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1、1 1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分 设函数设函数 f(x, y) 0定定义于有界闭区域义于有界闭区域D，以以D为底、为底、D的边界的边界为准线母线平行于为准线母线平行于一、问题的提出一、问题的提出1. 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 区域的直径区域的直径 区域上任意两点距离的最大者。区域上任意两点距离的最大者。 (平顶平顶)柱体的体积柱体的体积 底面积底面积 高高。 z轴的柱面为侧面、曲面轴的柱面为侧面、曲面 z f(x, y)为顶的立体称为为顶的立体称为曲曲顶顶柱体。柱体。 问题：如何计算问
2、题：如何计算曲顶柱体的体积？曲顶柱体的体积？ z f(x, y)D取近似：取近似：任取任取( i , i ) i , 第第i 个小曲顶柱体的体积个小曲顶柱体的体积划分：划分：用曲线网把用曲线网把D分成分成 n个个小区域小区域 1, 2 , , n , i 也表示其面积，曲顶柱体也表示其面积，曲顶柱体相应分成相应分成n个小个小曲顶柱体曲顶柱体 Vi 。xyz求曲曲顶柱体体积的步骤求曲曲顶柱体体积的步骤求和：求和：曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积取极限：取极限：用用 表示各小区域直径的最大者，表示各小区域直径的最大者，令令 0取极限得取极限得i 2. 平面薄片的质量平面薄片的质量平面薄片的总质量平面薄
3、片的总质量设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D，在点，在点(x, y)处的面密度为处的面密度为 (x, y)，把把D分成分成 n 个小区域个小区域 1, 2 , , n , 任取任取( i , i ) i , 则则i 的质量的质量i( i , i )二、二重积分的定义二、二重积分的定义定义定义 设设函数函数 f(x, y)在有界闭区域在有界闭区域D上有定义，将上有定义，将D任意任意分成分成 n 个小闭区域个小闭区域 1, 2 , , n , i 也表示也表示第第i 个个小闭区域小闭区域的面积，用的面积，用 表示各小表示各小闭闭区域直径的最大者区域直径的最大者
4、。任取任取( i , i ) i , i 1, 2 , , n。如果极限。如果极限存在存在( (与与D的划分法无关，与点的划分法无关，与点( i , i )的取法无关的取法无关) )，则称则称 f(x, y)在在D上可积，上可积，并称极限值为并称极限值为 f(x, y)在在D上的上的二重积分，记作二重积分，记作积积分分区区域域积积分分和和被被积积函函数数积积分分变变量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面积积元元素素说明：说明：(1) 二重积分各部分名称如下：二重积分各部分名称如下：(2) 二重积分的值是当小区域的二重积分的值是当小区域的最大直径最大直径趋于零时积分趋于零时积分和的极限
5、，而不是小区域的和的极限，而不是小区域的最大面积最大面积趋于零。趋于零。 (3) 当函数可积时，在直角坐标当函数可积时，在直角坐标系中用平行于坐标轴的等距直线系中用平行于坐标轴的等距直线网划分区域网划分区域D，则，则i x y, 即即d dxdy, 因此，因此，在直角坐标系在直角坐标系中二重积分可记作中二重积分可记作D D其中其中dxdy 称为称为直角坐标系中的面积元素直角坐标系中的面积元素。xy(4) 二重积分的二重积分的几何意义几何意义：被积函数大于零时，二重积：被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积；被积函数小于零时，二重积分分是曲顶柱体的体积；被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体体
6、积的负值；被积函数有正有负时，二重是曲顶柱体体积的负值；被积函数有正有负时，二重积分是各部分体积的代数和。积分是各部分体积的代数和。(6) 可积条件可积条件1.必要条件：必要条件：若若f(x, y)在在D上可积，则上可积，则f(x, y)在在D上有界。上有界。2.充分条件：充分条件：(5) 二重积分的二重积分的物理意义物理意义：若若 f(x, y)在在D上连续，则上连续，则f(x, y)在在D上可积。上可积。连续连续可积可积有界有界面密度为面密度为 (x, y)的平面薄片的质量的平面薄片的质量性质性质1 当当k为常数时，为常数时，性质性质2三、二重积分的性质三、二重积分的性质说明：说明：性质性
