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1、2024/9/51第三章 矩阵的初等变换 与 线性方程组2024/9/521矩阵的初等变换引例引例 求解求解线性方程性方程组2024/9/53用消元法用消元法2024/9/542024/9/55令令代入代入方程方程组，得解，得解2024/9/56消元法的三类变换：消元法的三类变换：（1）对调二个方程的次序；）对调二个方程的次序；（2）以非零的数）以非零的数 k 乘某个方程；乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的 k 倍倍由于三类变换都是可逆的，由于三类变换都是可逆的，因此变换前的方程组与变换后是同解的因此变换前的方程组与变换后是同解的2024/9/57定义定义1
2、1：下面三类变换称为矩阵的初等下面三类变换称为矩阵的初等行变换行变换: :同样可定义矩阵的初等同样可定义矩阵的初等列变换列变换 (把把“r”换成换成“c”) 初等初等行变换行变换和初等和初等列变换列变换统称统称初等变换初等变换。2024/9/58三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一类的初等变换。类的初等变换。2024/9/59若矩阵若矩阵 A 经过有限次经过有限次初等变换变成初等变换变成 B，则称，则称 A 与与B 等价，记作等价，记作 A B .矩阵的矩阵的等价关系满足：等价关系满足：(i) 反身性反身性 A A ；(ii) 对称性称性 若若A
3、 B ，则B A ；(iii) 传递性性 若若A B ， B C ，则A C 。2024/9/510(1)(1)的增广矩的增广矩阵线性方程性方程组2024/9/5112024/9/512行阶梯形行阶梯形2024/9/513行最简形行最简形令令2024/9/514等价标准形等价标准形2024/9/515任一任一 mn 矩阵矩阵 A 都等价于一个如下的矩阵都等价于一个如下的矩阵 称为称为A的的等价标准形等价标准形。2024/9/5162初等矩阵定义定义2： 由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵。为初等矩阵。三类初等变换与三类初等方阵相对应三类初等变换与
4、三类初等方阵相对应2024/9/5172024/9/5182024/9/5192024/9/520三类三类初等矩阵：初等矩阵：其中其中2024/9/521三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置矩阵都是同一类的初等矩阵。矩阵都是同一类的初等矩阵。2024/9/522定理定理1： 设设 A 为为mn 矩阵，则矩阵，则 2024/9/5232024/9/524方阵方阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是A可以表示为可以表示为若干个初等矩阵的乘积。若干个初等矩阵的乘积。定理定理2：证明：证明：充分性充分性. 必要性必要性. 2024/9/525方阵方阵 A可
5、逆的充要条件是可逆的充要条件是 A E推论推论1：推论推论2：mn阵阵 A与与 B等价的充要条件是存在等价的充要条件是存在 m阶阶可逆阵可逆阵 P和和 n阶可逆阵阶可逆阵 Q，使得，使得 PAQ = B注意到注意到可逆阵可表示为若干个初等阵的乘积。可逆阵可表示为若干个初等阵的乘积。2024/9/526即即2024/9/527解：解：例：例：2024/9/5282024/9/5292024/9/530例：例：解：解：初等行变换初等行变换2024/9/5312024/9/5322024/9/5333矩阵的秩定义定义3：在矩阵在矩阵 A中，任取中，任取 k 行、行、k 列所得的列所得的 k2个个 元
6、素不改变它们的相对位置而得的元素不改变它们的相对位置而得的 k 阶行列式，阶行列式， 称为称为 A的一个的一个 k 阶子式阶子式。A的一个的一个2阶子式：阶子式：2024/9/534定义定义4：矩阵：矩阵 A的的 最高阶非零子式的阶数最高阶非零子式的阶数 称为称为 A的秩的秩，记作，记作 R(A) 。例例. 求矩阵求矩阵A 和和B 的秩的秩, 其中其中2024/9/5352 阶子式阶子式3 阶子式阶子式 | A|=0 3 阶子式阶子式4 阶子式都阶子式都 = 0 R(A) = 2 R(B) = 32024/9/536定理定理 3 若若A B, 则则 R(A) = R(B) . 事实上，若事实上
7、，若 A 经过一次初等变换变为经过一次初等变换变为 B，A的的 k 阶子式全等于零阶子式全等于零, 则则 B的的 k 阶子式也全等于零。阶子式也全等于零。 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例解解由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知2024/9/542性质性质 1. 若若A的所有的所有 r 阶子式阶子式(如果有如果有)全等于零，全等于零， 则阶数大于则阶数大于r 的所有子式全等于零。的所有子式全等于零。若若A的所有的所有 k 阶子式全等于零阶子式全等于零
8、, 则则 R(A) k2. 若若A有一个有一个 k 阶子式非零阶子式非零, 则则 R(A) k3. 若若A为为mn矩阵矩阵, 则则 0 R(A) minm, n4. 2024/9/5435. R(PAQ) R(A), 其中其中P, Q为可逆矩阵。为可逆矩阵。9. 若若则则6. 7. 8. 2024/9/544设设, 则则故故2024/9/545注意到，从一个矩阵中划去一行或一列，它的秩注意到，从一个矩阵中划去一行或一列，它的秩至多减少一。至多减少一。 将将 C1看成一个看成一个 n 阶矩阵划去了阶矩阵划去了n- -r1行行, , n- -r2列，于是有列，于是有2024/9/5464线性方程组
9、的解2024/9/547化为行最化为行最简形矩阵简形矩阵不妨假定不妨假定2024/9/548( # )2024/9/549(1) 若若 ，则，则 (#)无解。无解。(2) 若若则则 (#)有解，并且有解，并且当当时，有唯一解。时，有唯一解。时，有无穷多解。时，有无穷多解。2024/9/550非齐次性线性方程组解的条件非齐次性线性方程组解的条件 定理定理4：非齐次线性方程组非齐次线性方程组有解的充要有解的充要当当时，有唯一解；时，有唯一解；当当时，有无穷多解。时，有无穷多解。条件是条件是，并且，并且2024/9/551例例11：求解线性方程组：求解线性方程组解：解：2024/9/552可知方程组
10、无解。可知方程组无解。2024/9/553例：求解线性方程组例：求解线性方程组解：解：2024/9/5542024/9/555得得令令故故2024/9/5562024/9/557齐次性线性方程组解的条件齐次性线性方程组解的条件 定理定理6：齐次线性方程组：齐次线性方程组 有非零解的有非零解的充充要条件是要条件是2024/9/558例例10：求解齐次线性方程组：求解齐次线性方程组解：解：2024/9/5592024/9/5602024/9/561矩阵方程有解的条件矩阵方程有解的条件 定理定理6：矩阵方程：矩阵方程有解的充有解的充要条件是要条件是2024/9/562定理：矩阵方程定理：矩阵方程有非零解有非零解充充要条件是要条件是有非零解的有非零解的有非零解有非零解
