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1、高中数学教学中应处理好的十大关系高中数学教学中应处理好的十大关系李祎李祎 福建师范大学福建师范大学一、教书与育人的关系一、教书与育人的关系二、主导与主体的关系二、主导与主体的关系三、结果与过程的关系三、结果与过程的关系四、形式与实质的关系四、形式与实质的关系五、教材与教学的关系五、教材与教学的关系六、知识与思想的关系六、知识与思想的关系七、局部与整体的关系七、局部与整体的关系八、解构与建构的关系八、解构与建构的关系九、讲解与探究的关系九、讲解与探究的关系十、教学与研究的关系十、教学与研究的关系一、教书与育人的关系一、教书与育人的关系什么是教育？什么是教育？教育是一把双刃剑！教育是一把双刃剑！素
2、质教育的要义：全体性，全面性。素质教育的要义：全体性，全面性。应试教育之弊端：应试教育之弊端： 为选拔适合教育的儿童；为选拔适合教育的儿童； 重智，轻德，虚体，忽视美劳。重智，轻德，虚体，忽视美劳。什么是数学教育？什么是数学教育？教教“数学数学”用用“数学数学”来教人来教人教学永远具有教育性！教学永远具有教育性！教人求真、求善、求美！教人求真、求善、求美！学会知识学会知识学会思维，学会学习，学会发现，学学会思维，学会学习，学会发现，学会创造，学会生存。会创造，学会生存。死读书，读死书，书读死？死读书，读死书，书读死？案例：案例：俗俗话话说说“三三个个臭臭皮皮匠匠顶顶上上一一个个诸诸葛葛亮亮”，
3、能能顶顶得得上上吗吗？比比如如在在一一次次有有关关“三三国国演演义义”的的知知识识竞竞赛赛中中，三三个个臭臭皮皮匠匠能能答答对对题题目目的的概概率率分分别别为为50%50%、45%45%、40%40%，诸诸葛葛亮亮能能答答对对题题目目的的概概率率为为90%90%。如如果果将将三三个个臭臭皮皮匠匠组组成成一一组组与与诸诸葛葛亮亮比比赛赛，各各位位选选手手独独立立解解题题，不不得得商商量量，团团队队中中只只要要有有一一个个解解出出即为获胜，答对题目多者为胜方，问哪方获胜？即为获胜，答对题目多者为胜方，问哪方获胜？解题教学新八股解题教学新八股：解题教学押题猜题讲类型化例题练公式化步骤做模拟试题教得分
4、方法考试高分低能动手能力差应用能力弱创造水平低二、主导与主体的关系二、主导与主体的关系主体性主体性：能动性、自主性、创造性：能动性、自主性、创造性能动性能动性：态度问题：态度问题自主性自主性：地位问题：地位问题创造性创造性：成效问题：成效问题谁为教学中的主体？谁为教学中的主体？“学生作为主体学生作为主体”的理由：的理由： 学与教的关系，是目的与手段的关系学与教的关系，是目的与手段的关系 学与教的关系，是内因与外因的关系学与教的关系，是内因与外因的关系主导主导：主要的向导，或向导中的主角：主要的向导，或向导中的主角主体性视角下数学教学之审视主体性视角下数学教学之审视教学教学“二十四字方针二十四字
5、方针”：精力内容，大作功夫；精力内容，大作功夫；少占多让，少扶多放；少占多让，少扶多放；绝对主动，相对自主。绝对主动，相对自主。（李祎（李祎. .基于探究学习的数学教学策略研究，数学通报，基于探究学习的数学教学策略研究，数学通报， 20092009年年0202期）期）为病态数学教学开药方：为病态数学教学开药方：“越俎代庖越俎代庖”式数学教学；式数学教学；“目中无人目中无人”式数学教学；式数学教学；“以点代面以点代面”式数学教学；式数学教学；“本末倒置本末倒置”式数学教学。式数学教学。（李祎（李祎. .为病态数学教学开药方为病态数学教学开药方, ,中国教育报中国教育报, 2009, 2009年年
6、1010月月1616日日 李祎李祎, ,单单墫墫. .作作“无为无为”之师，行有为之教，之师，行有为之教，中国教育报中国教育报，20062006年年1010月月1010日日 李祎李祎, ,涂荣豹涂荣豹. .学习贵在学习贵在“自得自得”，中国教育报中国教育报，20062006年年1212月月2323日）日）案例：案例：一位企业家问郭思乐教授一位企业家问郭思乐教授, ,什么是教学什么是教学？他说？他说: :如如果果你你告告诉诉学学生生,3,3乘乘以以5 5等等于于15,15,这这就就不不是是教教学学. . 如如果果你你说说,3,3乘乘以以5 5等等于于什什么么？这这就就有有一一点点是是教教学学了了
