义及性质计算（证明）2.利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算3.用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算4.用降阶法计算用降阶法计算5. 用递推法计算用递推法计算
