单自由度系统的振动

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1、返回总目录振动理论与应用振动理论与应用Theory of Vibration with Applications1 返回首页目录Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动 2.6 2.6 简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用 2.7 2.7 周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激

2、励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动 2.9 2.9 响应谱响应谱响应谱响应谱 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 2.2 2.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法 2.3 2.3 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法 2.4 2.4 有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动 2 返回首页Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由

3、振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动3关于关于关于关于单自由度系统单自由度系统振动振动振动振动的的概念概念概念概念典型的单自由度系统典型的单自由度系统: :弹簧弹簧- -质量系统质量系统 梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧简化成弹簧- -质量系统质量系统 返回首页Theory of Vibration with Applications42.1.1 自由振动方程自由振动方程 2.1.2 振幅、初相位和频率振幅

4、、初相位和频率 2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数 2.1.4 扭转振动扭转振动 返回首页Theory of Vibration with Applications52.1.1 自由振动方程自由振动方程当物块偏离平衡位置为当物块偏离平衡位置为x x距离时，物块的距离时，物块的运动微分方程为运动微分方程为 其中取取物物块块的的静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点O，x轴轴顺顺弹弹簧簧变变形形方方向向铅铅直直向向下下为为正正。当当物物块块在静平衡位置时，由平衡条件在静平衡位置时，由平衡条件，得到得到无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程 弹簧的静变形弹簧的静变形固有圆频率固有圆频率 返

5、回首页Theory of Vibration with Applications6其通解其通解为：为：其中其中C1和和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，时， 可解可解 返回首页2.1.1 自由振动方程自由振动方程Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动7两种形式描述的物两种形式描述的物块振动，称为块振动，称为无阻无阻尼自由振动尼自由振动，简称，简称自由振动自由振动。 另一种形式另一种形式另一

6、种形式另一种形式无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动简谐振动 初相位角振 幅 返回首页2.1.1 自由振动方程自由振动方程Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动82.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率系统振动的周期系统振动的频率系统振动的圆频率为圆频率 是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。f、 只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常

7、将频率f 称为固有频率，圆频率 称为固有圆频率。 返回首页Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动9用弹簧静变形量用弹簧静变形量d dst表示固有圆频率的计算公式表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时物块静平衡位置时固有圆频率固有圆频率 返回首页2.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统

8、的自由振动无阻尼系统的自由振动102.1.3 等效刚度系数等效刚度系数 单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程等效的概念等效的概念等效的概念等效的概念这一方程，可以等效为广义坐标的形式这一方程，可以等效为广义坐标的形式这一方程，可以等效为广义坐标的形式这一方程，可以等效为广义坐标的形式 返回首页Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动11

9、等效的概念等效的概念等效的概念等效的概念 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动12串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度例例 在图中，已知物块的质量为在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率

10、。 解解：（：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：）并联情况。弹簧并联的特征是：二二弹簧变形相等弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是d dst，而弹性力分别是而弹性力分别是 系统平衡方程是系统平衡方程是 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动13如如果果用用一一根根弹弹簧簧刚刚度度系系数数为为

11、k的的弹弹簧簧来来代代替替原原来来的的两两根根弹弹簧簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则 k称为称为并联弹簧的等效并联弹簧的等效刚度系数。刚度系数。并联后的等效弹簧刚并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。刚度系数的算术和。系统的固有频率系统的固有频率 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动14（2）串

12、联情况。串联弹簧的特征是：）串联情况。串联弹簧的特征是：二二弹簧受力相等弹簧受力相等。 当物块在静平衡位置时，它的静位移dst等于每根弹簧的静变形之和，即 dst = d1st + d2st 由由于于每每根根弹弹簧簧所所受受的的拉拉力力都都等等于于重力重力mg，故它们的静变形分别为故它们的静变形分别为如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于的静变形等于 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1

13、无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动15如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于两根弹簧，此弹簧的静变形等于k称为串联弹簧的等效刚度系数串联后的弹簧刚度系数的倒数等于串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和各串联弹簧刚度系数倒数的算术和 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的

14、自由振动16组合弹簧的等效刚度组合弹簧的等效刚度组合弹簧的等效刚度组合弹簧的等效刚度例例 质量为质量为m的物块悬挂如图所示。设杆的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为的弹簧刚度系数分别为k1和和k2,又又AC=a，AB=b，求物块的自由求物块的自由振动频率。振动频率。 解解：将各弹簧的刚度系数按：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质静力等效的原则，折算到质量所在处。量所在处。 先将刚度系数先将刚度系数k2换算至质换算至质量量m所在处所在处C的等效刚度系的等效刚度系数数k 。 返回首页Theory of Vibration with Appl

15、icationsC2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动17先将刚度系数先将刚度系数k2换算至质量换算至质量m所在处所在处C的等效刚度系数的等效刚度系数k 。 返回首页Theory of Vibration with ApplicationsC设在设在C处作用一力处作用一力F，按静力平衡的按静力平衡的关系，作用在关系，作用在B处的力为处的力为此力使此力使B B 弹簧弹簧 k2 产生产生 变形，变形，而此变形使而此变形使C点发生的变形为点发生的变形为 得到作用在得到作用在C处而与处而与k

16、2弹簧等效的刚度系数弹簧等效的刚度系数 2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动18C物块的自由振动频率为物块的自由振动频率为与弹簧k1串联 返回首页Theory of Vibration with Applications得系统的等效刚度系数得系统的等效刚度系数2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动19弹性梁的等效刚度弹性梁的等效刚度弹性梁的等效刚度弹性梁的等效刚度例例 一个质

17、量为一个质量为m的物块从的物块从 h 的高的高处自由落下，与一根抗弯刚度为处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。振幅和最大挠度。 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动解解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是