7、. .如如果果你你有有胆胆量量说说,3,3乘乘以以5 5等等于于14,14,那那就就更更是是教教学学了了. .这这时时候候, ,打打瞌瞌睡睡的的孩孩子子睁睁开开了了眼眼睛睛, ,玩玩橡橡皮皮泥泥的的学学生生也也不不玩玩了了: :“什什么么什什么么？等等于于1414？！”然后他们就用各种方法然后他们就用各种方法, ,来论证等于来论证等于1515而不是而不是14.14.三、结果与过程的关系三、结果与过程的关系1.1.过程与结果的含义过程与结果的含义结果结果是指教学活动发展的最终产物，是指教学活动发展的最终产物，过程过程则是指则是指为获得教学结果所必须经历的活动程序。为获得教学结果所必须经历的活动程
8、序。过程性的完整含义：过程性的完整含义：（1 1）数学知识的过程性）数学知识的过程性（2 2）数学思维的过程性）数学思维的过程性（3 3）数学活动的过程性）数学活动的过程性2.2.过程与结果的关系过程与结果的关系从科学角度来看从科学角度来看，两则不可割裂。，两则不可割裂。“三个三个”馒头的寓言故事。馒头的寓言故事。过程某种意义上就是结果。过程某种意义上就是结果。从教学角度来看从教学角度来看，则会出现两者的割裂：，则会出现两者的割裂： 只教知识的结果，不教知识的过程；只教知识的结果，不教知识的过程； 只注重知识结果的教学只注重知识结果的教学, ,不注重知识过程的教学；不注重知识过程的教学； 只教
9、这个题目如何解只教这个题目如何解, ,不教该解法是怎么想到的。不教该解法是怎么想到的。3.3.关于过程与结果的三种观点关于过程与结果的三种观点观点观点1 1: :只要结果，不要过程只要结果，不要过程；观观点点2 2: :重重视视过过程程，但但重重视视过过程程的的目目的的，是是为为了了更更好地掌握知识与技能，好地掌握知识与技能，过程本身的价值被忽略过程本身的价值被忽略；观观点点3 3: :过过程程本本身身就就是是一一个个教教学学目目标标，经经历历过过程程已已不不仅仅是是为为了了获获得得知知识识与与技技能能，“过过程程”本本身身所所蕴蕴含的价值被纳入教学目标的范畴。含的价值被纳入教学目标的范畴。4
10、.4.过程与结果具有不同的价值过程与结果具有不同的价值结结果果的的价价值值追追求求的的是是对对学学生生的的即即时时效效用用，过过程程的的价值价值追求的是对于学生身心发展的追求的是对于学生身心发展的促进作用促进作用。“过程性过程性”关涉数学理解关涉数学理解“过程性过程性”关涉能力培养关涉能力培养“过程性过程性”关涉方法掌握关涉方法掌握“过程性过程性”关涉经验积累关涉经验积累“过程性过程性”关涉情感目标关涉情感目标案例案例案例案例案例案例案例案例案例：案例：函数的单调性函数的单调性单调性教学设计大体从三个层次展开：单调性教学设计大体从三个层次展开：首首先先，观观察察图图像像，描描述述变变化化规规律
11、律，如如上上升升、下下降降，从几何直观角度加以认识；从几何直观角度加以认识；其其次次，结结合合图图、表表，用用自自然然语语言言描描述述，即即因因变变量量随自变量的增大而增大（或减小）；随自变量的增大而增大（或减小）；最最后后，用用数数学学符符号号语语言言描描述述变变化化规规律律，逐逐步步实实现现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。用精确的数学语言刻画函数的变化规律。教教学学的的困困惑惑：从从图图像像上上不不难难获获得得图图像像“上上升升”或或“下下降降”的的直直观观特特征征，但但为为什什么么还还要要进进一一步步来来研研究它呢？究它呢？解解释释和和说说明明：“上上升升”“”“下下降降”是是一一种
12、种日日常常语语言言，用用日日常常语语言言描描述述“单单调调增增”“”“单单调调减减”这这样样的的数数学性质是学性质是不够准确不够准确的。的。能能否否用用数数学学语语言言来来描描述述函函数数的的这这种种特特点点呢呢？如如果果可以的话，又该如何来描述呢？可以的话，又该如何来描述呢？这这时时结结合合图图像像的的特特点点，即即它它是是“函函数数”的的图图像像，从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。教教学学的的难难点点：如如何何用用符符号号化化的的数数学学语语言言来来描描述述递递增的特征，这其中有两个难点：增的特征，这其中有两个难点：四、形式与实质的关系四、
