《费马最后定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《费马最后定理（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、費馬最後定理講者：梁子傑香港道教聯合會青松中學費馬 Pierre de Fermat(1601 1665)法國人律師，1631年出任圖盧茲議院顧問。業餘研究數學他是幾何學、坐標幾何、概率論、微積分、數論等學問的先驅。大約 1637 年，當費馬閱讀古希臘名著算術時，在書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話：將一個立方數分成兩個立方數，一個四次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不可能的。我對這個命題有一個美妙的證明，這裏空白太小，寫不下。費馬最後定理當整數 n 2 時，方程 x n + y n = z n 無正整數解。勾股定理及勾股數組勾股定理在 ABC 中，若
2、 C 為直角，則 a2 + b2 = c2。留意：32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; 等等即 (3 , 4 , 5)、(5 , 12 , 13)等等為方程x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。我們稱以上的整數解為勾股數組。勾股數組的通解求方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。解x = u 2 v 2 ; y = 2uv ; z = u2 + v 2，其中 u v 0。費馬提出：那麼當 n 2 時，方程 x n + y n = z n 又有沒有整數解呢？費馬的解答將一個立方數分成兩個立方數，
3、一個四次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不可能的。我對這個命題有一個美妙的證明，這裏空白太小，寫不下。但，費馬從未向其他人提及這個美妙證明，亦沒有任何紀錄提及這件事！到底費馬的說法是否正確呢？n = 4 的證明v費馬在給朋友的信中，曾經提及他已證明了 n = 4 的情況。但沒有寫出詳細的證明步驟。v1674 年，貝西在的少量提示下，給出這個情形的證明。v證明步驟主要使用了他發明的無窮遞降法。定理方程 x 4 + y 4 = z 2 沒有正整數解。解假設 (x , y , z) 為一個解並且 HCF(x , y) = 1，y 為偶數，則 x2 = a2 b2
4、 ; y2 = 2ab ; z = a2 + b2，其中 a b 0，HCF(a , b) = 1，a、b 的奇偶性相反。由 x2 = a2 b2 得 a 必定是奇數，b 必定是偶數。另外，亦得 x2 + b2 = a2，再從此得x = c2 d 2 ; b = 2cd ; a = c2 + d 2，其中 c d 0，HCF(c , d) = 1，c、d 的奇偶性相反。因而 y2 = 2ab = 4cd(c2 + d 2)，由此得 c、d 和 c2 + d 2 為平方數。費馬的證明換句話說，(e , f , g) 為方程 x 4 + y 4 = z2 的另外一個解。但是，z = a2 + b2
5、 = (c2 + d 2)2 + 4c2d 2 g 4 g 0。即是話如果我們從一個 z 值出發，必定可以找到一個更小的數值 g 使它仍然滿足方程 x 4 + y 4 = z2。如此類推，我們可以找到一個比 g 更小的數值，同時滿足上式。但是，這是不可能的！因為 z 為一有限值，這個數值不能無窮地遞降下去！由此可知我們最初的假設不正確。所以，方程 x 4 + y 4 = z2 沒有正整數解。（證畢）推論方程 x 4 + y 4 = z 4 沒有正整數解。解假如 (x , y , z) 為該方程的解，則 (x , y , z2) 將會是方程 x 4 + y 4 = z2 的解。這是不可能的！（證
6、畢）於是可設 c = e2 ; d = f 2 ; c2 + d 2 = g2，即 e4 + f 4 = g 2。再進一步瑞士人。18世紀最優秀的數學家。世上最多產的數學家。13歲入大學，17歲取得碩士學位，30歲右眼失明，60歲完全失明。1770年提出 n = 3 的證明。但歐拉在他的證明中犯錯，故此並未能成功地解決 n = 3 的情況！歐拉 Leonhard Euler(1707 1783)高斯 Carl Friedrich Gauss(1777 1855)德國數學家。完成歐拉的證明。引入複整數的概念，即形如 a + b k，其中 a、b 為整數，k 為正整數的數字。複整數的引入法國人。少
7、數研究數學的女性。提出將費馬定理分成兩個情況：(I)n 能整除 x、y、z。(II) n 不能整除 x、y、z。熱爾曼定理如果 p 是一個奇質數，並且 2p + 1 亦是質數，那麼對於 n = p，費馬定理的第 I 情況成立。熱爾曼初步完成了 n = 5 的證明。熱爾曼 Sophie Germain (1776 1831)新的方向n = 5 的證明勒讓德 Legendre (1752 1833)狄利克雷 Dirichlet (1805 1859)8法國人81823 年，證明了 n = 5。8德國人81828 年，獨立地證明了 n = 5。81832 年，解決了 n = 14 的情況。n = 7