7、质1与性质与性质2统称为统称为线性性质线性性质，可推广为：，可推广为： 假定以下各性质中的积分都存在，假定以下各性质中的积分都存在，D是有界闭区域。是有界闭区域。性质性质3 对于积分区域的可加性：设对于积分区域的可加性：设D分为分为D1与与D2 ，则，则性质性质4 记记D的面积为的面积为 ，则，则性质性质5 如果在如果在D上上 f(x, y) g(x, y)，则，则推论推论1证证推论推论2 设在设在D上上 f(x, y)和和g(x, y)连续、连续、f(x, y) g(x, y)且且f(x, y) g(x, y) ，则，则性质性质6 设设M、m分别分别 f(x, y)是在闭区域是在闭区域D上的
8、最大值和上的最大值和最小值，最小值， 为为D的面积，则的面积，则性质性质7(二重积分中值定理二重积分中值定理) 设函数设函数 f(x, y)在闭区域在闭区域D上上连续，连续， 为为D的面积，则的面积，则 ( , ) D，使得，使得二重二重积分积分中值公式中值公式证证 设设 f (x, y)在在D上最大值上最大值M，最小值，最小值m，由性质，由性质6，据有界闭区域上连续函数的介值定理，据有界闭区域上连续函数的介值定理， ( , ) D，使得使得由此得二重由此得二重积分中值公式。积分中值公式。所以所以M 25。又。又区域区域 D 的面积的面积 4 ，由性质，由性质6得得说明：说明：(1)二重二重积
9、分中值公式积分中值公式的几何意义是：以曲面的几何意义是：以曲面 z f(x, y)为曲顶的曲顶柱体的体积等于以为曲顶的曲顶柱体的体积等于以 f( , )为高为高的平顶柱体的体积。的平顶柱体的体积。(2) 称为函数称为函数z f(x, y)在在D上的平均值。上的平均值。例例1(题题5(4) 估计积分估计积分的值，其中的值，其中D是圆形区域：是圆形区域： x2 y2 4。解解 被积函数被积函数 f(x, y) x2 4y2 9 在在D上的最小值上的最小值 m 9，最大值最大值M一定在一定在D的边界上取到。而的边界上取到。而 f(x, y) D 25 3x2,36 I 100 。D例例2 比较积分比
10、较积分 与与 的大小的大小,其中其中D是以是以(1, 0), (1, 1), (2, 0)为顶点的三角形闭区域。为顶点的三角形闭区域。 yxO解解 三角形斜边的方程三角形斜边的方程 x y 2 ,x y 2x y 1在在D内有内有 1 x y 2 e ,因此因此 0 ln(x y) 1,ln(x y) (ln(x y)2 ,xyzO例例3 利用几何意义，说明下列二重积分的值：利用几何意义，说明下列二重积分的值：解解解解 该积分表示三棱锥该积分表示三棱锥OABC的体积，的体积，ABC其中其中D： x 0, y 0, x y 1。二重积分的定义二重积分的定义（和式的极限）（和式的极限）二重积分的性
11、质二重积分的性质（性质（性质17）二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）小结小结二重积分的物理意义二重积分的物理意义（平面薄片的质量）（平面薄片的质量）习题习题(P79)：4(1)(2)(4)，5(2)(3)。 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关；都是用且此值只与被积函数及积分区域有关；都是用先先化整为零再积零为整化整为零再积零为整的思想，用的思想，用“划分、近似、划分、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，求某个总量的方法，求某个总量 。思考题解答思考题解答 不同的是不同的是: :(1) 定积分的积分区域为区间，被定积分的积分区域为区间，被积函数为一元函数，而二重积分的积分区域为平积函数为一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为二元函数；面区域，被积函数为二元函数；(2)定积分中定积分中dx可可正可负，而二重积分中的面积元素正可负，而二重积分中的面积元素 d 恒为正，前恒为正，前者是对坐标的积分，后者是对面积的积分。者是对坐标的积分，后者是对面积的积分。思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.
