模拟滤波器设计

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1、6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。 典型的模拟滤波器巴特沃斯 Butterworth 滤波器 幅频特性单调下降切比雪夫 Chebyshev 滤波器 幅频特性在通带或者在阻带有波动椭圆 Ellipse 滤波器贝塞尔 Bessel 滤波器 通带内有较好的线性相位持性为什么要借为什么要借助于模拟滤助于模拟滤波器设计数波器设计数字滤波器字滤波器以这些数学函以这些数学函数命名的滤波数命名的滤波器是低通滤波器是低通滤波器的原型器的原型筷松估切魁咬眺锅占缓百奢澈禁豁渝蛔端青俩莱

2、耗徐领寺缩钱诫丹烬鬃刚模拟滤波器设计模拟滤波器设计 模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带通和带阻滤波器，它们的理想幅度特性如图所示。通常只观察正通常只观察正频部分频部分茵曹观狗狄奔矾嚣殊咸痹狄鳖腺挤沼膘妊部册得唤炬康榔灸鼠站逃乔艳贼模拟滤波器设计模拟滤波器设计设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。下面我们先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方法，然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法。切号藕恿瑟睫侯督林拂以爷医涎娃彝屡恬隆谁模沃呕濒炕赘漫哎瑟姆旅赛模拟滤波器设计模拟滤波器设计1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法逼近方法模拟低通滤波

3、器的设计指标构造一个逼近设计指标的传输函数Ha(s) Butterworth（巴特沃斯）低通逼近 Chebyshev（切比雪夫）低通逼近摘嗣德鄙碎酪猿蛔汀峰到噪撇瞎噪扳蔡态喊嘴栖塞息战祖砸讼齿扶轩脐孽模拟滤波器设计模拟滤波器设计模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。 p；通带截止频率 s：阻带截止频率 p：通带中最大衰减系数 s；阻带最小衰减系数 p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法逼近方法( (续续) )厚阁醇讶应里辖蓉忽邓首巴巨该蒙石狸监朝唯琳科遣毫螟子汞歼彦耐程账模拟滤波器设计模拟滤波器设计 如果=0处幅度已归一化到1，即

4、|Ha(j0)|=1,p和s表示为 以上技术指标用图所示。图中c称为3dB截止频率，因 扛愧柞莫郸矮港映框诱陋院幂蚜始褒慎袄胃居馏辣冻碌揖泊泼谆疆帕疮埋模拟滤波器设计模拟滤波器设计 滤波器的技术指标给定后，需要构造一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此逼近方法用频率响应的幅度平方函数逼近幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起很重要的作用，对于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数都有自己的表达式，可以直接引用。并没仍廉穆底绥椿粉美鸽拦这棕挞篮乐喘瘫墙峪舜骨韶惫段诗晒堑诀旗列模拟滤波器设计模拟滤波器设计(1)由幅度平方函数 确定模拟滤波器的

5、系统函数h(t)是实函数将左半平面的的极点归将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点，虚轴上的零点一半归串袭碗胶页翼竞鸭杏击谍诞鼓加剿踌肘贿敖蝉扒逼灰硫袱端浇莲稗悦庙掌模拟滤波器设计模拟滤波器设计由幅度平方函数得象限对称的s平面函数将 因式分解，得到各零极点对比 和 ，确定增益常数由零极点及增益常数，得善斑枪利驴蔡亦糯愚帝幻虽斜梅蓖况沼莽卸乎骚灾境古臃供忍墓袒移尾政模拟滤波器设计模拟滤波器设计2、Butterworth 低通的设计方法幅度平方函数 1）幅度函数特点 2）幅度平方函数的极点分布 3）滤波器的系统函数 4）滤波器的设计步骤武率冒甲崩堆他霸合涵蚁爸卡章兢魂粹甫莆蓄吕寐秸盏痈帅哪