18、这个系统简化成弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧质量系统。如果质量系统。如果知道系统的静变形知道系统的静变形 则求出系统的固有频率则求出系统的固有频率 20由由材材料料力力学学可可知知，简简支支梁梁受受集集中载荷作用，其中点静挠度为中载荷作用，其中点静挠度为求出系统的固有频率为求出系统的固有频率为中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼

19、系统的自由振动21以以梁梁承承受受重重物物时时的的静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点O，建建立立坐坐标标系系，并并以以撞撞击击时时刻刻为零瞬时，则为零瞬时，则t=0时，有时，有自由振动的振幅为自由振动的振幅为梁的最大挠度梁的最大挠度 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动222.1.4 扭转振动扭转振动等效系统等效系统等效系统等效系统内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，

20、在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。中常常产生扭转振动，简称扭振。 扭振系统称为扭振系统称为扭摆扭摆。OA 为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为IO。在研究扭摆的运动规律时，假定在研究扭摆的运动规律时，假定OA的质量略的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角线和该线的静止位置之间的夹角 来决定，来决定，称称扭角扭角。圆轴的抗扭刚度系数为圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。圆盘产生单位扭角所需的力矩。 返回首页Theory of Vibration with Appl

21、ications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动23根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程扭振的运动规律扭振的运动规律对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。动规律、特征是完全相同的。 固有圆频率固有圆频率 返回首页2.1.4 扭转振动扭转振动Theory of Vibration with Applica

22、tions2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动24图图 (a)所所示示为为扭扭振振系系统统两两个个轴轴并并联联的的情情况况；图图(b)为为两轴串联的情况；图两轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。则为进一步简化的等效系统。并联轴系的等效刚度系数并联轴系的等效刚度系数串联轴系的等效刚度系数串联轴系的等效刚度系数 返回首页2.1.4 扭转振动扭转振动Theory of Vibration with Applications2.1 2.1 2.1 2.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动

23、无阻尼系统的自由振动25 返回首页Theory of Vibration with Applications2.2 2.2 2.2 2.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法26计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。 无阻尼单自由振动系统中，势能与动能之和保持不变。无阻尼单自由振动系统中，势能与动能之和保持不变。常量式式中中T是是动动能能，V是是势势能能。如如果果取取平平衡衡位位置置O为势能的零点，系统在任一位置为势能的零点，系统在任一位置 返回首页Theory of Vibration w

24、ith Applications2.2 2.2 2.2 2.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法27当系统在平衡位置时，当系统在平衡位置时，x=0,速度为最大，势能为零，速度为最大，势能为零，动能具有最大值动能具有最大值Tmax；当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而势能具有最大值势能具有最大值Vmax。由于系统的机械能守恒由于系统的机械能守恒 用能量法计算固有频率的公式用能量法计算固有频率的公式 返回首页Theory of Vibration with Applications2.2 2.2

25、 2.2 2.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法28例例 船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物P连同杆连同杆BD对于对于支点支点B的转动惯量为的转动惯量为IE ,求重物求重物P在铅直方向的振动频率。已知在铅直方向的振动频率。已知弹簧弹簧AC的弹簧刚度系数是的弹簧刚度系数是k。 解解： 这是单自由度的振动系统。这是单自由度的振动系统。系统的位置可由杆系统的位置可由杆BD自水平的平自水平的平衡位置量起的衡位置量起的 角来决定。角来决定。系统的动能系统的动能设系统作简谐振动，则其运动方程设系统作简谐振动，则其运动方

26、程角速度为角速度为 返回首页Theory of Vibration with Applications系统的最大动能为系统的最大动能为2.2 2.2 2.2 2.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法29如如取取平平衡衡位位置置为为系系统统的的势势能能零零点点。设设在在平平衡衡位位置置时时，弹弹簧簧的的伸伸长量为长量为 。此时，弹性力此时，弹性力Fst=k ,方向向上。方向向上。 该系统的势能该系统的势能 返回首页Theory of Vibration with Applications2.2 2.2 2.2 2.2 计算固有频率的能量法计算固有频

27、率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法30 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.3 2.3 2.3 2.3 瑞利瑞利瑞利瑞利法法法法31 返回首页Theory of Vibration with Applications利利用用能能量量法法，将将弹弹簧簧的的分分布布质质量量的的动动能能计计入入系系统统的的总总动动能能，仍仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法瑞利法。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。等效质量等效质量 l对于图示系统，假设弹簧

28、上各点在振动过程中任一瞬时的位对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截面的静变形一样。面的静变形一样。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为 2.3 2.3 2.3 2.3 瑞利瑞利瑞利瑞利法法法法32 返回首页Theory of Vibration with Applications例例 在在图图示示系系统统中中，

29、弹弹簧簧长长l，其其质质量量ms。求求弹弹簧簧的的等等效效质质量量及系统的固有频率。及系统的固有频率。左端距离为左端距离为 的截面的位移为的截面的位移为 ，则则d 弹簧的动能为弹簧的动能为l d 假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在一端固定假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在一端固定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，解解：令：令x表示弹簧右端的位移，也是质表示弹簧右端的位移，也是质量量m的位移。的位移。 2.3 2.3 2.3 2.3 瑞利瑞利瑞利瑞利法法法法33 返回首页Theory of Vibration with A

30、pplications弹簧的总动能弹簧的总动能系统的总动能为系统的总动能为系统的势能为系统的势能为固有频率为固有频率为设设l d 2.3 2.3 2.3 2.3 瑞利瑞利瑞利瑞利法法法法34 返回首页Theory of Vibration with Applications2.4 2.4 2.4 2.4 有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动35 阻尼阻尼阻尼阻尼系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的表面

