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1、椭圆的椭圆的简单的几何性质简单的几何性质(3)直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系椭圆几何性质椭圆几何性质( (直线与椭圆直线与椭圆) )目标目标1.理解点与椭圆、直线与椭圆的位置关系理解点与椭圆、直线与椭圆的位置关系,能能判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系;2.会求直线截椭圆所得的弦长会求直线截椭圆所得的弦长,处理与弦长、处理与弦长、弦的中点有关的问题弦的中点有关的问题.椭圆几何性质椭圆几何性质( (直线与椭圆直线与椭圆) )点与椭圆的位置关系及判断点与椭圆的位置关系及判断1.点在椭圆外点在椭圆外2.点在椭圆上点在椭圆上3.点在椭圆内点在椭圆内点点P(x
2、0,y0)椭圆椭圆椭圆几何性质椭圆几何性质( (直线与椭圆直线与椭圆) )直线与椭圆的位置关系及判断直线与椭圆的位置关系及判断1.相离相离:2.相切相切:3.相交相交:直线与椭圆组成的方直线与椭圆组成的方程组无解程组无解直线与椭圆组成的方直线与椭圆组成的方程组只有一组解程组只有一组解直线与椭圆组成的方直线与椭圆组成的方程组有两组解程组有两组解注注:当直线的斜率不存在时当直线的斜率不存在时,可直接将直线方程代入椭圆方程可直接将直线方程代入椭圆方程,以以y的个数来判断的个数来判断.椭圆几何性质椭圆几何性质( (直线与椭圆直线与椭圆) )例例1.已知直线已知直线y=x+m及椭圆及椭圆4x2+y2=1
3、,(1)当当m为何值时为何值时,直线与椭圆相离直线与椭圆相离;相切相切;相交相交;(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.弦长公式弦长公式椭圆几何性质椭圆几何性质( (直线与椭圆直线与椭圆) )例例2 若椭圆若椭圆 的弦被点的弦被点P(4,2)平分平分,求求此弦所在的直线方程此弦所在的直线方程.设设而而不不求求点点差差法法椭圆几何性质椭圆几何性质( (直线与椭圆直线与椭圆) )例例4.椭圆椭圆b2x2+a2y2=a2b2被斜率为被斜率为k(k0)的直线的直线l截得截得的弦为的弦为AB,AB的中点为的中点为M,求求M点的轨迹点的轨迹.(1)椭圆被斜率为椭圆被斜
4、率为k(k0)的直线截得的弦的中点的直线截得的弦的中点的轨迹为线段的轨迹为线段(中点一定在椭圆内部中点一定在椭圆内部);说明说明:(2)椭圆被斜率为椭圆被斜率为k(k0)的直线截得的弦的中点的直线截得的弦的中点与原点连线的斜率与原点连线的斜率k,有有kk= ;椭圆几何性质椭圆几何性质( (直线与椭圆直线与椭圆) )练习练习1 已知椭圆已知椭圆 ,过点过点P(5,2)作直线作直线l交椭交椭圆于圆于A,B两点两点,且且P恰为恰为AB的中点的中点,求直线求直线l的方程的方程.解解:设设A(x1,y1),B(x2,y2),则则有有(1)-(2)有有又点又点P为为AB的中点的中点,则则x1+x2=10,
5、y1+y2=4所以所以,故直线故直线l的方程为的方程为:5x+8y-41=0点点P代入方程检验在椭圆外代入方程检验在椭圆外部部,因此点因此点P不可能是椭圆不可能是椭圆弦的中点弦的中点,故此题无解故此题无解.设而不求设而不求- “点差法点差法”椭圆几何性质椭圆几何性质( (直线与椭圆直线与椭圆) )练习练习2 中心在原点中心在原点,一个焦点为一个焦点为F1(0, )的椭圆的椭圆截直线截直线y=3x-2所得弦的中点横坐标为所得弦的中点横坐标为1/2,求此椭圆求此椭圆的方程的方程.设设而而不不求求点点差差法法椭圆几何性质椭圆几何性质( (直线与椭圆直线与椭圆) )练习练习31.过点过点M(-2,0)
6、的直线的直线l与椭圆与椭圆x2/2+y2=1交于交于P1、P2两点两点,线段线段P1P2的中点为的中点为P,设直线设直线l的斜率为的斜率为k1(k10),直线直线OP的斜率为的斜率为k2,则则k1k2的值等于的值等于A.2B. -2C. 1/2D.-1/2B.2.直线直线y=kx+1与椭圆与椭圆x2/5+y2/m=1恒有公共点恒有公共点,且且椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上则则m的取值范围是的取值范围是C.A.(0,1)B.(0,5)D.C.1,5)(5,+)D.(1 ,5)椭圆几何性质椭圆几何性质( (直线与椭圆直线与椭圆) ) 由椭圆方程得，知：由椭圆方程得，知：0m,且且m 5.又又
7、直线与椭圆总有公共点，直线与椭圆总有公共点，即即(10k)2-4x(m+5k2)5(1-m)0，亦即亦即5k21-m对一切实数对一切实数k成立成立1-m0，即，即m1故故m的取值范围为的取值范围为m_.椭圆几何性质(直线与椭圆)(由于直线过由于直线过定点定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，而直线与椭圆总有公共点，所以定点所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求圆的位置关系的充要条件易求)由椭圆方程得：由椭圆方程得：0m 且且m_又又直线与椭圆总有公共点直线与椭圆总有公共点 直线所经过的定点直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上必在椭圆内部或边界上故故m的取值范围为的取值范围为m_.椭圆几何性质(直线与椭圆)例例5 如图所示如图所示,已知椭圆已知椭圆 ,在椭在椭圆圆上求一点上求一点P,使使P到直线到直线l: 的距离最的距离最小小,并求出最小值并求出最小值.Xyo若问最大距离呢？若问最大距离呢？椭圆几何性质椭圆几何性质( (直线与椭圆直线与椭圆) )