13、形式与实质的关系课课标标：“数数学学教教学学不不能能只只限限于于形形式式化化的的表表达达，要要强强调调对对数数学学本本质质的的认认识识，否否则则会会将将生生动动活活泼泼的的数学思维活动淹没在形式化的海洋里数学思维活动淹没在形式化的海洋里。”陈陈省省身身：“当当然然不不能能考考定定义义、定定理理，只只能能考考具具体体问题，看你能不能把定义落实到例子上问题，看你能不能把定义落实到例子上”。1.1.过分热衷于形式化的探究和细枝末节的拷问过分热衷于形式化的探究和细枝末节的拷问平行四边形的面积等于底乘以高。平行四边形的面积等于底乘以高。等式两边同时加上或者减去一个数等式两边同时加上或者减去一个数, ,所
14、得的结果所得的结果仍然是等式。仍然是等式。我们把解方程的过程叫做方程的解。我们把解方程的过程叫做方程的解。三角形的高是线段还是长度？三角形的高是线段还是长度？整数能否叫做分数？整数能否叫做分数？圆的直径是圆的对称轴。圆的直径是圆的对称轴。形式与实质之困：形式与实质之困：案例：案例：一般地，函数一般地，函数 叫做指数函数。叫做指数函数。一般地，函数一般地，函数 叫做对数函数。叫做对数函数。思考：思考： ， 是指数函数吗？是指数函数吗？ ， 是对数函数吗？是对数函数吗？给给出出一一个个函函数数，怎怎么么才才知知道道它它能能否否变变成成一一个个指指数函数或对数函数呢？数函数或对数函数呢？案例：案例：
15、含有未知数的等式叫做含有未知数的等式叫做方程方程；一一般般地地，如如果果A A，B B表表示示两两个个整整式式，并并且且B B中中含含有有字母，那么式子字母，那么式子A/BA/B叫做叫做分式分式。x-x=0x-x=0是不是方程？是不是方程？x/2xx/2x是不是分式？是不是分式？2.2.背会数学定义不等于掌握了数学概念背会数学定义不等于掌握了数学概念案例：案例：两数相除又叫做两数的比。两数相除又叫做两数的比。张张奠奠宙宙: :方方程程的的定定义义“含含有有未未知知数数的的等等式式叫叫方方程程”, ,并并没没有有反反映映方方程程的的本本原原思思想想。在在方方程程定定义义的的黑黑体体字字上上大大做
16、做文文章章, ,反反复复举举例例, ,咬咬文文嚼嚼字字地地学学习习, ,朗朗朗朗上上口口地地背背诵诵, ,没没有有实实质质性性的的意意义义。绝绝对对没没有有学生因为背不出这句话而学不会学生因为背不出这句话而学不会“方程方程”的。的。案例：案例：导数与定积分的处理导数与定积分的处理3.3.要注重对数学结论本质的揭示要注重对数学结论本质的揭示案例：案例：集合的本质集合的本质幼儿园小孩子学集合幼儿园小孩子学集合案例：案例：距离的本质距离的本质案例：案例：复数的本质复数的本质案例：案例：解析几何的本质解析几何的本质以椭圆为例以椭圆为例五、教材与教学的关系五、教材与教学的关系1.1.善于对教材进行质疑和
17、批判善于对教材进行质疑和批判有有些些教教师师视视教教材材如如同同“圣圣经经”，具具有有绝绝对对至至上上的的权威地位，不敢越雷池于一步。权威地位，不敢越雷池于一步。对对书书本本顶顶礼礼膜膜拜拜的的结结果果，是是教教师师和和学学生生想想象象力力的的贫瘠、创造性的不足和批判意识的严重缺失。贫瘠、创造性的不足和批判意识的严重缺失。书书本本并并非非完完美美无无暇暇，出出现现瑕瑕疵疵甚甚至至错错误误也也在在所所难难免免，对对课课本本应应该该用用批批判判的的眼眼光光审审视视它它，有有保保留留地地、选择性地接受，而不能一味地全盘照搬。选择性地接受，而不能一味地全盘照搬。案例案例 函数单调性的定义：函数单调性的
18、定义：“如果对于定义域如果对于定义域I I内内某个区间某个区间D D上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值 ”案案例例 函函数数：设设A A、B B是是非非空空数数集集，如如果果按按照照某某种种确确定定的的对对应应关关系系f f，使使对对于于集集合合A A中中的的任任意意一一个个数数x x，在在B B中中都都有有唯唯一一确确定定的的数数f f（x x）和和它它对对应应，则则称称f f：ABAB为为从从集集合合A A到到集集合合B B的的一一个个函函数数，记记作作y=fy=f（x x），xA.xA.其其中中x x叫叫做做自自变变量量，x x的的取取值值范范围围A A叫叫做做函函数数的的定定
