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1、第五章 弯曲应力第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学纯弯曲纯弯曲只在常值弯矩作用下的梁段.第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学横力弯曲横力弯曲剪力和弯矩同时存在的梁段.第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学观察察变形形现象象1.横向线仍保持直线.2.纵向线弯曲为曲线.3.纵向线仍与横向线相正交.4.底部纵线伸长，顶部纵线缩短.5.纵线间距离保持不变.第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学1) 平面假平面假设对于于纯弯曲，各横截面弯曲，各横截面变形后仍然保持形后仍然保持为平面，且仍与平面，且仍与梁梁轴正交，只是横截面正交，只是横截面间做相做相对转动。变形
2、假形假设2) 单向受力假向受力假设各各纵向向线只在其直只在其直线方向受力作用，各方向受力作用，各纵向向线之之间无无挤压或拉伸作用。或拉伸作用。第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学推论推论1.横截面上只存在正横截面上只存在正应力力.(纵向向线与横向与横向线保持直角保持直角.)2.正正应力分布不是均匀的力分布不是均匀的.(纵向向线中既有伸中既有伸长也有也有缩短的短的.)第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学中性中性层和中性和中性轴如下如下图，当梁弯曲，当梁弯曲时，底部各，底部各纵向向纤维伸伸长，顶部各部各纵向向纤维缩短。底部拉伸且短。底部拉伸且顶部部压缩，梁的底部和，梁的底部和顶部之部之间必有一
3、个平必有一个平面，其上各面，其上各纵向向纤维长度不度不变化，化，该平面被称平面被称为梁的中性梁的中性层，中性中性层与各横截面的交与各横截面的交线成成为中性中性轴。 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 5-2 纯弯曲弯曲时的正的正应力力dqr r OO1abcdGHOO1HO1abcdGOxyr r中性层曲率半径，与弯矩、截面几何性质及材料力学中性层曲率半径，与弯矩、截面几何性质及材料力学性质有关。性质有关。y距中性层的距离。距中性层的距离。1 变形几何关系形几何关系第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学2 物理关系物理关系根据根据根据根据单单向受力假向受力假向受力假向受力假设设, ,横截面
4、上任意点受横截面上任意点受横截面上任意点受横截面上任意点受单轴单轴向向向向应应力作用力作用力作用力作用. .sxsxsxsx根据胡克定律根据胡克定律根据胡克定律根据胡克定律xyMMs(y)s(y) xyMMs(y)s(y)xyMMs(y)s(y)xyMMs(y)s(y)第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学正应力的分布规律正应力的分布规律第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学3 静力等效关系静力等效关系 这表明：中性表明：中性轴必定通必定通过截面形心截面形心. yz横截面对中性轴的静矩或面积矩）横截面对中性轴的静矩或面积矩）. 由于 ，则必有 那么 两个两个问题：中性：中性层位置？曲率半径位置
5、？曲率半径r =？第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学静力等效关系静力等效关系 横截面上无横截面上无侧弯矩！弯矩！yz由于由于y轴是是对称称轴，则必有必有横截面对横截面对y轴、轴、z轴的惯性积。轴的惯性积。 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学静力等效关系静力等效关系 EIz 截面抗弯刚度截面截面对Z轴的的惯性矩性矩yz第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 联立方程联立方程最后可得最后可得 称称为抗弯截面模量抗弯截面模量yz第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学弯曲正弯曲正应力的分布力的分布yzyz第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yzbhzyd第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学
6、 Dd yzzcycCh1hbb1第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学纯弯曲弯曲梁的受力段受剪力和弯矩同时作用，弯矩是横截面在梁轴上的位置函数。梁的纯弯曲段只受弯矩的作用，并且各横截面上弯矩相等。横力弯曲横力弯曲 5-3 横力弯曲横力弯曲时的正的正应力力第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学这里，弯矩里，弯矩M是截面位置是截面位置x的函数。的函数。 对于足于足够长的等截面直梁，横力弯曲的等截面直梁，横力弯曲时横截面横截面上的正上的正应力仍可按力仍可按纯弯曲的正弯曲的正应力公式力公式计算。算。第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学解决三解决三类问题(1) 校核校核强度度(2) 设计截面尺寸截面