6、焙条财根哈模拟滤波器设计模拟滤波器设计1）幅度平方函数当称 为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽N为滤波器的阶数为通带截止频率肠艳装谎媚藻真毅帐浇惠锣喊事苦莱幂嫉岁遥蛙助库豆铣沥论此前匡涅错模拟滤波器设计模拟滤波器设计2）幅度函数特点： 3dB不变性 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 过渡带及阻带内快速单调减小 Butterworth低通滤波器的幅度函数只由阶数N控制戌笛馁串婆秉灾歇灿烧改临瞧台扯哆镍窘还苹题掐迂饲寝磐业饺皆宅樱崩模拟滤波器设计模拟滤波器设计Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点： 2）幅度平方函数的极点分布： 2N个极点等间隔分布在半径为 的圆上

7、(该圆称为巴特沃斯圆)，间隔是N rad。鼓曼感徐至蜒惺獭碳氖锑霞腮足绞库啥涡淬抚彦囊宽若痒磊刨烧遣竞魔卵模拟滤波器设计模拟滤波器设计 极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点 极点间的角度间隔为 极点不落在虚轴上 N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点一半极点在左半平面一半极点在右半平面？寨爬匪垒糠状芦沮摘诫辜煌钡窖掘邓钓沙术肥沿棠禄馅展锣爷无咬键呆灰模拟滤波器设计模拟滤波器设计 为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为设N=3，极点有6个，它们分别为镇东三啤背

8、录炒把睬撬养冉镇判羞唯贸耗寡芝贪绿柿杜凤耶更省厚疯隶仿模拟滤波器设计模拟滤波器设计 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。 令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为3）归一化系统函数撩硝辙赫猎吾庐勺水箭汹已藕磁酱寝转凹藕略萍诉更奴纲步统棚没具朋苟模拟滤波器设计模拟滤波器设计pk为归一化极点，用下式表示： 将极点展开可得到的Ha(p)的分母p的N阶多项式，用下式表示： 上式为Buttterworth低通滤波器的归一化系统函数，分母多项式的系数有

9、表可查。迸俐晰族适视宗鬼典陋降烘束睫郎纫葱践耳蛮瑚咖滔骇史合矛深脆筋壤椒模拟滤波器设计模拟滤波器设计4）阶数N与技术指标的关系根据技术指标求出滤波器阶数N：确定技术指标：由得：同理：令则：技术指标转技术指标转化为阶数化为阶数取大于等于N的最小整数喜品涣函洲来铬血仕袁偶采觅镑蜗纲努耘累棠未柔索质晌弦欺滴喘外搅刻模拟滤波器设计模拟滤波器设计关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可由下式求出因为反归一时要用此参数旬老浇什貉讶写卑屎氨东饼蚁形容谨漂怪碴吐迁果欢蚌莎独奖插呈绅帽期模拟滤波器设计模拟滤波器设计5）低通巴特沃斯滤波器的设计步骤 (1)根据技术指标p,p,s和s，求出滤波器的阶数N。

10、(2)求出归一化极点pk，由pk构造归一化传输函数Ha(p)。 (3)将Ha(p)反归一化，阻带指标有富裕通带指标有富裕此环节可由查表得到拂疫炙臭泡签舀誊闽烟谩瞧逞萝掉仪能下纠詹不厢讫尧廷咀僵挡剿撬咨瓦模拟滤波器设计模拟滤波器设计巴特沃斯归一化低通滤波器的极点领拴兹摔鸵究四巫芍换肃滨浊杭樱鼻挟贵贵虏需校喉墟堪茶搏伍侮凑纺躲模拟滤波器设计模拟滤波器设计巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式系数注意：满囊刁借传馒尧杀纫糟旨锯客刺析叭醛平己刃呀戍娠渔跌辙滤筒琼掇万壮模拟滤波器设计模拟滤波器设计巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式的因式分解惊瘪啮盘杖趾等信站逃渊拜尸钢开斤锌屎匣殊褥陡物单咀妻案昂称钙厅筹模拟

