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1、向量数乘运算及其几何意义 复复习习 a a b a a+b 向量的加法 b a+b b 向量的减法 b a a-b 探究探究 a a O A a B a+a+a a C OC ? OA? AB? BC ? a? a? a把 a+a+a 记作 3a 3a方向与a方向 相同 |3a|=_|3 a| 探究探究 a -a N M (-a)+(-a)+(-a) -a -a Q P PN ? PQ? QM ? MN ?a?a?a?=3(-a) 3(-a)与a方向相反 3(-a)长度是a长度的3倍 3(-a)=-3a (a)+(-a)+(-a)=-3a 规规定定 实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量
2、的数乘.记作 ?a?1?a ?a ;(2) 当0时, a的方向与a的方向相同; 当0时, a的方向与a的方向相反. 当=0时, a=0 数乘的运算律 ?1? ?a?a; ?2? ?a ?a?a; ?3? ?a? b?a?b.(-)a= -(a)= (-a) (a-b)= a-b 例 计算 (1) (-3) 4a =(-34)a=-12a (2) 3( a+b)-2(a-b)-a =3a+3b-2a+2b-2a=5b (3) (2 a+3b-c)-(3a-2b+c) =2a+3b-c-3a+2b-c =-a+5b-2c 数乘向量与原向量之间的位置有什么关系? a O a A a B 3a a C
3、 a与3a共线 对于向量a(a0)、b,如果有一个实数，使b= a,那么a与b共线. 已知向量a与b共线，a0,且向量b的长度是向量a的长度的倍，即|b|= |a| a与b同向 b= a a与b反向 b= -a 若a(a0)与b共线，那么有且只有一个实数，使b= a 例 如图,已知任意两个非零向量a,b,试作 OA? a+ b,OB? a? 2b,OC ? a? 3b 你能判断 A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么? AB? OB? OA ? a? 2b?a? b? bAC? OC? OA ? a? 3b?a? b? 2bAC ? 2AB3b 2b b b C B A a 所以,A、B、C三
4、点共线 a O 判断下列各小题中的向量a与b是否共线 ?1?a ? ?2e,b? 2e;a=-b a,b共线 ?2?a? e1? e2,b? ?2e1? 2e2.a=-2b a,b共线 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于向量a、b，以及任意实数、，恒有 ?1a?2b?1a?2bABCD的两条对角线相交于点M, 例 如图, MB、 MC和MD且 AB=a,AD ? b,你能用a,b表示MA 、D C 解：在 ABCD 中AC? AB? AD? a? bb M DB? AB? AD? a-bA 平行四边形的两条对角线互相平分 a B 1111MA? ?AC ? ?a+ b? ?a?b
5、22221111MB ?DB ?a-b?a?b2222111111MC ?AC ?a?bMD ? ?MB ? ?BD ? ?a?b222222化简 ?1? 5?3a-2b? 4?2b? 3a?;=3a-2b 111111?2? ?a? 2b?3a? 2b?a? b? ?a?b123342?3?x? y?a-?x? y?a=2ya 小结 向量的数乘 1 ? ?a ?a;? ? ?运算律 ?2? ?a ?a?a; ?3? ?a? b?a?b.对于向量a(a0)、b,如果有一个实数，使b= a,那么a与b共线. 若a(a0)与b共线，那么有且只有一个实数，使b= a 作业 课本第103页习题2.2 A组题9B组题3