19、义义域域；与与x x的的值值相相对对应应的的y y值值叫叫做做函函数数值值，函函数数值值的的集集合合ff（x x）|xA|xA叫叫做做函函数的值域。显然，值域是集合数的值域。显然，值域是集合B B的子集。的子集。2.2.用教材教，而不是教教材用教材教，而不是教教材案例案例 线平面平行的判定定理线平面平行的判定定理平面外的直线平面外的直线a a平行于平面内的直线平行于平面内的直线b b。（1 1）这两条直线共面吗？）这两条直线共面吗？（2 2）直线）直线a a与平面相交吗？与平面相交吗？证明必要性的反思。证明必要性的反思。可否直接证明？可否直接证明？用教材教用教材教可否可否“合二为一合二为一”展
20、开探究？展开探究？案例案例 等比数列求和公式等比数列求和公式法法1 1：等比定理：等比定理法法2 2：累加法：累加法法法3 3 化归法化归法法法4 4 递推法递推法法法5 5 数学美的启示数学美的启示3.3.充分利用动态生成资源充分利用动态生成资源教教材材不不是是教教学学的的全全部部内内容容，而而只只是是为为开开展展教教学学活活动以使师生互动生成知识提供的范例和素材。动以使师生互动生成知识提供的范例和素材。生生成成性性资资源源是是使使教教学学活活动动得得以以开开展展的的“生生长长点点”或或“脚脚手手架架”，使使教教学学能能够够在在资资源源的的“生生成成”与与“利用利用”的持续不断地反复交替中推
21、进。的持续不断地反复交替中推进。六、知识与思想的关系六、知识与思想的关系米山国藏：米山国藏：学生所学的数学知识，在进入社会后学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑而不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。受益终身。爱因斯坦：爱因斯坦：“真正的教育是把在学校学习的东西真正的教育是把在学校学习的东西忘光了
22、之后还留下来的东西。忘光了之后还留下来的东西。” 1. 一法多用，体现迁移性一法多用，体现迁移性案例：案例：各种函数性质的研究各种函数性质的研究通过图像研究函数的性质通过图像研究函数的性质数形结合思想数形结合思想；通通过过具具体体函函数数的的性性质质归归纳纳出出一一般般函函数数的的性性质质从特殊到一般的归纳思想从特殊到一般的归纳思想；区分情况来讨论函数的性质区分情况来讨论函数的性质分类讨论思想分类讨论思想；通过对比来研究函数性质通过对比来研究函数性质类比的思想方法类比的思想方法；函数性质应用实例函数性质应用实例数学模型思想方法数学模型思想方法。例如例如: :反比例函数反比例函数, ,单调性单调
23、性, ,指数函数指数函数, ,对数函数对数函数这这些些思思想想方方法法，不不依依内内容容而而异异，呈呈现现出出某某种种相相通通性性。它它们们看看不不见见、摸摸不不着着，只只有有教教师师在在教教学学中中有有意意识识地地使使用用提提示示语语，才才能能使使数数学学思思想想方方法法显显化化，从从而而使使思思想想方方法法的的学学习习和和掌掌握握，从从自自发发走走向向自自觉觉，从无意识默会走向有意识习得。从无意识默会走向有意识习得。常常言言道道“授授人人以以鱼鱼，不不如如授授人人以以渔渔”，思思想想方方法法之所重要，就在于其可迁移性。之所重要，就在于其可迁移性。2.多法归一，体现相通性多法归一，体现相通性
24、案例：案例：正弦定理的各种证法正弦定理的各种证法证法证法1 1：作高法：作高法证法证法2 2：面积法：面积法证法证法3 3：外接圆法：外接圆法证法证法4 4：角平分线法：角平分线法问问题题的的关关键键并并不不在在于于方方法法的的多多与与寡寡，而而更更在在于于能能否否透透过过不不同同解解法法，挖挖掘掘与与提提炼炼出出更更一一般般的的思思想想方方法，即法，即不变量思想不变量思想和和化归转化思想化归转化思想。多多法法归归一一归归出出的的“一一”不不变变量量思思想想与与化化归归转转化化思思想想，就就是是数数学学中中经经常常用用到到的的重重要要数数学学思思想想，前前者者在在建建立立等等量量关关系系时时用