31、阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。阻力。阻力。阻力。物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系c c粘性阻尼系数或粘阻系数粘性阻尼系数或粘阻系数粘性阻尼系数或粘阻系数粘性阻尼系数或粘阻系数。它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Ns/m)。 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.4 2.4 2.4 2.4 有阻尼系统的衰减振动有

32、阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动36运动微分方程运动微分方程 图示为一有阻尼的弹簧图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模质量系统的简化模型。以静平衡位置型。以静平衡位置O为坐标原点，选为坐标原点，选x轴铅直轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程向下为正，有阻尼的自由振动微分方程 特征方程特征方程特征方程特征方程特征根特征根特征根特征根 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.4 2.4 2.4 2.4 有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动n衰减系数，单位1/秒(1/s) so

33、lution of the form 372.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 特征根特征根特征根特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关强阻尼（强阻尼（强阻尼（强阻尼（n n p pn n）情形情形情形情形临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼( (n n = = p pn n ) )情形情形情形情形阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响运动微分方程运动微分方程 特征根特征根特征根特征根 返回首页Theory of Vibratio

34、n with Applications382.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 临临界界情情形形是是从从衰衰减减振振动动过过渡渡到到非非周周期期运运动动的的临临界界状状态态。这这时时系系统统的的阻阻尼尼系系数数是是表表征征运运动动规规律律在在性性质质上上发发生生变变化的重要临界值。化的重要临界值。设设cc为为临界阻尼系数临界阻尼系数，由于，由于 =n/pn =1，即即 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是 称为阻尼比的原因。称为阻尼比的原因。 cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由只取决于系统本身的质量与弹性常量。由 返回首页Theory of V

35、ibration with Applications392.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 返回首页Theory of Vibration with Applications具有具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。因此质量统。因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动，振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡

36、位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种要求。要求。402.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 强阻尼强阻尼强阻尼强阻尼( ( 11) )情形情形情形情形临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼( ( 1 1) )情形情形情形情形 这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减引入阻尼比引

37、入阻尼比引入阻尼比引入阻尼比11Otx 返回首页Theory of Vibration with Applications412.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 弱阻尼弱阻尼弱阻尼弱阻尼( ( 11) )情形情形情形情形（npn） 特征根特征根特征根特征根其中其中其中其中其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t = 0时， 可解C1=x0 返回首页Theory of Vibration with Applications422.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 另一种形式另一种形式另一种形式另一种形式初相位角振 幅 这种情形下，自由振动不是等幅

38、简谐振动，是按负指数衰减的这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为衰减运动。衰减运动的频率为 p d，衰减速度取决于衰减速度取决于 p n，二者分二者分别为本征值的虚部和实部。别为本征值的虚部和实部。 返回首页Theory of Vibration with Applications432.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。有阻尼的自由振动视为准周期振动。 返回首页Theory of Vibration with Applications442.

39、4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 T=2p/pn为无阻尼自由振动的周期。阻尼对周期的影响欠阻尼自由振动的周期欠阻尼自由振动的周期Td ：物体由最大偏离位置起经过物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常 很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当=0.05时，Td=1.00125T，周期 Td 仅增加了 0.125%。当材料的阻尼比 1时，可近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。 返回首页Theory of Vibration with Appli

40、cations45设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振幅分别为Ai和Ai+1，即两振幅之比为称为振幅减缩率或减幅系数。如仍以 =0.05为例，算得 ,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见 ，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著 ，它是按几何级数衰减的。 返回首页2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 阻尼对周期的影响Theory of Vibration with Applications46振幅减缩率的自然对数称为对对数数减减缩缩率率或对数减幅系数，以d 表示例例 在欠阻尼（在欠阻尼（ 1）的系统中，的系统中，在振幅衰减曲线的包络线上，已测

41、在振幅衰减曲线的包络线上，已测得相隔得相隔N个周期的两点个周期的两点P、R的幅值的幅值之比之比xP/xR=r r，如图所示，试确定此如图所示，试确定此振动系统的阻尼比振动系统的阻尼比 。 返回首页Theory of Vibration with Applications2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 472.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 解：振动衰减曲线的包络线方程为设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有当 21时 此式对估算小阻尼系统的z值是很方便的。例如，经过10个周期测得P、R两点的幅值比r=2，将N=10、r=2代入上式，得到该系统的

42、阻尼比 返回首页Theory of Vibration with Applications482.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 返回首页Theory of Vibration with Applications2.4.2 库伦阻尼系统的自由振动库伦阻尼系统的自由振动物体在干燥表面上相对滑动时所受到的摩擦阻力称为库伦阻库伦阻尼或干摩擦阻尼尼或干摩擦阻尼。它与正压力成比例，而与相对运动速度的方向相反。即库伦阻尼力的大小为Fd = fFN。式中f为摩擦系数，FN为法向约束力的大小。由于这种阻尼力的大小不依赖于质点的位移和速度，所以库伦阻尼是一种常数阻尼。 492.4 单自由度系统

43、的衰减振动单自由度系统的衰减振动 返回首页Theory of Vibration with Applications2.4.2 库伦阻尼系统的自由振动库伦阻尼系统的自由振动根据牛顿第二定律得质量m的运动微分方程为502.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 返回首页Theory of Vibration with Applications2.4.2 库伦阻尼系统的自由振动库伦阻尼系统的自由振动根据牛顿第二定律得质量m的运动微分方程为51 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振简谐激励

44、作用下的受迫振简谐激励作用下的受迫振简谐激励作用下的受迫振动动动动52 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振简谐激励作用下的受迫振简谐激励作用下的受迫振简谐激励作用下的受迫振动动动动2.5.1 振动微分方程振动微分方程2.5.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差的讨论相位差的讨论2.5.3受迫振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系 2.5.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 2.5.5等效粘性阻尼等效粘性阻尼 2.5.6简谐激励作用下受迫振激励作用下受迫振动的的过渡渡阶

