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1、一元二次方程的概念一元二次方程的概念一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系一元二次方程的应用一元二次方程的应用一一元元二二次次方方程程复复习习效果检测效果检测定义及一般形式: 只含有一个未知数只含有一个未知数,未知数的最高次数是未知数的最高次数是_的的_式方程式方程,叫做一元二次方程。叫做一元二次方程。一般形式一般形式:_二次二次整整ax2+bx+c=o (ao)练习一练习一一、与一元二次方程定义有关的题目：一、与一元二次方程定义有关的题目：1、下列方程中，哪些属于一元二次方程，为什么？、下列方程中，
2、哪些属于一元二次方程，为什么？（1）4x - x + 2 =0 （2）3x - y -1=0 （3）ax +x+c=0 （a、b、c 为常数）为常数） （4）x + =02、已知关于、已知关于x的方程的方程（m-1）x+（m-2）x-2m+1=0，当当m 时是一元二次方程，时是一元二次方程，当当m=时是一元一次方程。时是一元一次方程。3、把方程（、把方程（1-x x)(2-x x)=3-x x2 化为一化为一般形式是：般形式是：_, 其二次项系其二次项系数是数是_,一次项系数是一次项系数是_,常数项是常数项是_.4、方程（、方程（m-2)x x|m| +3mx x-4=0是关于是关于x的一元二
3、次方程，则的一元二次方程，则 （ ）A.m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2 2x2-3x-1=02-3-1C解一元解一元二次方程的方法有几种二次方程的方法有几种? 例例:解下列方程解下列方程、用直接开平方法、用直接开平方法：(x+2)2=2、用配方法解方程用配方法解方程4x2-8x-5=0 解解:两边开平方两边开平方,得得: x+2= 3 x=-23 x1=1, x2=-5右边开平方右边开平方后，根号前后，根号前取取“”。两边加上相等项两边加上相等项“1”。 二次项系数化为二次项系数化为1；移常数项到右边；移常数项到右边；两边同时加上一次项系数一半的平方；两边同时加上一次项系数一半的
4、平方；化直接开平方形式化直接开平方形式;解方程。解方程。步骤归纳步骤归纳 解解:移项移项,得得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 b2-4ac=(-4)2-43(-7)=1000 x1= x2 = 解解:原方程化为原方程化为 （y+2) 2 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或或 y-1=0 y1=-2 y2=1先变为一般先变为一般形式，代入形式，代入时注意符号。时注意符号。把把y+2看作一个看作一个未知数，变成未知数，变成(ax+b)(cx+d)=0形式。形式。3、用公式法解方程、用公式法解方程 3x2=4x+74、用分解
5、因式法解方程：（、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）-1 先化为一般形式；先化为一般形式；再确定再确定a、b、c,求求b2-4ac； 当当 b2-4ac 0时时,代入公式代入公式:步骤归纳步骤归纳若若b2-4ac0,方程方程没有实数根。没有实数根。右边化为右边化为0,左边化成两个因式左边化成两个因式的积；的积；分别令两个因式为分别令两个因式为0，求解。，求解。步骤归纳步骤归纳选用适当方法解下列一元二次方程选用适当方法解下列一元二次方程1、 (2x+1)2=64 ( 法法）2、 (x-2)2-(x+)2=0 ( 法法）3、(x-)2 -(4-x)= ( 法法）4、 x-x-10= (
6、 法法）5、 x-x-= ( 法法）6、 xx-1=0 ( 法法）7、 x -x-= ( 法法）8、 y2- y-1=0 ( 法法） 小结：选择方法的顺序是：小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法直接开平方法 分解因式法分解因式法 配方法配方法 公式法公式法分解因式分解因式分解因式分解因式 配方配方公式公式配方配方公式公式公式公式直接开平方直接开平方练习三练习三1.解方程解方程: (x+1)(x+2)=62. 已知已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求求a2+b2 的值。的值。中考直击中考直击思考思考 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 两不相等实根两不相等实根两相等实根
7、两相等实根无实根无实根一元二次方程一元二次方程 根的判式是: 判别式的情况根的情况定理与逆定理两个不相等实根两个不相等实根 两个相等实根两个相等实根 无实根无实根(无解无解)二二、例例1：不解方程，判别下列方程的根的情况：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）（3）（2）解：（解：（1） = 判别式的应用判别式的应用:所以，原方程有两个不相等的实根。所以，原方程有两个不相等的实根。说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出，然后对，然后对进行计算，使进行计算，使的符号明朗化，进而说明的符号明朗化，进而说明的符号的符号情况，得出结论。
