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1、112马马尔尔萨萨斯斯人人口口模模型型：假假设设某某特特定定区区域域在在 t0 时时刻刻的的人人口口p(t0) = p0为为已已知知的的，该该区区域域人人口口的的自自然然增增长长率率为为。人人口口的的增增长长与与人人口口的的总总数数成成正正比比，所所以以 t 时时刻刻的的人人口口总总数数 p(t)满足如下的微分方程：满足如下的微分方程：生活中常常有这样一类问题：生活中常常有这样一类问题：问问 题题 的的 提提 出出这些常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来这些常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的问题，实际问题中归结出来的微分方程主求解一些特殊类型的问
2、题，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法。要靠数值解法。3解析法：给出精确解析解。只适合少数简单情况。解析法：给出精确解析解。只适合少数简单情况。近似解法：给出解的近似表达式。如级数法近似解法：给出解的近似表达式。如级数法,逐步逼近法。逐步逼近法。数数值值方方法法：给给出出方方程程在在离离散散点点上上的的近近似似解解。它它适适合合计计算算机机求解求解,应用广泛应用广泛,具有理论应用价值。具有理论应用价值。常微分方程的解法：常微分方程的解法：内容分类：内容分类：定解问题定解问题初值问题初值问题边值问题边值问题单步法单步法Euler方法方法Taylor方法和方法和Runge-Kutta方法方
3、法多步法多步法Adams方法和一般线性多部法方法和一般线性多部法线性多部法的收敛性与稳定性线性多部法的收敛性与稳定性4一阶常微分方程初值问题的一般形式：一阶常微分方程初值问题的一般形式：问题问题:求函数求函数满足满足其中其中: f (x, y) 为已知函数为已知函数, 是已知值是已知值. (可能是观察值或实验值可能是观察值或实验值)基本条件：基本条件： f (x,y)在在D上连续；上连续； f (x,y)在在D上关于变量上关于变量y满足满足Lipschitz连续条件：连续条件：设设满足解的满足解的存在唯一存在唯一5对求解区域对求解区域a,b做剖分做剖分 构造数构造数值解法的基本思想解法的基本思
4、想在区间在区间xk, xk+1上对微分方程做积分上对微分方程做积分,则有则有 常用等步长常用等步长:, 则有则有将微分方程的准确解记为将微分方程的准确解记为y(x),称为步长。称为步长。的近似解记为的近似解记为能不能将微分转化为积分？能不能将微分转化为积分？6因此，建立节点处近似值因此，建立节点处近似值yn满足的差分公式满足的差分公式称之为称之为Euler公式公式. 对对右边的积分应用左矩形公式，则有右边的积分应用左矩形公式，则有7Euler公式的几何意义公式的几何意义特点：特点：简单，精度低简单，精度低.8例例 求解初值问题求解初值问题解：解： Euler公式的具体形式为公式的具体形式为取步
5、长取步长 h=0.1，那么即可计算该微分方程。，那么即可计算该微分方程。具体结果见下页。具体结果见下页。9xnyn0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848y(xn)1.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321解析解：解析解：10(2) 前向差分近似微分法前向差分近似微分法前向差分前向差分近似近似 , 得得将近似号改为等号，结合初始条件即得：将近似号改为等号，结合初始条件即得：前面前
6、面Euler方法是通过左矩形积分方法推导出来的，实际上方法是通过左矩形积分方法推导出来的，实际上 Euler方法还可以通过其他几种方法推导出来。方法还可以通过其他几种方法推导出来。11(3) Taylor展开法展开法忽略高阶项忽略高阶项 ，结合初值条件结合初值条件y (x0)=即得即得将将 y (xk+1)在在x = xk点进行点进行Taylor展开展开11Euler公式的局部截断误差：公式的局部截断误差：12后退的后退的Euler公式公式如果采用后向差分如果采用后向差分近似近似 , 得得将近似号改为等号，结合初始条件即得：将近似号改为等号，结合初始条件即得：未知未知这一类公式称为隐式的，相对