45、段段 53受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动激励形式激励形式激励形式激励形式系统在外界激励下产生的振动。系统在外界激励下产生的振动。系统在外界激励下产生的振动。系统在外界激励下产生的振动。 外界激励一般为时间的函数，可以是周外界激励一般为时间的函数，可以是周外界激励一般为时间的函数，可以是周外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。期函数，也可以是非周期函数。期函数，也可以是非周期函数。期函数，也可以是非周期函数。 简谐激励是最简单的激励。一般的周期性简谐激励是最简单的激励。一般的周期性简谐激励是最简单的激励。一般的周期性简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶

46、级数展开成简谐激励的激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。叠加。叠加。叠加。 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振简谐激励作用下的受迫振简谐激励作用下的受迫振简谐激励作用下的受迫振动动动动542.5.1 振动微分方程振动微分方程 简谐激振力简谐激振力F0为激振力的幅值，为激振力的幅值， 为激振力的圆频为激振力的圆频率。以平衡位置率。以平衡位置O为坐标原点，为坐标原点，x轴铅轴铅直向下为正，物块运动微分方程为直向下

47、为正，物块运动微分方程为 具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动55简谐激励的响应全解简谐激励的响应全解有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程 微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解微分方程全解：齐次方程的解加非齐

48、次方程的特解微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解齐次齐次齐次齐次解解解解: : x x1 1( (t t) )特解特解特解特解: : x x2 2( (t t) )有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 返回首页Theory of Vibration with Applications2.5.1 振动微分方程振动微分方程 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下

49、的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动56有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 返回首页Theory of Vibration with Applications x x2 2( (t t)- )-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：随时间衰减的稳态响应：随时间衰减的稳态响应：随时间衰减的稳态响应：2.5.1 振动微分方程振动微分方程 2.

50、5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动57这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。 稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。无关，仅仅取决于系统和激励的特性。无关，仅仅取决于系统和激励的特性。无关，仅仅取决于

51、系统和激励的特性。 返回首页Theory of Vibration with Applications2.5.1 振动微分方程振动微分方程 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动582.5.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差相位差 的讨论的讨论 则有则有则有则有若令若令若令若令 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动59 返回

52、首页Theory of Vibration with Applications2.5.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差相位差 的讨论的讨论 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动60 在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当 1的区域的区域(高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区)， ， ，响应，响应与激励反相；阻尼影响也不大。与激励反相；阻尼影响也不大。3、 1的附近区域的附近区域(共振区共振区)， 急剧增大并在急剧增大并在 1略为略为偏偏左处有峰值。通常将左处有峰值。通常将 1，即，即 pn

53、称为共振频率。称为共振频率。阻尼影阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，上，无论阻尼大小， 1时，总有，时，总有， /2 ,这也是共振这也是共振的重要现象。的重要现象。Theory of Vibration with Applications2.5.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差相位差 的讨论的讨论 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动62例例 题题 例例 质量为质量为M的电机安装在弹性基础上。的电

54、机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质量为偏心质量为m。转子以匀角速转子以匀角速 转动如转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。 解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。 返回首页Theory of Vibration with Application

55、s 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动63根据达朗贝尔原理，有= h 返回首页例例 题题 Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动64电机作受迫振动的运动方程为当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。 返回首页例例 题题 Theory of Vibration with Ap

56、plications 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动65阻尼比 较小时，在=1附近，值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当0时，0，B0；当1时，1，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。 幅频幅频幅频幅频特性特性特性特性曲线曲线曲线曲线和相和相和相和相频特频特频特频特性曲性曲性曲性曲线线线线 返回首页例例 题题 Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的

57、受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动66 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.3受迫振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系 已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为现将各力分别用 B、 的旋转矢量表示。应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成式不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示着一个力多边形。惯性力阻尼力弹性力激振力67 返回首页Theory of Vibration

58、 with Applications（a）力多边形 (b) 1 (c) = 1 (d) 1 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.3受迫振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系 68 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 从从能能量量的的观观点点分分析析，振振动动系系

59、统统稳稳态态受受迫迫振振动动的的实实现现，是是输输入入系系统统的的能能量量和和消消耗耗的的能能量量平平衡衡的的结结果果。现现将将讨讨论论简简谐谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。受迫振动系统的稳态响应为受迫振动系统的稳态响应为周期 1. 激振力在系统发生共振的情况下，相位差在系统发生共振的情况下，相位差 ，激振力在，激振力在一周期内做功为一周期内做功为 ，做功最多。，做功最多。 69 返回首页Theory of Vibration with Applications对于无阻尼系统对于无阻尼系统(除共振情况外除共振情况外)相位差相位差

60、 。因此，。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。 或2. 粘性阻尼力粘性阻尼力 做的功做的功 上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。而实现的。 2.5

61、2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 70 返回首页Theory of Vibration with Applications3. 弹性力弹性力 做的功做的功能量曲线表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。 在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励

62、作用下的受迫振动2.5.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 71 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非非粘粘性性阻阻尼尼的的数数学学描描述述比比较较复复杂杂。为为了了便便于于振振动动分分析析，经经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。常应用能量方法将非粘性阻尼简化

63、成等效粘性阻尼。等等效效的的原原则则是是：粘粘性性阻阻尼尼在在一一周周期期内内消消耗耗的的能能量量等等于于非非粘粘性阻尼在一周期内消耗的能量。性阻尼在一周期内消耗的能量。假假设设在在简简谐谐激激振振力力作作用用下下，非非粘粘性性阻阻尼尼系系统统的的稳稳态态响响应应仍仍然是简谐振动，即然是简谐振动，即非粘性阻尼在一个周期内做的功非粘性阻尼在一个周期内做的功粘性阻尼在一周期内消耗的能量粘性阻尼在一周期内消耗的能量相等相等等效粘性阻尼系数等效粘性阻尼系数72 返回首页Theory of Vibration with Applications利用式得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅得到在该阻尼作用下受迫