25、用到到，而而后后者者是是矛矛盾盾转转化化的基本方法。的基本方法。基础知识基础知识基本技能基本技能基本活动经验基本活动经验基本思想基本思想数学活动数学活动哲哲学学的的视视角角：形形式式与与内内容容；运运动动与与静静止止；偶偶然然与与必必然然；现现象象与与本本质质；原原因因与与结结果果；整整体体与与局局部部；有限与无限；等。有限与无限；等。思思维维的的视视角角：观观察察与与实实验验；类类比比与与猜猜想想；归归纳纳与与演演绎绎；分分析析与与综综合合；抽抽象象与与概概括括；特特殊殊与与一一般般；比较与分类比较与分类；等。等。数学的视角：数学的视角：1 1、全全局局性性的的方方法法：数数学学模模型型方方
26、法法；关关系系映映射射反反演方法；公理化方法；坐标方法；等。演方法；公理化方法；坐标方法；等。2 2、技技巧巧性性的的方方法法：解解题题策策略略层层面面；解解题题方方法法层层面；解题技巧层面。面；解题技巧层面。高高考考考考试试说说明明：函函数数与与方方程程思思想想；数数形形结结合合思思想想；分分类类与与整整合合思思想想；化化归归与与转转化化思思想想；特特殊殊与与一一般般思想；有限与无限思想；必然与或然思想。思想；有限与无限思想；必然与或然思想。数学抽象的思想数学抽象的思想派生出的有：派生出的有：分类的思想；分类的思想；集合的思想；集合的思想；数形结合的思想；数形结合的思想；变中有不变的思想；变
27、中有不变的思想；符号表示的思想；符号表示的思想；对称的思想；对称的思想；对应的思想；对应的思想；有限与无限的思想等。有限与无限的思想等。数学推理的思想数学推理的思想派生出的有：派生出的有：归纳的思想；归纳的思想；演绎的思想；演绎的思想；公理化思想；公理化思想；转换与化归的思想；转换与化归的思想；联想与类比的思想；联想与类比的思想；逐步逼近的思想；逐步逼近的思想；代换的思想；代换的思想；特殊与一般的思想等。特殊与一般的思想等。数学模型的思想数学模型的思想派生出的有：派生出的有：简化的思想；简化的思想；量化的思想；量化的思想；函数的思想；函数的思想；方程的思想；方程的思想；优化的思想；优化的思想；
28、随机的思想；随机的思想；抽样统计的思想等。抽样统计的思想等。七、局部与整体的关系七、局部与整体的关系布布鲁鲁纳纳：学学习习知知识识就就是是学学习习事事物物是是怎怎样样相相互互关关联联的的。“不不论论我我们们选选教教什什么么学学科科，务务必必使使学学生生理理解解各门学科的基本结构各门学科的基本结构”。知知识识的的学学习习就就是是在在学学生生的的头头脑脑中中形形成成各各学学科科的的知知识识结结构构。这这种种知知识识结结构构是是由由学学科科知知识识中中的的基基本本概概念、基本思想或基本原理组成的念、基本思想或基本原理组成的。对对内内容容进进行行设设计计时时，不不能能“就就事事论论事事”，仅仅考考虑虑
29、这一这一“点点”知识，这样可能会知识，这样可能会“见木不见林见木不见林”。1.知识结构知识结构案例：案例：几何结构代数结构几何结构代数结构直观几何直观几何：对平面图形、立体图形的认识；：对平面图形、立体图形的认识；度量几何度量几何：求长度、角度、面积、体积等问题；：求长度、角度、面积、体积等问题；演绎几何演绎几何：垂直、平行、全等、相似：垂直、平行、全等、相似运动几何运动几何：如平移、旋转和对称等；：如平移、旋转和对称等；坐标几何坐标几何。案例：案例：代数结构代数结构代数代数：数式运算和方程求解：数式运算和方程求解两种数两种数：实数，复数：实数，复数三种式三种式：整式，分式，根式：整式，分式，
30、根式六种运算六种运算：加，减，乘，除，乘方，开方：加，减，乘，除，乘方，开方四类方程四类方程：整式方程：整式方程, ,分式方程分式方程, ,根式方程根式方程, ,方程组方程组进一步发展：未知数更多方程，次数更高方程进一步发展：未知数更多方程，次数更高方程从从代代数数式式（符符号号代代表表数数），到到方方程程（符符号号代代表表未未知数），到函数（符号代表变数）知数），到函数（符号代表变数）2.2.方法结构方法结构案例：案例：度量方法度量方法线线段段长长多多边边形形周周长长圆圆周周长长（多多边边形形周周长长的的极极限值）限值）弧长弧长两直线的两直线的夹角夹角线与面的夹角线与面的夹角面与面的夹角面与