8、情况，得出结论。1、不解方程，判别方程的根的情况、不解方程，判别方程的根的情况 例例2：当：当k取什么值时，已知关于取什么值时，已知关于x的方程：的方程：（1）方程有两个不相等的实根；（）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；）方程无实根；解：解：=(1).当当0 ，方程有两个不相等的实根，方程有两个不相等的实根, 8k+9 0 , 即即 (2).当当 = 0 ，方程有两个相等的实根，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即即 (3).当当 0 ，方程有没有实数根方程有没有实数根, 8k+9 x2)，则，则x1-x2=1 (x2-x
9、1)2=(x1+x2)2-4x1x2由由根与系数的关系得根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=解得k1=9,k2= -3当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。2、设设x1，x2是方程是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数的两个实数根，且根，且x12+x22=4，求，求k的值。的值。解：由方程有两个实数根，得解：由方程有两个实数根，得即-8k+40由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22 =4，得2k2-8k+44解得k1=0 , k2=4经检验，
10、k2=4不合题意，舍去。 k=0例题回顾：例题回顾：例例1：如果如果 是方程是方程2X2+mX+3=0的一个的一个根，求它的另一个根及根，求它的另一个根及m的值的值. 根与系数的关系根与系数的关系练习练习一、填空：1、已知方程、已知方程 的两根是的两根是 ,则则 ， = 。2、已知方程、已知方程 的一个根是的一个根是1，则另一个根是，则另一个根是 ，k的的 值是值是 .3、若关于、若关于x的一元二次方程的一元二次方程 x2+px+q=0的两根互为相反数，则的两根互为相反数，则 p=_;若两根互为倒数，则若两根互为倒数，则q=_ 4、已知一元二次方程、已知一元二次方程 2 x2 + b x +
11、c = 0的两个根是的两个根是 1 、3 ，则，则 b= ，c= .31-2101-4-65.已知方程已知方程3x2+2x-6 = 0 ,则它的两根的倒数和则它的两根的倒数和为为 . 6.已知方程已知方程x2-bx+22=0的一根为的一根为5- , 则另一根则另一根为为 ,b= . 返回返回10二、选择1、若方程、若方程 中有一个根为零，另一个根非零，则中有一个根为零，另一个根非零，则 的值为的值为 ( ) A B C D 2、两根均为负数的一元二次方程是、两根均为负数的一元二次方程是()A.4x2+2x+5=0 B.6x2-13x-5=0C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x+8=0
12、AD1. 审清题意，弄清题中的已知量和未知量找出题中的等量关系。 2. 恰当地设出未知数，用未知数的代数式表示未知量。3. 根据题中的等量关系列出方程。4. 解方程得出方程的解。5. 检验看方程的解是否符合题意。6. 作答注意单位。列方程解应用题的解题过程。列方程解应用题的解题过程。一元二次方程的应用一元二次方程的应用数字一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多1，若把个位上的数字与十位上的数字对调，所得的两位数比原数大27，求原两位数。解:设十位上的数位X,则个位上的数为一二三四五六一二三四五六日日 13 20 X-1XX+1 X-7XX+7X+7 X+8 XX+1 XX+7X-7X-8
13、X-6X-1X+1X+8X+6例例1.(中考）中考） 某工厂计划在两年内把产某工厂计划在两年内把产量翻一番，如果每年比上年提高的百量翻一番，如果每年比上年提高的百分数相同，求这个百分数（精确到分数相同，求这个百分数（精确到1%）增长率问题解：设这个百分数为x,根据题意得 解答略解答略利润问题利润问题 某水果批发商场经销一种高档水果某水果批发商场经销一种高档水果,如果如果每千克盈利每千克盈利10元元,每天可售出每天可售出500千克千克,经市场经市场调查发现调查发现,在进货价不变的情况下在进货价不变的情况下,若每千克若每千克涨价涨价1元元,日销售量减少日销售量减少20千克千克,现该商场要保现该商场
14、要保证每天盈利证每天盈利6000元元,同时又要使顾客得到实惠同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元那么每千克应涨价多少元?解题过程解题过程分析：个利润分析：个利润销售量销售量=总利润总利润解:设每千克水果应涨价x元, 依题意得: (500-20x)(10+x)=6000 整理得: x2-15x+50=0 解这个方程得:x1=5 x2=10 （舍去） 要使顾客得到实惠应取x=5 答:每千克水果应涨价 5元. 某水果经销商上月份销售一种新上市的水果,平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克.经市场调查,若将该种水果价格调低至 元/千克,则本月份销售量 (千克)与 (元/千克)之间满足
15、一次函数关系.且当 时 ； 当 时 （1）求与之间的函数关系式；）求与之间的函数关系式； 某水果经销商上月份销售一种新上市的水果,平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克.经市场调查,若将该种水果价格调低至 元/千克,则本月份销售量 (千克)与 (元/千克)之间满足一次函数关系.且当 时 ； 当 时 （2）已知该种水果上月份的成本价为）已知该种水果上月份的成本价为5元千克，元千克，本月份的成本价为本月份的成本价为4元千克元千克，要使本月份销售该种要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客，同时又要让顾客得到实惠，得到实惠，那么该种水果价格每千