64、振动的振幅 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 73 返回首页Theory of Vibration with Applications库仑阻尼库仑阻尼阻尼力表示为阻尼力表示为一周期内库仑阻尼消耗的能量为一周期内库仑阻尼消耗的能量为 等效粘性等效粘性阻尼系数阻尼系数 得到稳态振动的振幅表达式得到稳态振动的振幅表达式求速度平方阻尼求速度平方阻尼等效粘性阻尼系数等效粘性阻尼系数 相等相等 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简

65、谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 74 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先先考考虑虑在在给给定定初初始始条条件件下下无无阻阻尼尼系系统统对对简简谐谐激激励励的的响响应应, ,系系统统的的

66、运动微分方程和初始条件写在一起为运动微分方程和初始条件写在一起为通通解解是是相相应应的的齐齐次次方方程程的的通通解解与与特特解解的的和和, ,即即75 返回首页Theory of Vibration with Applications根据初始条件确定根据初始条件确定C1、C2 。于是得到全解为于是得到全解为其特点是振动频率为系统的固有频率其特点是振动频率为系统的固有频率, ,但振幅与系统本身的但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。性质及激励因素都有关。无激励时的自由振动无激励时的自由振动系统对初始系统对初始条件的响应条件的响应对于存在阻尼的实际系统对于存在阻尼的实际系统, ,自由振动和自由伴

67、随振动的振幅都自由振动和自由伴随振动的振幅都将随时间逐渐衰减将随时间逐渐衰减, ,因此它们都是瞬态响应。因此它们都是瞬态响应。稳态强迫振动稳态强迫振动伴随激励伴随激励而产生自而产生自由振动由振动, , 称为称为自由自由伴随振动伴随振动 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 76 返回首页Theory of Vibration with Applications共振时的情况共振时的情况假设初始条件为假设初始条件为由共振的定义由共振的

68、定义, , 时上式是时上式是 型型, ,利用洛必达法则算出共振时的利用洛必达法则算出共振时的响应为响应为 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 77 返回首页Theory of Vibration with Applications可可见见, ,当当时时 , ,无无阻阻尼尼系系统统的的振振幅幅随随时时间间无无限限增增大大. .经经过过短短暂暂时时间间后后, ,共振响应可以表示为共振响应可以表示为此即共振时的受迫振动此即共振时的受迫

69、振动. .反映出共反映出共振时的位移在相位上比激振力滞后振时的位移在相位上比激振力滞后 , ,且振幅与时间成正比地增大且振幅与时间成正比地增大 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 图 共振时的受迫振动78 返回首页Theory of Vibration with Applications有有阻阻尼尼系系统统在在过过渡渡阶阶段段对对简简谐谐激激励励的的响响应应. .在在给给定定初初始始条条件件下下的运动微分方程为的运动微分方程为

70、全解为全解为式中 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 79 返回首页Theory of Vibration with Applications如果初始位移与初始速度都为零，则成为如果初始位移与初始速度都为零，则成为可见过渡可见过渡阶段的响阶段的响应仍含有应仍含有自由伴随自由伴随振动。振动。 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.6简

71、谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 过渡阶段的响应过渡阶段的响应80在简谐激励的作用下，有阻尼系统的在简谐激励的作用下，有阻尼系统的在简谐激励的作用下，有阻尼系统的在简谐激励的作用下，有阻尼系统的 总响应由三部分组成总响应由三部分组成总响应由三部分组成总响应由三部分组成 无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激励无关。励无关。励无关。励无关。 伴随激励而产生的自由振动自由伴随振动，其伴随激励而产生的自由振动自由伴随振动，其伴随激励而产生的自

72、由振动自由伴随振动，其伴随激励而产生的自由振动自由伴随振动，其振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。 以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减稳态受迫振动。稳态受迫振动。稳态受迫振动。稳态受迫振动。 第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率第一部分和第二部分振动的频

73、率都是自由振动频率p pd d；由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 81 若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自若系统无阻尼

74、，即使在零初始条件下，也存在自若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随时间衰减。时间衰减。时间衰减。时间衰减。 因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，一般总是一般总是一般总是一般总是p pn n和和和和 两个不同频率简谐振动的叠加。两个不同频率简谐振动的叠加。两个不同频率简谐振动的叠加。两个

75、不同频率简谐振动的叠加。 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.5 2.5 2.5 2.5 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 82 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.6 2.6 2.6 2.6 简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用83 返回首页Theory of Vibration wit

76、h Applications2.6.1积极隔振2.6.2消极隔振 2.6 2.6 2.6 2.6 简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用84 返回首页Theory of Vibration with Applications 回转机械、锻压机械等在运转时会产生较大的振动，影响其周围的环境；有些精密机械、精密仪器又往往需要防止周围环境对它的影响。这两种情形都需要实行振动隔离，简称隔振。 隔振可分为两类:一类是积极隔振，即用隔振器将振动着的机器与地基隔离开；另一类是消极隔振，即将需要保护的设备用隔振器与振动着的地基隔离开。 这里说的

77、隔振器是由一根弹簧和一个阻尼器组成的模型系统。在实际应用中隔振器通常选用合适的弹性材料及阻尼材料，如木材、橡胶、充气轮胎、沙子等等组成。 2.6 2.6 2.6 2.6 简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用85 返回首页Theory of Vibration with Applications2.6.1积极隔振振源是机器本身。积极隔振是将振源隔离，防止或减小传递到地基上的动压力，从而抑制振源对周围环境的影响。积极隔振的效果用力传递率或隔振系数来衡量，定义为其中H和HT分别为隔振前后传递到地基上的力的幅值。在采取隔振措施前，机器