31、面的夹角单单位位正正方方形形面面积积长长方方形形面面积积其其他他多多边边形形面面积积圆面积（多边形面积的极限）圆面积（多边形面积的极限）多面体表面积多面体表面积单单位位正正方方体体体体积积长长方方体体与与正正方方体体体体积积圆圆柱柱体体积积圆锥体积圆锥体积逻辑结构逻辑结构: :定义几何量定义几何量确定度量单位确定度量单位简化算法简化算法. .3.纵向联系形成结构纵向联系形成结构案例：案例：对称性对称性小学数学：小学数学：二年级上二年级上“美丽的对称图形美丽的对称图形”（认识（认识并画出：画一画）；五年级并画出：画一画）；五年级“图形的变换图形的变换轴轴对称对称”（方格纸上研究轴对称的特征和性质
32、：量（方格纸上研究轴对称的特征和性质：量一量，数一数）一量，数一数）初中数学：初中数学：初二上初二上“轴对称轴对称”（坐标系中研究轴（坐标系中研究轴对称的特征和性质）对称的特征和性质）高中数学：高中数学：函数的对称性函数的对称性奇偶性；方程曲线奇偶性；方程曲线的对称性的对称性函数图像的对称性：函数图像的对称性：方程曲线的对称性：方程曲线的对称性：4.横向联系形成结构横向联系形成结构案例：案例：单调性、斜率与导数单调性、斜率与导数(1)(1)单调性：单调性：(2)(2)斜率斜率直直线线是是线线性性的的，它它描描述述的的是是均均匀匀变变化化，是是最最简简单单的的变变化化。即即直直线线在在某某个个区
33、区间间 上上的的平平均均变变化化率率 ，与与直直线线上上任任意意一一点点x x0 0的的瞬瞬时时变变化化率率（导导数数） 是是相相同同的的，都都等等于于这这条条直线的斜率直线的斜率k k。(3)(3)正切正切(4)(4)导数导数导导数数是是平平均均变变化化率率的的极极限限，即即表表示示瞬瞬时时变变化化率率。其几何意义是切线的斜率。其几何意义是切线的斜率。 递增；递增； 递减。递减。八、解构与建构的关系八、解构与建构的关系理想的教学理想的教学：深入浅出：深入浅出先先“入入”教材，再教材，再“出出”教材。教材。先解构教材，再建构教材。先解构教材，再建构教材。没没有有对对数数学学教教材材的的“深深入
34、入”，就就没没有有数数学学教教学学中中的的“浅出浅出”。理解数学：理解数学：通过深入来解构；通过深入来解构；稚化思维：稚化思维：通过浅出来建构。通过浅出来建构。（一）理解数学（一）理解数学袁袁隆隆平平：“我我最最喜喜欢欢外外语语、地地理理、化化学学，最最不不喜喜欢欢数数学学，因因为为在在学学正正负负数数的的时时候候，搞搞不不清清为为什什么么负负负负相相乘乘得得正正，就就去去问问老老师师，老老师师说说你你记记得得就就是是；学学几几何何时时，对对一一个个定定理理有有疑疑义义，去去问问，还还是是一一样样回回答答，我我由由此此得得出出结结论论，数数学学不不讲讲道道理理，于是不再理会，对数学兴趣不大，成
35、绩不好于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好”。数学原本就是这样？还是数学教师的教学使然？数学原本就是这样？还是数学教师的教学使然？知知名名华华人人数数学学家家、哈哈佛佛大大学学教教授授丘丘成成桐桐兴兴冲冲冲冲地地赶赶到到杭杭州州，去去与与一一群群刚刚在在高高考考中中取取得得好好成成绩绩的的数数学尖子见面。结果却让他颇为失望：学尖子见面。结果却让他颇为失望：“大大多多数数学学生生对对数数学学根根本本没没有有清清晰晰的的概概念念，对对定定理理不不甚甚了了了了，只只是是做做习习题题的的机机器器。这这样样的的教教育育体体系，难以培养出什么数学人才系，难以培养出什么数学人才。”数学理解重于形式运算。数
36、学理解重于形式运算。1.1.提高数学素养的提高数学素养的“六维度六维度”（1 1）从微观上对数学知识的准确、深刻理解）从微观上对数学知识的准确、深刻理解 （2 2）从宏观上对数学知识整体结构的正确把握）从宏观上对数学知识整体结构的正确把握 （3 3）对显性知识背后隐性的思想方法的认识）对显性知识背后隐性的思想方法的认识 （4 4）对中小学数学中某些拓展性知识的认知）对中小学数学中某些拓展性知识的认知 （5 5）对数学知识）对数学知识 “来龙去脉来龙去脉”的过程性把握的过程性把握 （6 6）从高观点对中小学数学的居高临下的认识）从高观点对中小学数学的居高临下的认识（李祎李祎. .提高教师数学素养