7、尺寸(3) 计算算许用用载荷荷或或第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学q=50kN/mAB2m1m例例 5-1 T形截面梁受力及几何尺寸如图所示，已知截形截面梁受力及几何尺寸如图所示，已知截面对中性轴的惯性矩面对中性轴的惯性矩Iz=2610cm4,（1试求梁上的最试求梁上的最大拉应力和最大压应力，并指明产生于何处。（大拉应力和最大压应力，并指明产生于何处。（2假设假设s=160MPa，校核此梁的强度。，校核此梁的强度。解：解：解：解：cyzy1=142mmy2=48mmRBRA(1) 求支反力求支反力第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学q=50kN/mAB2m1mRARB(2) 画弯矩图画
8、弯矩图x137.562.55014.125极极值点弯矩：点弯矩：C点：点：B点：点：最大弯矩：最大弯矩：FQM(kN)(kN.m)CBCB第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学14.125M(kN.m)CBcyzy1=142mmy2=48mmC截面截面B截面截面最大拉最大拉应力可能力可能发生在生在C截面的下截面的下边缘或或B截面的上截面的上边缘故最大拉应力为故最大拉应力为 ， 发生在发生在C截面的下边缘截面的下边缘(3) 求最大应力求最大应力第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学14.125M(kN.m)CBcyzy1=142mmy2=48mmC截面截面B截面截面最大最大压应力只可能力只可能发
9、生在生在B截面的下截面的下边缘(4) 强度校核度校核满足足强度要求。度要求。第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学两个假两个假两个假两个假设设: :横截面上各点的切横截面上各点的切横截面上各点的切横截面上各点的切应应力力力力方向与剪力平行，即平行方向与剪力平行，即平行方向与剪力平行，即平行方向与剪力平行，即平行于横截面的垂直于横截面的垂直于横截面的垂直于横截面的垂直边边；切切切切应应力沿截面力沿截面力沿截面力沿截面宽宽度方向度方向度方向度方向均匀分布，在高度方向上均匀分布，在高度方向上均匀分布，在高度方向上均匀分布，在高度方向上可能有可能有可能有可能有变变化。化。化。化。 5-4 弯曲切弯曲切
10、应力力 矩形截面梁矩形截面梁第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yx研究方法研究方法研究方法研究方法: :FQ+dFQMM+dMFQdxs s1 1xyzs2s2t1t1t tbxdx自由体平衡自由体平衡 在梁上截取在梁上截取宽宽度度为为dxdx的小段的小段微元；微元；如下如下图图，在微段上，在微段上选选取一小取一小块块，作用在其上的所有，作用在其上的所有应应力力应应平衡平衡. .第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yxFQ+dFQMM+dMFQdxs s1 1xyzs2s2t1t1t tbxdx由于由于第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yxFQ+dFQMM+dMFQdxs s1 1x
11、yzs2s2t1t1t tbxdxFQ第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学A第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学同理梁腹板面积.webFlange第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学A同理第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学需需进行弯曲切行弯曲切应力力强度条件校核的情况：度条件校核的情况： 铆铆接或接或接或接或焊焊接的工字梁，腹板接的工字梁，腹板接的工字梁，腹板接的工字梁，腹板较较薄而高度薄而高度薄而高度薄而高度较较大，腹板大，腹板大，腹板大，腹板与高度的比与高度的比与高度的比与高度的比值值小于型小于型小于型小于型钢钢的相的相的相的相应应比比比比值值。 梁的跨度梁的跨度梁的跨度梁的跨度
12、较较短，或在支座附近作用短，或在支座附近作用短，或在支座附近作用短，或在支座附近作用较较大大大大载载荷。荷。荷。荷。 焊焊接、接、接、接、铆铆接或胶合而成的梁，接或胶合而成的梁，接或胶合而成的梁，接或胶合而成的梁，焊缝焊缝、铆钉铆钉或胶合面。或胶合面。或胶合面。或胶合面。 弯曲切弯曲切弯曲切弯曲切应应力力力力强强度条件：度条件：度条件：度条件：第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学例例例例 5-2 5-2 如下如下如下如下图图，木，木，木，木质简质简支梁受均布支梁受均布支梁受均布支梁受均布载载荷作用，横截面荷作用，横截面荷作用，横截面荷作用，横截面为为矩形，已知矩形，已知矩形，已知矩形，已知b
13、 bh=0.12mh=0.12m0.18m,0.18m,7MPa7MPa， 0.9MPa, 0.9MPa, 请计请计算算算算max/maxmax/max的比率并校核梁的的比率并校核梁的的比率并校核梁的的比率并校核梁的强强度。度。度。度。解解:1) 画出内力画出内力图，确定可能的危，确定可能的危险截截面面.q=3.6kN/mAL=3mxMBxFQ第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学q=3.6kN/mAL=3mBxFQ2) 计算最大应力并校核强度.梁是安全的.xM第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学q=3.6kN/mAL=3mB3) 计算 max/max 的比率.xFQxM第五章第五章 弯曲应
