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1、4. 4 参参 数数 方方 程程4.4.1 曲线参数方程的意义曲线参数方程的意义如皋市薛窑中学 杨红利1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？提示：提示：即求飞行员在离救援点的水平即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？距离多远时，开始投放物资？救援点救援点投放点投放点1、参数方程的概念：、
2、参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）沿Ox作初速为作初速为100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2）沿）沿Oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？xy500o1、参数方程的概念：、参数方程的概念：
3、 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？（*）反过来，对于反过来，对于t的每个允许值的每个允许值, 由方程组由方程组(*) 所确定的点所确定的点P(x,y)都在曲线都在曲线C上上, 那么方程那么方程(*) 叫做曲线叫做曲线C的的参数方参数方程程, 联系变量联系变量x,y的变量的变量t叫做参变数叫做参变数, 简称参数简称参数.关于参数几点说明
4、：关于参数几点说明： 参数是联系变数参数是联系变数x,y的桥梁的桥梁,1.参数方程中参数可以是有物理意义参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义几何意义, 也可以没有明也可以没有明显显 意义。意义。2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 一般地一般地, 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果曲线如果曲线C上任意一上任意一点点P的坐标的坐标x和和y都可以表示为某个变数都可以表示为某个变数t的函数的函数参数方程的意义参数方程的意义
5、 参数方程是曲线上的点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述、了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x,y分别为曲线上点P的横坐标和纵坐标.例例1: 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 （1）判断点）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线与曲线C 的位置关系；的位置关系；（2）已知点）已知点M3(6, a)在曲线在曲线C上上, 求求a的值。的值。例例2、如图，以如图，以O为圆心，分别以为圆心，分别以a、b为半径（为半径（ab0）作两个圆，自作两个圆，自O作一条射线分别交两圆于作一条射线分别交两圆于M、N两
6、点，自两点，自M作作MT Ox，垂足为，垂足为T，自，自N作作NP MT，垂足为，垂足为P，求点求点P的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程. OMPxyTN分析：分析：点点P的横坐标与点的横坐标与点M的横坐标相同的横坐标相同,点点P的纵坐标与点的纵坐标与点N的纵坐标相同的纵坐标相同. 而而M、N的坐标可以通过的坐标可以通过引进参数建立联系引进参数建立联系. 设设XOM=例例2、如图，以如图，以O为圆心，分别以为圆心，分别以a、b为半径（为半径（ab0）作两个圆，自作两个圆，自O作一条射线分别交两圆于作一条射线分别交两圆于M、N两点，自两点，自M作作MT Ox，垂足为，垂足为T，自，自N作作NP M
7、T，垂足为，垂足为P，求点求点P的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程. OMPxyTN解：解：, P(x, y), 则则M: (acos , a sin ),N: (bcos , bsin ),由已知由已知:即为即为点点P的轨迹的轨迹参数方程参数方程. .设设XOM=( 为参数为参数)，其轨迹为椭圆其轨迹为椭圆参数方程求法参数方程求法: （1）建立直角坐标系）建立直角坐标系, 设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标为（坐标为（x,y） （2）选取适当的参数）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义物理意义, 建立点建立点P坐标与参数的函数式坐标与参数的
8、函数式（4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程注：此参数方程消去参数，可得轨迹的普通方程为注：此参数方程消去参数，可得轨迹的普通方程为 通常通常椭圆椭圆的参数方程的参数方程为为 ，其中参数其中参数称称为为离心角离心角例例3.已知已知P是是椭圆椭圆 上任意一点，直上任意一点，直线线的方程的方程为为,求点求点P到直到直线线距离的最小距离的最小值值. .求曲线的参数方程的关键：在于参数的选择怎样选择参数呢？1.所选参数必须与两个坐标都有联系；2.若轨迹与运动有关，常选择时间t为参数；3.若轨迹与转动有关，常选择角为参数小结小结:（*） 1.参数方程的概念 一般
9、地一般地, 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果曲线如果曲线C上任意一上任意一 点点P的坐标的坐标x和和y都可以表示为某个变数都可以表示为某个变数t的函数的函数 反过来，对于反过来，对于t的每个允许值的每个允许值, 由方程组由方程组(*) 所确定的所确定的 点点P(x,y)都在曲线都在曲线C上上, 那么方程那么方程(*) 叫做曲线叫做曲线C的的参参数数 方程方程, 联系变量联系变量x,y的变量的变量t叫做参变数叫做参变数, 简称参数简称参数.2.参数方程求法参数方程求法: （1）建立直角坐标系）建立直角坐标系, 设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标为（坐标为（x,y） （2）选取适当的参数）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义物理意义, 建立点建立点P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