37、的提高教师数学素养的“六维度六维度”，数学通讯，数学通讯，20122012年第年第1010期期）2.2.理解数学的理解数学的“五视角五视角”（1 1）厘清）厘清“是什么是什么”（集合，数列，基本事件集合，数列，基本事件）（2 2）追问）追问“为什么为什么”（集合集合“三性三性”）（3 3）建构内容联系）建构内容联系（4 4）挖掘思想方法）挖掘思想方法（5 5）寻求多元表征）寻求多元表征（等差数列求和公式等差数列求和公式）（李祎（李祎. .刍议教师理解数学的几个维度，刍议教师理解数学的几个维度，数学通报数学通报20142014年第年第6 6期期 李祎李祎, ,邱云邱云. .数学知识不是数学知识不
38、是“铁板一块铁板一块”谈数学教师应树立的知识观，谈数学教师应树立的知识观，数数学通报学通报 2011 2011年第年第1010期）期） 3.3.“追问追问”数学的数学的“四作用四作用”（1 1）通过追问形成正确认识）通过追问形成正确认识（指数函数指数函数, ,概率概率）（2 2）通过追问获得深层理解）通过追问获得深层理解（0 0作除数作除数, ,运算法则运算法则）（3 3）通过追问拓展学科知识）通过追问拓展学科知识( (方程方程, ,数列数列) )（4 4）通过追问获得较高观点）通过追问获得较高观点（自然数个数自然数个数, ,方程方程）（李李祎祎. .学学会会追追问问“数数学学”数数学学教教师
39、师成成长长的的重重要要阶阶梯梯，数数学学通通讯讯，20112011年第年第11 11期期 ）（二）稚化思维（二）稚化思维所所谓谓稚稚化化思思维维，就就是是教教师师把把自自己己的的外外在在权权威威隐隐蔽蔽起起来来，教教学学时时不不以以知知识识丰丰富富的的教教师师自自居居，而而是是把把自自己己的的思思维维降降格格到到学学生生的的思思维维水水平平，亲亲近近学学生生，接接近近学学生生，有有意意识识地地退退回回到到与与学学生生相相仿仿的的思思维维状状态态，设设身身处处地地地地揣揣摩摩学学生生的的学学习习水水平平、状状态态等等，有有意意识识地地生生发发出出一一种种陌陌生生感感、新新鲜鲜感感，以以与与学学生
40、生同同样样的的认认知知兴兴趣趣、同同样样的的学学习习情情绪绪、同同样样的的思思维维情境、共同的探究行为来完成教学的和谐共创。情境、共同的探究行为来完成教学的和谐共创。波波利利亚亚: :“让让你你的的学学生生提提问问题题，要要不不就就象象他他们们自自己己提提问问的的那那样样由由你你去去提提出出这这些些问问题题；让让你你的的学学生生给给出出解解答答，要要不不就就象象他他们们自自己己给给出出的的那那样样由由你你去去给出解答。给出解答。”（数学的发现数学的发现）（1 1）惑其所惑）惑其所惑（2 2）难其所难）难其所难（3 3）错其所错）错其所错案例：案例：直线的斜率直线的斜率为为什什么么有有了了倾倾斜
41、斜角角已已能能确确定定直直线线方方向向的的前前提提下下，还一定要将其代数化？还一定要将其代数化？变变量量(x(x，y)y)与与作作为为不不变变量量的的倾倾斜斜角角，不不能能直直接接建建立立起起关关系系，还还必必须须将将倾倾斜斜角角代代数数化化，变变量量(x(x，y)y)与不变量与不变量斜率斜率k k才能建立起关系。才能建立起关系。斜斜率率公公式式反反映映出出斜斜率率在在联联系系两两点点的的坐坐标标与与直直线线倾倾斜斜角角的的优优越越性性；斜斜率率在在研研究究直直线线平平行行与与垂垂直直上上的的作用。作用。“率率”，是是指指两两个个相相关关数数的的比比值值，x x变变化化单单位位长长时时，看看y
42、 y变变化化了了多多少少，实实质质是是对对x x和和y y变变化化的的快快慢慢程程度度的的刻刻画画。角角越越大大，倾倾斜斜程程度度越越大大，该该特特定定比比值越大。值越大。教教学学难难点点：建建立立直直线线方方程程的的过过程程，是是寻寻求求其其不不变变量量k k，建建立立变变量量(x(x，y)y)与与不不变变量量k k的的数数量量关关系系的的过过程程。但但这这里里的的不不变变量量是是角角度度，而而不不是是距距离离。比比之之圆圆、椭椭圆圆、双双曲曲线线、抛抛物物线线几几种种曲曲线线，尽尽管管直直线线是非常简单的图形，但其方程建立过程更显复杂。是非常简单的图形，但其方程建立过程更显复杂。为什么要用
43、正切？为什么要用正切？首首先先与与“坡坡度度”概概念念一一致致。坡坡面面的的铅铅直直高高度度和和水水平长度的比。（垂直变化率）平长度的比。（垂直变化率）其其次次，不不管管是是锐锐角角变变化化，还还是是钝钝角角变变化化，反反映映的的都是倾斜角越大，斜率越大。都是倾斜角越大，斜率越大。第第三三，正正切切值值就就是是直直线线的的变变化化率率，这这样样，采采用用正正切值与导数保持了一致性。切值与导数保持了一致性。案例：案例：三角函数三角函数（1 1）三角函数的认知基础）三角函数的认知基础三三角角函函数数是是函函数数的的下下位位概概念念，同同时时又又是是锐锐角角三三角函数的上位概念；角函数的上位概念；教