78、传递到地基的最大动压力Smax=H。机器与地基之间装上隔振器。系统的受迫振动方程为激振力 2.6 2.6 2.6 2.6 简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用86 返回首页Theory of Vibration with Applications2.6.1积极隔振此系统的受迫振动方程为此时，机器通过弹簧、阻尼器传到地基上的动压力即F和R是相同频率，在相位上相差 的简谐力。 根据同频率振动合成的结果，得到传给地基的动压力的最大值 2.6 2.6 2.6 2.6 简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动

79、理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用87 返回首页Theory of Vibration with Applications2.6.2消极隔振 振源来自地基的运动。消极隔振是将需要防振的物体与振源隔离，防止或减小地基运动对物体的影响。 消极隔振的效果也用传递率表示，定义为B为隔振后传到物体上的振动幅值b地基运动的振动幅值。 地基为简谐运动隔振后系统稳态响应的振幅为 2.6 2.6 2.6 2.6 简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用88 返回首页Theory of Vibration with Applications位移传递

80、率与力传递率具有完全相同的形式。 ， 1，才隔振，且 值越大， 越小，隔振效果越好。 常选 为2.5-5之间。另外 以后，增加阻尼反而使隔振效果变坏。 为了取得较好的隔振效果，系统应当具有较低的固有频率和较小的阻尼。不过阻尼也不能太小，否则振动系统在通过共振区时会产生较大的振动。 2.6.2消极隔振 2.6 2.6 2.6 2.6 简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用简谐激励受迫振动理论的应用89 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.7 2.7 2.7 2.7 周期激励作用下的受迫振周期激励作用下的受

81、迫振周期激励作用下的受迫振周期激励作用下的受迫振动动动动90 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.7 2.7 2.7 2.7 周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动 先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期激

82、励的响应。期激励的响应。 设粘性阻尼系统受到周期激振力设粘性阻尼系统受到周期激振力谐波分析方法，得到谐波分析方法，得到系统的运动微分方程为系统的运动微分方程为周期基频91 返回首页Theory of Vibration with Applications由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应 2.7 2.7 2.7 2.7 周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动92 返回首页Theory of Vibration with Applications 例例 弹弹簧簧质质量量系系统统

83、，受受到到周周期期性性矩矩形形波波的的激激励励。试试求求系系统的稳态响应。统的稳态响应。(其中其中 )解：周期性矩形波的基频为解：周期性矩形波的基频为矩形波一个周期内函数矩形波一个周期内函数将矩形波分解为将矩形波分解为固有频率固有频率 2.7 2.7 2.7 2.7 周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动93 返回首页Theory of Vibration with Applications可得稳态响应可得稳态响应将矩形波分解为将矩形波分解为从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量

84、有响应。对于频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。 画出系统的响应频谱图画出系统的响应频谱图奇数奇数 2.7 2.7 2.7 2.7 周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动94 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振任意激励作用下的受迫振任意激励作用下的受迫振任意激励作用下的受迫振动动动动9

85、5 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动2.8.1系统对冲量的响应系统对冲量的响应2.8.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 2.8.3 单位脉冲响应函数的时单位脉冲响应函数的时-频变换频变换2.8.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 2.8.5 传递函数传递函数 96 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作

86、用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动2.8.1系统对冲量的响应系统对冲量的响应物物块块受受到到冲冲量量的的作作用用时时，物物块块的的位位移移可可忽忽略略不不计计。但但物物块块的的速速度度却却变变化化明明显显。根根据据力力学学中中的的碰碰撞撞理理论论，可可得得物物块块受受冲冲量量作作用获得的速度用获得的速度设冲量的大小为设冲量的大小为作用在单自由度系统中，求响应。作用在单自由度系统中，求响应。对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。1. 用冲量描述瞬态作用用冲量描述瞬态作用97 返回首页Th

87、eory of Vibration with Applications如果取如果取 为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应初位移初位移初速度初速度得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应如如果果 作作用用在在 的的时时刻刻，未未加加冲冲量量前前，系系统统静静止止，则则物物块块的响应为的响应为 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动2.8.1系统对冲量的响应系统对冲量的响应98 返回首页Theory of Vibration with

88、 Applications同同理理，如如果果在在t = 0时时，冲冲量量作作用用在在有有粘粘性性阻阻尼尼的的物物块块上上，对对欠阻尼的情形，得其响应欠阻尼的情形，得其响应如果如果 作用在作用在 的时刻，则物块的响应为的时刻，则物块的响应为 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动2.8.1系统对冲量的响应系统对冲量的响应99用用 (t)函数表示作用在极短时间内冲击力函数表示作用在极短时间内冲击力 返回首页Theory of Vibration with Applications2.8.2系统对单位脉冲力的响

89、应系统对单位脉冲力的响应 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但它对时间积分是有限数它对时间积分是有限数1。函数的定义是函数的定义是从积分式可见，如果时间以秒计，从积分式可见，如果时间以秒计， (t)函数的单位是函数的单位是1/s。用用单位脉冲单位脉冲(unit impulse)函数函数 (t)表示表示冲击力冲击力冲量表示施加冲量的瞬时100 返回首页Theory of Vibration with

90、 Applications如果在如果在t = 0的瞬时施加冲量，则相应的冲击力的瞬时施加冲量，则相应的冲击力 当 ，即施加单位冲量时，冲击力为F是冲击力是冲击力, (t)函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为2.8.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动101 返回首页Theory of Vibration with Appl