14、力弯曲应力材料力学第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学F/2l/2F/2l/4l/4合理安排梁的受力情况合理安排梁的受力情况FlMmax=Fl/4+Mmax=Fl/8+第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学合理安排梁的支撑位置合理安排梁的支撑位置q=F/ll +Mmax=ql2/8=Fl/8l-2aaq=F/la+Fl/8-Fa/2Fa2/2lFa2/2l第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学例例 5-3 两端外伸梁如两端外伸梁如图所示，若已知所示，若已知钢材材许用用应力力s=160MPa，试分分别设计以下几种形状的截面尺寸和型以下几种形状的截面尺寸和型号：（号：（1矩形矩形h/b=2）、（
15、）、（2圆形、（形、（3工字工字钢、（4管形管形D/d=2）、（）、（5薄壁管（薄壁管（ D/d=1.1 ），并比），并比较其其经济性。性。5kN.m15kN10kN/m0.5m0.5m0.5m0.5mAB第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学5kN.m15kN10kN/m0.5m0.5m0.5m0.5m例例 5-3 s=160MPa，设计截面尺寸和型号：（，设计截面尺寸和型号：（1矩形矩形h/b=2）、（）、（2圆形、（圆形、（3工字钢、（工字钢、（4管形管形D/d=2）、（）、（5薄壁管（薄壁管（ D/d=1.1 ）解：解：解：解：1 求支反力求支反力RARBAB2.5kN12.5kN17
16、.5kN5kN5kN.m6.25kN.m1.25kN.mFQM2 作剪力作剪力图和弯矩和弯矩图第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学3 根据根据强度条件度条件进行截面行截面设计(1) 矩形矩形h/b=2）解得解得yzbh第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学(2) 圆形形(3) 工字工字钢查型型钢表，表，选择No10号工字号工字钢(4) 管形管形D/d=2）(5)薄壁管（薄壁管（ D/d=1.1 ）zydDd第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yzbhzydDdDd第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yz提高提高WZ： 尽可能使截面的面尽可能使截面的面积分布得分布得远离中性离中性层。Dd第
17、五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yzbh对于矩形截面：于矩形截面： 增加高度减小增加高度减小宽度来提高度来提高WZ。R北宋李北宋李诫于于11001100年著年著 营造法式造法式 一一书中指出中指出: :矩形木梁的合理高矩形木梁的合理高宽比比 ( h/b = ) 1.5 ( h/b = ) 1.5T.Young(英英)于于1807年著年著自然哲学与机械技自然哲学与机械技术讲义 一一书中指出中指出:矩形木梁的合理高矩形木梁的合理高宽比比为bh第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学如果抗拉和抗如果抗拉和抗压能力不同，如脆性材料，能力不同，如脆性材料，则应采用上下采用上下非非对称截面称截面. .s
18、 sCz第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学FM变截面等截面等强度度设计. .第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学本章完本章完第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学2 惯性矩的性矩的计算算量量纲: L4单位位: m4 或或 mm4惯性矩的性矩的值恒恒为正正.平面平面图形关于形关于z轴和和y轴的的惯性矩定性矩定义：关于关于z轴的的惯性矩性矩 .关于关于y轴的的惯性矩性矩 .极极惯性矩性矩 .zyyzdAO第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学矩形关于形心轴矩形关于形心轴矩形关于形心轴矩形关于形心轴zczczczc和和和和ycycycyc的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩. . . .bhzcy
19、cCh/2ydydA第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学圆形关于形心轴圆形关于形心轴圆形关于形心轴圆形关于形心轴zczczczc轴和轴和轴和轴和 yc yc yc yc轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩. . . .DzcycC 由由图图形的形的对对称性称性计计算算 同理，空心同理，空心圆圆截面的截面的惯惯性矩性矩为为：第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学组合图形的惯性矩组合图形的惯性矩zcycCh1hbb1例如例如例如例如 空箱体截面关于形心空箱体截面关于形心空箱体截面关于形心空箱体截面关于形心轴轴zc zc 、 yc yc的的的的惯惯性矩性矩性矩性矩. .第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学A AyCyCzCzCO OdAdAz zy yy y1 1z1z1OOz1z1y1y1ab平行移轴公式平行移轴公式