7、应的前面介绍的这一类公式称为隐式的，相对应的前面介绍的Euler公式称为公式称为显式的显式的13显式：更加方便计算显式：更加方便计算隐式：数值稳定性更好隐式：数值稳定性更好显式与隐式的特点显式与隐式的特点：隐式方程的计算方法隐式方程的计算方法：隐式方程常用迭代法计算，而迭代的过程实质是逐步显式化。隐式方程常用迭代法计算，而迭代的过程实质是逐步显式化。设设用用Euler公公式式 给给出出迭迭代代的的初初值值 ，用它代入后退，用它代入后退Euler公式，使之转化为显式，得公式，使之转化为显式，得然后再代入后退然后再代入后退Euler公式公式14如此反复进行得：如此反复进行得：如果迭代过程收敛，则极
8、限值如果迭代过程收敛，则极限值 必满足隐必满足隐式方程，从而获得后退式方程，从而获得后退Euler方法的解。方法的解。后退后退Euler方法局部截断误差为方法局部截断误差为15例例 用后退用后退Euler方法求解初值问题方法求解初值问题解：解： (1)取步长取步长 h=0.1，首先用，首先用Euler方法计算初值，方法计算初值，(2)用它代入后退用它代入后退Euler公式，使之转化为显式，得公式，使之转化为显式，得16xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67
9、331.7321yn(0)1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848yn(1)1.09181.17741.25821.33511.40901.48031.54981.61781.68481.7512yn(2)1.09091.17461.25281.32641.39631.46331.52791.59081.65241.7133yn(3)1.09081.17421.25151.32391.39191.45621.51741.57591.63221.68681718Euler后退后退Euler 误差误差如果将这两种方法进
10、行算术平均，即可消除误差的主如果将这两种方法进行算术平均，即可消除误差的主要部分要部分 从而获得更高的精度。这种平均化的从而获得更高的精度。这种平均化的方法通常称为梯形方法，其计算公式为：方法通常称为梯形方法，其计算公式为：19即为前面导出的梯形微分方程公式即为前面导出的梯形微分方程公式. 若对上式右边的积分应用梯形求积公式，则可导出差分公式若对上式右边的积分应用梯形求积公式，则可导出差分公式梯形公式也可以通过积分的方法来获得：梯形公式也可以通过积分的方法来获得：将微分方程化为积分方程的形式将微分方程化为积分方程的形式20梯形方法的求解梯形方法的求解梯形方法是隐式的，可用迭代法求解。同后退的梯
11、形方法是隐式的，可用迭代法求解。同后退的Euler方法方法一样，仍用一样，仍用Euler方法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式方法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式为：为：21例例 用梯形方法求解初值问题用梯形方法求解初值问题解：解： (1)取步长取步长 h=0.1，首先用，首先用Euler方法计算初值，方法计算初值，(2)用它代入梯形公式，使之转化为显式，得用它代入梯形公式，使之转化为显式，得22xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321yn(0
12、)1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848yn(1)1.09591.18441.26711.34521.41971.49111.56021.62731.69301.7577yn(2)1.09571.18371.26561.34271.41581.48561.55271.61741.68031.7418yn(3)1.09571.18361.26551.34241.41521.48451.55081.61471.67631.73612324问题问题梯梯形形法法虽虽然然提提高高了了精精度度，但但其其算算法法复复杂杂，在在
13、迭迭代代公公式式进进行行计计算算时时，每每迭迭代代一一次次，都都要要重重新新计计算算函函数数 f 的的值值，而而迭迭代代又又要要反复进行若干次，计算量很大，而且往往难以预测。反复进行若干次，计算量很大，而且往往难以预测。1用用Euler公式求得一个初步的近似值公式求得一个初步的近似值再用梯度公式将它校正一次再用梯度公式将它校正一次为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步的计算的计算2预测值预测值校正值校正值这个方法也叫做：改进的这个方法也叫做：改进的Euler公式公式 或或 预估预估-校正公式校正公式25预测预测校正校正这个公式也可以写为这个公式