91、ications单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作用等价于冲量单位脉冲力作用等价于冲量 作用在有粘性阻尼的物块上，作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，对欠阻尼的情形，根据初始条件可确定根据初始条件可确定A和和 。最后得其响应。最后得其响应2.8.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动102 返回首页Theory of Vibration with Applications为为了了应应用用方方便便，单单位位脉脉冲冲函函数数的的响

92、响应应用用h(t)表表示示。得得单单自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应称为单自由度系统的时域响应函数称为单自由度系统的时域响应函数 2.8.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动103 返回首页Theory of Vibration with Applicationsh(t)有以下特性不难发现不难发现h(t)的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实的表达

93、式包含系统的所有的动特性参数，它实质上是系统动特性在时域的一种表现形式。质上是系统动特性在时域的一种表现形式。h(t)是单位脉冲是单位脉冲冲量的响应，其量纲为冲量的响应，其量纲为位移位移/冲量冲量。 2.8.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动104 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫

94、振动2.8.3 单位脉冲响应函数的时单位脉冲响应函数的时-频变换频变换h(t)的傅里叶变换用的傅里叶变换用H( )来表示，称之为频域响应函数，它来表示，称之为频域响应函数，它是系统的动特性在频域的表现形式。运用欧拉公式得是系统的动特性在频域的表现形式。运用欧拉公式得 105 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动2.8.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 作用有一任意激振力作用有一任意激振力F(t)欠阻尼情形

95、物块的运动微分方程欠阻尼情形物块的运动微分方程将激振力看作是一系列元冲量的叠加将激振力看作是一系列元冲量的叠加元冲量为元冲量为得到系统的响应得到系统的响应106 返回首页Theory of Vibration with Applications由由线线性性系系统统的的叠叠加加原原理理，系系统统对对任任意意激激振振力力的的响响应应等等于于系系统统在在 时时间间区区间间内内各各个个元元冲量的总和，即冲量的总和，即得到系统的响应 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动2.8.4 系统对任意激振力的响应系统对任意

96、激振力的响应 107 返回首页Theory of Vibration with Applications上上式式的的积积分分形形式式称称为为卷卷积积。因因此此，线线性性系系统统对对任任意意激激振振力力的的响响应应等等于于它它脉脉冲冲响响应应与与激激励励的的卷卷积积。这这个个结结论论称称为为博博雷雷尔尔(Borel)定定理，也称杜哈梅理，也称杜哈梅(Duhamel)积分。积分。对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应用单位脉冲函数响应表示，得到单自由度系统对任意激振力响用单位脉冲函数响应表示，得到单自由度系统对任意激振力响应的统一表达式应的统一表达式 2.

97、8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动2.8.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 108 返回首页Theory of Vibration with Applications系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为对于无阻尼振动系统的响应为对于无阻尼振动系统的响应为t t1 即激振力停止作用后，物块的运动称为剩余运动。即激振力停止作用后，物块的运动称为剩余运动。以以为初始条件的运动为初始条件的运动 2.8 2.8 2.8 2.8 任意

98、激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动2.8.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 109 返回首页Theory of Vibration with Applications例例 无无阻阻尼尼弹弹簧簧质质量量系系统统受受到到突突加加常常力力F0的的作作用用，试试求求其响应。其响应。积分后得响应为积分后得响应为代入代入在突加的常力作用下，物块的运动在突加的常力作用下，物块的运动仍是简谐运动，只是其振动中心沿仍是简谐运动，只是其振动中心沿力力F0的方向移动一距离的方向移动一距离解解：取取开开始始加加力力的的瞬瞬时时为为t = 0，受

99、受阶阶跃跃函函数数载载荷荷的的图图形形如图所示。设物块处于平衡位置，且如图所示。设物块处于平衡位置，且 。也是弹簧产生的静变形。也是弹簧产生的静变形。 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动2.8.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 110 返回首页Theory of Vibration with Applications若若阶阶跃跃力力从从t = a 开开始始作作用用，则则系系统统的响应为的响应为t a 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激

100、励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动2.8.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 111 返回首页Theory of Vibration with Applications解：在解：在 阶段，系统的响应阶段，系统的响应显然与上例的相同，即显然与上例的相同，即例例2-10 无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲力无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲力作用，试求其响应。作用，试求其响应。当t t1时，F ( t ) = 0，得 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动2.8.4 系统对任意激振力的响应系

101、统对任意激振力的响应 112 返回首页Theory of Vibration with Applications系统的响应为系统的响应为t t1实际上，在实际上，在t t1阶段，物块是以阶段，物块是以t = t1的位移的位移x1和速度和速度 为初为初始条件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。始条件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。 将初始条件将初始条件 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动2.8.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 113 返回首页Theory of

102、Vibration with Applications 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动2.8.5 传递函数传递函数作作为为研研究究线线性性振振动动系系统统的的工工具具，拉拉普普拉拉斯斯(简简称称拉拉氏氏)变变换换方方法法有有广广泛泛的的用用途途。它它是是求求解解线线性性微微分分方方程程，特特别别是是常常系系数数的的线线性性微微分分方方程程的的有有效效工工具具。用用拉拉氏氏变变换换可可简简单单地地写写出出激激励励与与响响应应间的代数关系。间的代数关系。现现在在说说明明如如何何用用拉拉氏氏变变换换方方

103、法法求求解解单单自自由由度度具具有有粘粘性性欠欠阻阻尼系统对任意激励的响应。由物块的运动微分方程尼系统对任意激励的响应。由物块的运动微分方程其中其中f (t)表示任意的激振力。并设表示任意的激振力。并设t = 0时，时，对式两端各项作拉氏变换对式两端各项作拉氏变换114 返回首页Theory of Vibration with Applications对式两端各项作拉氏变换对式两端各项作拉氏变换经整理得经整理得是系统的响应在拉氏域中的表达式是系统的响应在拉氏域中的表达式 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫

