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1、*三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第七七章 一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为沿与力夹角为的直线移动的直线移动,1. 定义定义设向量设向量的夹角为的夹角为 ,称称 记作记作数量积数量积 (点积点积) .引例引例. 设一物体在常力设一物体在常力 F 作用下作用下, 位移为位移为 s ,则力则力F 所做的功为所做的功为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 记作记作故故2. 性质性质为两个非零向量为两个非零向量, 则有则有
2、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. 运算律运算律(1) 交换交换律律(2) 结合律结合律(3) 分配律分配律事实上事实上, 当当时时, 显然成立显然成立 ;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1. 证明三角形余弦定理证明三角形余弦定理证证:则则如图如图 . 设设机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设设则则当当为非零向量时为非零向量时, 由于由于两向量的夹角公式两向量的夹角公式 , 得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 已知三点 AMB .
3、解解:则求故机动 目录 上页 下页 返回 结束 为为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度流体密度例例3. 设均匀流速为设均匀流速为的流体流过一个面积为的流体流过一个面积为 A 的平的平面域面域 ,与该平面域的单位垂直向量与该平面域的单位垂直向量解解:单位时间内流过的体积单位时间内流过的体积的夹角为的夹角为且且为单位向量为单位向量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P
4、点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,称引例中的力矩思考思考: 右图三角形面积S机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质性质为非零向量为非零向量, 则则3. 运算律运算律(2) 分配律分配律(3) 结合律结合律(证明略证明略)证明证明:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知三点已知三点角形角形
5、ABC 的面积的面积 解解: 如图所示如图所示,求三求三机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一点一点 M 的线速度的线速度例例5. 设刚体以等角速度设刚体以等角速度 绕绕 l 轴旋轴旋转转, 导出刚体上导出刚体上 的表示式的表示式 . 解解: 在轴在轴 l 上引进一个角速度向量上引进一个角速度向量使使其其在在 l 上任取一点上任取一点 O,作作它与它与则则点点 M离开转轴的距离离开转轴的距离且且符合右手法则符合右手法则的夹角为的夹角为 , 方向与旋转方向符合右手法则方向与旋转方向符合右手法则 ,向径向径机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 *三、向
6、量的混合积三、向量的混合积1. 定义定义 已知三向量已知三向量称数量称数量混合积混合积 .记作记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体为棱作平行六面体,底面积底面积高高故平行六面体体积为故平行六面体体积为则其则其机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 已知一四面体的顶点4 ) , 求该四面体体积 . 解解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故机动
7、目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 证明四点共面 .解解: 因故 A , B , C , D 四点共面 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动 目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2. 向量关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 由三角形面积公式所以因机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 已知向量已知向量的夹角的夹角且且解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在顶点为在顶点为三角形中三角形中, 求求 AC 边上的高边上的高 BD .解：解：三角形三角形 ABC 的面积为的面积为 2.而而故有故有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束