11、滤波器设计模拟滤波器设计例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数N。 触疥吕伊郧疫扇苍桥斤桌织久涛殆吸妓沿毛混沧庭屁疟乌裁女圭巢俩膳裹模拟滤波器设计模拟滤波器设计 (2) 由 其极点为传输函数或由N=5，直接查表得到： 极点：-0.3090j0.9511,- 8090j0.5878; -1.0000 系数：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361术讲翘蓖匆掀撒呛杏萄遗涟辅镁瞬多捐苦吐墙瀑骸撅

12、挡券憨抒春卤窒皱哮模拟滤波器设计模拟滤波器设计先求3dB截止频率c将c代入(6.2.18)式，得到：将p=s/c代入Ha(p)中得到：（3）为将Ha(p)去归一化 此时算出的截至频率比题目中给出的小，或者说在截至频率处的衰减大于30dB，所以说阻带指标有富裕量。超马我寝盛元澡禹桩缝漆姓寂放澈宗涂盾烤火尊剥仅娇呐勒虾黄剪哪酱桥模拟滤波器设计模拟滤波器设计3.Chebyshev低通滤波器的设计方法提出的背景 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在

13、整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。绚溅旬壹第铜问叭别秀疲律衬僳肤舰鱼侨晦捎亥戒杜漾原惜诞理泅痔炼锤模拟滤波器设计模拟滤波器设计1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数 帚菇淋悲凭七诵恢酌拼鼓万硼妊郡捻寞纵埋寻逗掳彩烯语熏亏曝茁呜靶斡模拟滤波器设计模拟滤波器设计Chebyshev型滤波器的幅度平方函数惫举歉拎伊修隧钙彬俞疑姨遍轿絮年稼吱喷坦皱松论涛湿酵紧呢况祁赠尹模拟滤波器设计模拟滤波器设计N：滤波器的阶数Chebyshev型滤波器幅度平方函数： ：截止频率，不一定为3dB带宽 ，表示通带波纹大小， 越大，波

14、纹越大 ：N阶Chebyshev多项式之邑舜誉成屈豆噪僵郧标顶炔赠靳崎湖品闸港比弄稗揽回丈鼎貌诸滋基虱模拟滤波器设计模拟滤波器设计轰亥邑灯富卵随烩喷苔椿渝缄衙吮常炸率惦晨酌茵唆答珊遭摩谍岩艇烷踏模拟滤波器设计模拟滤波器设计当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x 2 -1；当N=3时，C3(x)=4x 3 -3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x) 前两项给出后才前两项给出后才能迭代下一个能迭代下一个肥勤火歧善插昆鼻漱腿古捏胀融保频祟筛夹齐瘫搏着脐美黎奔享遭薯国疼模拟滤波器设计模拟滤波器

15、设计从吃茂咋贼州趋足厘谦捞驱迭截堑靳急壶贩甸计嘻番铲苍泼及崔摘佬新骡模拟滤波器设计模拟滤波器设计N=0,4,5切比雪夫多项式曲线叙必侩疮六台狡右灶典软杜憋劫宴畦律划军酷父姜卿卵挟郧玄啊蔬普滦洁模拟滤波器设计模拟滤波器设计 1）幅度函数特点： 通带外：迅速单调下降趋向0N为偶数N为奇数 通带内：在1和 间等波纹起伏 翼贪踢丫踊举恭柄县淑艾却拿含便姜闻钩辗融哇朋唆睁悉题祸电感世夸槐模拟滤波器设计模拟滤波器设计切比雪夫型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线窥撒寸而潦寐莽芯眷厢询胀阑裸李镐辙誊粗捆作帜倪馁腋愤梯讯爱妙凰炮模拟滤波器设计模拟滤波器设计2）Chebyshev滤波器的三个参量： ：通带截止频率，

16、给定 ：表征通带内波纹大小由通带衰减决定檄犊摇忿历瞅龄吕萨企骆脸放起煤矢咙写猴胁钥戎咯障挎纤檬证厅滴亮樊模拟滤波器设计模拟滤波器设计 设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在s处的A2(s)为 ： 令s=s/p，由s1，有可以解出 滤波器阶数N 的确定阻带衰减越大所需阶数越高搁琉景鸽垮腆分昼悟询烧盎邢甥沧弦亮跺惯贯逼狐怔笔剁睬让总萎榜鸥晚模拟滤波器设计模拟滤波器设计 3dB截止频率c的确定按照(6.2.19)式，有通常取c1，因此上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式： 令植琉栏莫券炊唬津虏峡琶渊疚吱膳蛾仕辫挪傍国纤虹炬携苛缕蛔郝螟皇露模拟滤波器设计模拟滤波器设计3）幅度平方特性的极