16、克应那么该种水果价格每千克应调低调低至多少至多少元？元？面积问题有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）提醒：一般从面积或体积找等量关系提醒：一般从面积或体积找等量关系解：设这个台布的长为x尺,根据题意得 （6+2x）（3+2x）=632 解答略一元二次方程与其他知识结合一元二次方程与其他知识结合1.一元二次方程与分式结合一元二次方程与分式结合典型题典型题:若分式若分式 的值为零的值为零, 则则x的值是的值是 .一元二次方程与几何图形结合一元二次方程与几何图形结合典型题典型题:若一元二次方
17、程若一元二次方程x2-11x+28=0的两根恰的两根恰好是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长好是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长是是 . 在三角形在三角形ABC中，中，B=60，BA=24cm，BC=16cm现现有动点有动点P从点从点A出发，沿射线出发，沿射线AB向点向点B方向运动，动点方向运动，动点Q从从点点C出发，沿射线出发，沿射线CB也向点也向点B方向运动如果点方向运动如果点P的速度的速度是是4cm/秒，点秒，点Q的速度是的速度是2cm/秒，它们同时出发，求：秒，它们同时出发，求：（1）几秒钟后，）几秒钟后，PBQ的面积是的面积是ABC面积的一半？面积的一半？（2）在第（）在第（1
18、）问的前提下，）问的前提下，P，Q两点之间的距离是多少？两点之间的距离是多少？ BAC动态几何动态几何PQPABCQ效果检测效果检测1.方程方程x2= 7x 的解是的解是 . 2.对于任意的实数对于任意的实数x,代数式代数式x25x10的值是一个的值是一个( )A.非负数非负数 B.正数正数 C.整数整数 D.不能确定的数不能确定的数3.能使分式能使分式 的值为零的所有的值是的值为零的所有的值是( )A、1 B、 -1 C、 1或或 -1 D、2或或 -14.方程方程2x2-2x-1=0的解是的解是 5.若关于的方程若关于的方程x2-3x+q=0的一个根的一个根x1的值是的值是2则另一根则另一
19、根x2及及q的值分别是（的值分别是（ ） A.x2 =1,q=2 B. x2 = -1,q =2 C. x2 =1,q = -2 D. x2 = -1,q = -2返回返回效果检测效果检测6.把方程把方程x2+3mx=8的左边配成一个完全平方式的左边配成一个完全平方式,在方程的两边需同时加上的式子是在方程的两边需同时加上的式子是A. 9m2 B. 9m2x2 C. D. 7.已知已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则则m2+n2的的值是值是A.3 B.3或或-2 C.2或或-3 D. 2249m返回返回8.下面是张潇同学在测验中解答的填空题，其中答对下面是张潇同学在测验中解答的填空题，
20、其中答对的是的是A若若x2=4，则，则x=2B方程方程x(2x-1)=2x-1的解为的解为x=1C方程方程x2+2x+2=0实数根的个数为实数根的个数为0个个D方程方程x2-2x-1=0有有两个相等两个相等的实数根的实数根 9.已知两数的和是已知两数的和是4,积是积是1，则此两数为，则此两数为 .效果检测效果检测返回返回10.若等腰三角形底边长为若等腰三角形底边长为8,腰长是方程腰长是方程x2-9x+20=0的的一个根一个根,则这个三角形的周长是则这个三角形的周长是 A.16 B.18 C.16或或18 D.21 11.某厂今年某厂今年1月的产值为月的产值为50万元万元,第一季度共完成产值第一
21、季度共完成产值182万元万元,今年前两个月平均每月增长的百分率是多今年前两个月平均每月增长的百分率是多少少?若设平均每月增长的百分率为若设平均每月增长的百分率为x,则列出的方程是则列出的方程是 A.50(1+x) (2+x)=182-50 B.50(1+x)+50(1+x)2=182 C.50(1+x)2=182 D.50(1+x)2=182效果检测效果检测返回返回1、若、若a2+a-1=0,b2+b-1=0,求求a/b+b/a的值。的值。拔尖提高拔尖提高2、若、若 有解，则须满足什么有解，则须满足什么 。3、若关于、若关于x的方程（的方程（k-1)x2-k2x-1=0的一个根是的一个根是-1
22、，求求 k值，并求其他的根。值，并求其他的根。4、在一次会议上，每两个人相互握一次手，有人、在一次会议上，每两个人相互握一次手，有人统计一共握手统计一共握手66次，问这次会议一共多少人？次，问这次会议一共多少人？返回返回OABCPQ5、如图，、如图，AO=BO=50cm，OC是射线，蚂蚁甲以是射线，蚂蚁甲以2cm/s的速度从的速度从A爬到爬到B，蚂蚁乙以，蚂蚁乙以3cm/s的速度从的速度从O到到C，问：经过几秒两只蚂蚁和，问：经过几秒两只蚂蚁和O点围成的三角点围成的三角形的面积为形的面积为450cm2?拔尖提高拔尖提高返回返回小结：小结： 本节我们主要学习了一元二次方程的解本节我们主要学习了一元二次方程的解法和应用，要求大家作到以下几点：法和应用，要求大家作到以下几点：1.会判断一个方程是不是一元二次方程，能够熟练地将一元二次方程化为一般形式，并准确地写出其各项的系数。2.会推导一元二次方程的求根公式，能灵活运用一元二次方程的三种基本解法求方程的解。3.能够列出一元二次方程解决面积问题、数字问题、平均增长率（或降低率）问题，特别是平均增长率问题是中考命题的热点。