8、 的證明拉梅 Gabriel Lam (1795 1870)8法國人81839 年，證明了 n = 7。81847 年，在巴黎科學院宣布證明了費馬最後定理。8由於該證明未能滿足唯一分解定埋，故證明無效。理想數的誕生庫麥爾 Ernst Edward Kummer (1810 1893)德國人1845 至 1847 年間，提出了分圓整數、理想數、正規質數等概念。證明當 n 100 時，費馬最後定理成立。1857 年，獲巴黎科學院頒發獎金三千法郎。懸紅十萬馬克沃爾夫斯凱爾 Paul Friedrich Wolfskehl (1856 1908)F德國商人。F曾學習醫學。1883 年跟庫麥爾學習。F訂
9、立遺囑，懸紅十萬馬克，獎賞在他死後一百年內能證明費馬最後定理的人。F1909 至 1934 年間，收到無數的證明，但無一成立。F經過兩次大戰後，該筆獎金已大幅貶值，以 1977 年的價值計算，祇約值一萬馬克或四千美元。無數英雄盡折腰1941年，雷麥證明當 n 253747887 時 ，費馬最後定理第 I 情況成立。1977 年，瓦格斯塔夫證明當 n 125000 時，費馬最後定理成立。1983 年，德國數學家伐爾廷斯證明了莫德爾猜想，從而推出方程 x n + y n = z n 最多祇有有限多個整數解。1988 年，日本數學家宮岡洋一宣布以微分幾何的角度，證明了費馬最後定理！不過，該證明後來被
10、發現有重大而無法補救的缺陷，證明不成立！谷山志村猜想谷山豊 (1927 1958)志村五郎（生於1926）谷山志村猜想之後，就開始了二人對模形式的研究。1955 年，谷山開始提出他的驚人猜想。1958 年，谷山突然自殺身亡。其後，志村繼續谷山的研究，並提出以下的猜想：谷山志村猜想每一條橢圓曲線，都可以對應一個模形式。1954 年，志村五郎於東京大學結識谷山豊。對谷山志村猜想的評價起初，大多數的數學家都不相信谷山志村猜想。60 年代後期，眾多數學家反覆地檢驗該猜想，既未能證實，亦未能否定它。到了 70 年代，相信谷山志村猜想的人越來越多，甚至以假定谷山志村猜想成立的前提下進行論證。谷山志村猜想與
11、費馬最後定理有甚麼關係？1984 年秋，德國數學家弗賴（Gerhand Frey），在一次數學會議上，提出以下的觀點：弗賴曲線（ 猜想）首先，假設費馬最後定理不成立。即發現 A、B、C 和 N，使得 A N + B N = C N。從此得出橢圓曲線（後來稱這線為弗賴曲線）： y 2 = x 3 + (A N B N)x 2 A NB N x 。弗賴發現這曲線非常特別，特別到不可能對應任何一個模形式！換句話說，弗賴認為：如果費馬最後定理不成立，那麼谷山志村猜想也是錯的！費 馬 最 後 定 理弗 賴 曲 線谷 山 志 村 猜 想錯錯假如費 馬 最 後 定 理弗 賴 曲 線谷 山 志 村 猜 想對錯
12、對假如再換句話說，如果谷山志村猜想正確，那麼費馬最後定理就必定成立！美國數學家里貝特（Kenneth Ribet）經過多番嘗試後，終於在 1986 年的夏天成功地證得以下結果：可惜的是弗賴在 1984 年的證明犯錯，他的結果未獲承認。 故此，它祇可稱為猜想。如果谷山志村猜想對每一個半穩定橢圓曲線都成立，則費馬最後定理成立。懷爾斯 Andrew Wiles英國人，出生於 1953 年。10 歲已立志要證明費馬最後定理。1975 年，開始在劍橋大學進行研究，專攻橢圓曲線及岩澤理論。在取得博士學位後，就轉到美國的普林斯頓大學繼續研究工作。秘密計算v1986 年，當里貝特證得 猜想後，懷爾斯就決心要證
13、明谷山志村猜想。v由於不想被別人騷擾，懷爾斯決定秘密地進行此證明。v經過七年的努力，參考過無數當代數學家的研究成果，再加上他自己的一些獨特創造，他終於找到谷山志村猜想的部分證明。劍橋演講1993 年 6 月 23 日，在劍橋大學的牛頓研究所，懷爾斯以模形式、橢圓曲線、伽羅瓦表示論為題，發表了他對谷山志村猜想（即費馬最後定理）的證明。演講非常成功，費馬最後定理經已被證實的消息，很快便傳遍世界。噩夢開始！v演講會過後，懷爾斯將長達二百多頁的證明送給數論專家審閱。v起初，祇發現稿件中的有些微的打印錯誤。v但，同年 9 月，證明被發現出現了問題，並未能對所有情況生效！v懷爾斯以為此問題很快便可以修正過
14、來，但結果都失敗！v懷爾斯已失敗的傳聞，不脛而走。再次閉關v1994 年 1 月，懷爾斯重新研究他的證明。但，到了同年 9 月，依然沒有任何進展。v其間，不斷有數學家要求懷爾斯公開他的計算方法。v更有人懷疑：既然過去都無法證明費馬最後定理，到底現在又能否證實谷山志村猜想呢？v但在 9 月 19 日的早上，當懷爾斯打算放棄並作最後一次檢視時，突然發現了一個解決方法1995 年 5 月，懷爾斯長一百頁的證明，在雜誌數學年鑑中發表。最後勝利最後勝利1995 年 5 月，懷爾斯長一百頁的證明，在雜誌數學年鑑中發表。1997 年 6 月 27 日，懷爾斯獲得價值五萬美元的沃爾夫斯凱爾獎金。多謝！梁子傑完