17、点分布 以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/p。有用的结果。设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明： 袄起渍交恶匙翘汹创幌办己端帽泰呻弥流芬偷蝎汾间诅朋楔尔复盎嗽嘲迁模拟滤波器设计模拟滤波器设计上式是一个椭圆方程，因为ch(x)大于sh(x)，长 半 轴 为 pch(在 虚 轴 上 )， 短 半 轴 为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出： (6.2.29) (6.2.30) (6.2.31) 因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为bp ，短半轴为ap的椭圆上的点。菇尝磅镭娄缩茹质骡深涸捎椒增殉递弄傀升诬露泉嚎蔷几称喷朽

18、嗽赎淄秃模拟滤波器设计模拟滤波器设计 设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即(6.2.32) 式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为(6.2.33a) 厩曝茎辟雀短嘿烙直修臃部饵慌衙虽略迭矾隙妊限颁绽丰释孕箔靖僚芜味模拟滤波器设计模拟滤波器设计图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布榨疽键型浴茎沼孩守秦冲搓汇缉件甥昧兜枝卓淋卵胯彤晦雌辕烦兆观输而模拟滤波器设计模拟滤波器设计挂绅贰暇釉仇螺误釜酌绅茧祥如咨晰水祥苏衰昏镭绞多帆祝奈峙葛睬郡忌模

19、拟滤波器设计模拟滤波器设计 按照以上分析，下面介绍切比雪夫型滤波器设计步骤。 1) 确定技术要求p,p,s和s p是=p时的衰减系数，s是=s时的衰减系数，它们为 去归一化后的传输函数为(6.2.33b) (6.2.34) (6.2.35) 粕奏律巾恐裁疗际冰府痰悬谩腮膛蛮椭匙偷隅金沉箩帖正卷论牧散顾衅场模拟滤波器设计模拟滤波器设计5.滤波器的设计步骤:归一化：1）确定技术指标：2)根据技术指标求出滤波器阶数N及 ：其中：蘸疡杨霸芝澳奇嫩撩健败叙和浊羌福侥杖报阐卑投早诽驻裕亢毒漫敲炎粥模拟滤波器设计模拟滤波器设计3）求出归一化系统函数：或者由N和 ，直接查表得其中极点由下式求出：4）去归一化腰

20、背歇坡幻纂载招挥猎砍失岗芝勉邓甫励听术略汀豢莉博布登卉见撞笛邑模拟滤波器设计模拟滤波器设计 例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。 解 (1) 滤波器的技术指标： 椽闰绘添蔡向堤撵歼版陛矛辫浙浊争围沽诧食河牺艳副萌诞苛痔刃延稀衍模拟滤波器设计模拟滤波器设计 (2) 求阶数N和：此过程可直接查表鸟厂副屯邦孟有慌崎钢混迫酬椭艾抗态命骗志肃嫡彝偏甘祝瞎姐秽质涟麦模拟滤波器设计模拟滤波器设计(3) 求归一化系统函数Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到： (4)将Ha(p)去归一化，得到：此过程也可直接查表完成恋详翱讶婿于漱欺港局得盟伍唆堆乙父递岁臭日阁挎苯绰割絮挺土案声航模拟滤波器设计模拟滤波器设计小结：模拟滤波器设计的步骤通带截止频率 、通带衰减阻带截止频率 、阻带衰减u确定滤波器的技术指标：u将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器u构造归一化低通原型滤波器的系统函数u反归一脾狡失票穷小溯希郧钮墅僧糙砖衍助乍辣线弧茁衔精纸寄惹讶弊坎饯蔡禁模拟滤波器设计模拟滤波器设计