14、也可以写为26xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848改进改进Euler1.09591.18411.26621.34341.41641.48601.55251.61531.67821.73792728梯形法步骤：梯形法步骤：预估校正法步骤：预估校正法步骤：Euler 梯形梯形 梯形梯形 梯形梯形Euler 梯形梯形
15、 Euler 梯形梯形29Euler两步方法两步方法如果采用后向差分如果采用后向差分近似近似 , 得得后向后向Euler方法方法如果采用前向差分如果采用前向差分近似近似 , 得得 Euler方法方法如果采用中心差分如果采用中心差分近似近似 , 得得Euler两步方法两步方法即即30前前面面介介绍绍过过的的数数值值方方法法，无无论论是是Euler方方法法，后后退退的的Euler方方法法，还还是是改改进进的的Euler方方法法，他他们们都都是是单单步步法法，其其特特点点是是在在计计算算 yn+1 时时值值用用到到前前一一步步的的信信息息 yn；然然而而Euler两两步步法法中中的的公公式式除除了了
16、 yn 外外，还还显显含含更更前前面面一一部部的的信信息息 yn-1，即即调调用用了了前前面面两两步的信息，步的信息，Euler两步法两步法因此而得名。因此而得名。单步法的优点：单步法的优点：单单步步法法的的优优点点是是“自自开开始始的的”，只只要要给给出出初初值值 y0 ，依依计计算算公公式可顺次计算式可顺次计算 y1， y2 而而两两步步法法除除了了给给出出初初值值 y0 ，还还需需要要求求助助于于其其他他单单步步法法再再提提供供一个开始值一个开始值 y1 ，然后才能启动计算公式依次计算，然后才能启动计算公式依次计算 y2， y3 31两步法的优点：两步法的优点：两两步步法法的的优优点点是
17、是它它调调用用了了两两个个节节点点上上的的已已知知信信息息，从从而而能能以以较少的计算量获得较高的精度。较少的计算量获得较高的精度。如果用如果用Euler两步公式与梯形公式相匹配，得到下列预测两步公式与梯形公式相匹配，得到下列预测-校正校正系统：系统：校正校正预测预测32例例 用用Euler两步法求解初值问题两步法求解初值问题解：解： (1)取步长取步长 h=0.1，首先用，首先用Euler方法计算初值，方法计算初值，(2)用它代入用它代入Euler两步法公式，得两步法公式，得33xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.
18、34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848Euler两步1.10001.18361.26911.34291.41861.48561.55421.61631.67941.73783435例例 用用Euler两步法的预测校正方法求解初值问题两步法的预测校正方法求解初值问题解：解： (1)取步长取步长 h=0.1，首先用，首先用Euler方法计算初值，方法计算初值，(2)用它代入用它代入Euler两步法公式，得两步法公式，得(3)用它
19、代入梯形公式，得用它代入梯形公式，得36xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848Euler2步步1.10001.18361.26911.34291.41861.48561.55421.61631.67941.7378预估校正预估校正1.09591.18381.26561.34251.41531.48451.5507
20、1.61421.67541.73453738ans =1/(x-1+2*exp(-x) MATLAB 解解常常微分方程初值问题命令微分方程初值问题命令解析解命令解析解命令:dsolve(eqn1, .)解析解解析解:例例syms x ydsolve(Dy=y-x*y2,y(0)=1,x)39 MATLAB 解解常常微分方程初值微分方程初值问题命令问题命令数值解命令数值解命令:ode23(f, a,b, y0)例例f=inline(y-x.*y.2);x,y=ode23(f,0,2,1)xy00.080.2621 0.4437 0.6437 0.8437 1.0437 1.2437 1.4437 1.6437 1.8437 2.00001.0000 1.0796 1.2485 1.3755 1.4402 1.4209 1.3374 1.2196 1.0923 0.9709 0.8620 0.787040作作 业业1 1思考题思考题1 1中的（中的（a a）（f f）2 2习题习题3 3