104、振动2.8.5 传递函数传递函数115 返回首页Theory of Vibration with Applications如不计运动的初始条件，即令如不计运动的初始条件，即令 ，则写成，则写成传递函数 在拉氏域中，系统的响应是系统的传递函数和激励的乘积。在拉氏域中，系统的响应是系统的传递函数和激励的乘积。 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动2.8.5 传递函数传递函数116 返回首页Theory of Vibration with Applications 例例 具具有有粘粘性性欠欠阻阻尼尼的的系系统

105、统，受受到到阶阶跃跃力力F (t) = F0的的作作用用，且且t = 0时，时， ，试用拉氏变换方法求系统的响应。，试用拉氏变换方法求系统的响应。解：解： 系统的传递函数由式求出系统的传递函数由式求出阶跃力的拉氏变换为阶跃力的拉氏变换为响应的拉氏变换为响应的拉氏变换为引入记号引入记号上式写成上式写成例例 题题 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动117 返回首页Theory of Vibration with Applications其中系数可由部分分式方法确定其中系数可由部分分式方法确定最后得到最后得

106、到对上式作拉氏逆变换，即得响应对上式作拉氏逆变换，即得响应例例 题题 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动118例例 题题 返回首页Theory of Vibration with Applications 系统基础有阶跃加速度系统基础有阶跃加速度 ，初始条件为，初始条件为 ，求质，求质量量m的相对位移。的相对位移。 解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为 系统的激振力为系统的激振力为 可得响应为可得响应为 其中 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动

107、任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动119例例 题题 返回首页Theory of Vibration with Applications解：由上题可得系统的微分方程为解：由上题可得系统的微分方程为基础有阶跃位移基础有阶跃位移系统的激振力为系统的激振力为可得响应为可得响应为上题中，若基础有阶跃位移，求零初始条件下的绝对位移。上题中，若基础有阶跃位移，求零初始条件下的绝对位移。 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动120例例 题题 返回首页Theory of Vibrat

108、ion with Applications求系统响应。求系统响应。 解：由图得激振力方程为解：由图得激振力方程为 当 0 t t1时， 零初始条件的无阻尼系统受图的半正弦脉冲作用，若零初始条件的无阻尼系统受图的半正弦脉冲作用，若 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动121例例 题题 返回首页Theory of Vibration with Applications无阻尼系统的支承运动加速度如图，求零初始条件下系统的相对位移。无阻尼系统的支承运动加速度如图，求零初始条件下系统的相对位移。 解：系统运动的微

109、分方程为解：系统运动的微分方程为 支承运动加速度方程为支承运动加速度方程为 当 0 t t1时， 2.8 2.8 2.8 2.8 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动122 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.9 2.9 2.9 2.9 响应谱响应谱响应谱响应谱123 返回首页Theory of Vibration with Applications 2.9 2.9 2.9 2.9 响应谱响应谱响应谱响应谱响应谱是系统在给定激励下的最大响应值与系统或激励响应谱是系统在给定激励下的最大

110、响应值与系统或激励的某一参数之间的关系曲线图。最大响应值可以是系统的某一参数之间的关系曲线图。最大响应值可以是系统的最大位移、最大加速度、最大应力或出现最大值的时的最大位移、最大加速度、最大应力或出现最大值的时刻等；参数可以选择为系统的固有频率或激励的作用时刻等；参数可以选择为系统的固有频率或激励的作用时间等。响应谱中有关的量都化为无量纲的参数表示。间等。响应谱中有关的量都化为无量纲的参数表示。响应谱在工程实际中是很重要的，它揭示出最大值出现响应谱在工程实际中是很重要的，它揭示出最大值出现的条件或时间等。如受迫振动的幅频特性曲线。当振动的条件或时间等。如受迫振动的幅频特性曲线。当振动系统已定，

111、激振力的大小已定时，该曲线表示出受迫振系统已定，激振力的大小已定时，该曲线表示出受迫振动的振幅和激振力频率的关系。振幅就是振动位移的最动的振幅和激振力频率的关系。振幅就是振动位移的最大值，由曲线便能确定最大振幅出现时的激振力频率的大值，由曲线便能确定最大振幅出现时的激振力频率的值。因此，幅频特性曲线就是一种响应谱。值。因此，幅频特性曲线就是一种响应谱。124 返回首页Theory of Vibration with Applications 在前例中，得出了在矩形脉冲力在前例中，得出了在矩形脉冲力 作用下作用下的系统的响应的系统的响应当当 时时其中其中 ，表示静力，表示静力F F0 0使弹簧产

112、生的变形。使弹簧产生的变形。当当 时时在此阶段，物体作自由振动，振幅为在此阶段，物体作自由振动，振幅为 2.9 2.9 2.9 2.9 响应谱响应谱响应谱响应谱125 返回首页Theory of Vibration with Applications当当t1 时时x(t)与与 都都是是正正值值，x(t)单单调调增增加加，其其极极值值出出现现在在t t1的范围，而且等于剩余振动的振幅。的范围，而且等于剩余振动的振幅。如果以 为纵坐标， xm表示位移的极值， 为横坐标，式的图形就是矩形脉冲力的位移响应谱，如图。 2.9 2.9 2.9 2.9 响应谱响应谱响应谱响应谱126 返回首页Theory of Vibration with Applications如果用tm表示出现位移极值的时刻，由式求出速度的表达式令 ，得它表示在矩形脉冲力的作用下其位移极值出现的时刻与作用力持续时间的关系。 式的图形就是响应谱 2.9 2.9 2.9 2.9 响应谱响应谱响应谱响应谱127128