44、教学学要要以以函函数数思思想想为为指指导导，以以锐锐角角三三角角函函数数概概念念为为认认知知起起点点，突突破破用用直直角角三三角角形形定定义义三三角角函函数数的的思思维维局局限限，以以坐坐标标系系和和单单位位圆圆为为定定义义工工具具，促进任意角三角函数定义的有效生成。促进任意角三角函数定义的有效生成。（2 2）三角函数的本质特征）三角函数的本质特征根据相似性说明根据相似性说明比值的不变性比值的不变性特征；特征；角角的的边边上上的的任任一一点点到到另另一一边边的的距距离离、在在另另一一边边的的投投影影，以以及及该该点点到到角角的的顶顶点点的的距距离离，三三者者中中任任两两者者的的比比保保持持不不
45、变变。揭揭示示这这一一本本质质，既既可可在在直直角角三三角角形形中中，也也可可在在坐坐标标系系中中，后后者者可可体体现现三角函数的周期性特点三角函数的周期性特点（核心是对应关系）（核心是对应关系）。引引入入锐锐角角三三角角函函数数，目目的的是是为为了了研研究究三三角角形形中中的的边边角角关关系系，定定义义侧侧重重几几何何的的角角度度；引引入入任任意意角角三三角角函函数数，目目的的是是为为了了研研究究周周期期变变化化现现象象，定义定义侧重代数的角度侧重代数的角度。（3 3）三角函数的认知难点）三角函数的认知难点三三角角函函数数对对应应关关系系的的“与与众众不不同同”，主主要要表表现现在在不不以以
46、“代代 数数 运运 算算 ”为为 媒媒 介介 . .以以 前前 遇遇 到到 的的 y=kx+by=kx+b，y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c，y=ay=ax x，y=logy=loga ax x等等，都都有有“运运算算”的的背背景景，而三角函数是而三角函数是“直接对应直接对应”，无须计算，无须计算. .三三角角函函数数是是以以角角为为自自变变量量的的函函数数, ,由由角角与与比比值值的的对对应应, ,再实现数到坐标的对应再实现数到坐标的对应, ,会造成一定的理解困难会造成一定的理解困难. .由锐角三角函数到任意角三角函数的由锐角三角函数到任意角三角函数的过渡与衔接过渡与衔接. .（4
47、 4）两种定义方法的比较）两种定义方法的比较终边定义法：终边定义法： 终终边边定定义义法法”需需要要经经过过“取取点点求求距距离离求比值求比值”等步骤，对应关系等步骤，对应关系不够简洁不够简洁；“比值比值”作为三角函数值，其作为三角函数值，其意义不够清晰意义不够清晰；任任意意一一个个角角所所对对应应的的比比值值的的唯唯一一性性（即即与与点点的的选取无关）需要证明。选取无关）需要证明。单位圆定义法：单位圆定义法：一一是是简简单单、清清楚楚、易易掌掌握握。坐坐标标（coscos，sinsin）是是单单位位圆圆上上点点的的动动态态描描述述，正正、余余弦弦函函数的基本性质就是数的基本性质就是圆的几何性
48、质的解析表述圆的几何性质的解析表述。二二是是突突出出三三角角函函数数最最重重要要的的性性质质周周期期性性。单单位圆上点的坐标随角位圆上点的坐标随角每隔每隔22而重复出现而重复出现 。三三是是单单位位圆圆中中的的三三角角函函数数线线与与定定义义有有了了直直接接联联系系，从从而而便便于于采采用用“数数形形结结合合”的的思思想想，研研究究三三角角函函数数的的定定义义域域、值值域域、同同角角三三角角函函数数的的基基本关系式等系列知识。本关系式等系列知识。为何不用一般的圆周？为何不用一般的圆周？单位圆周上运动点的单位圆周上运动点的位置模型位置模型： 非非单单位位圆圆周周，则则是是比比值值与与角角的的模模
49、型型，而而仅仅仅仅比比值值无无法法确确定定位位置置；角角确确定定了了比比值值，半半径径1 1进进一一步步确定了位置确定了位置；用用单单位位圆圆周周，半半径径为为1 1，则则可可直直接接建建立立点点的的横横纵纵坐标、纵坐标与角的函数关系。坐标、纵坐标与角的函数关系。柯柯朗朗: :定定义义三三角角函函数数的的最最好好方方式式是是利利用用直直角角坐坐标标系系中中的的单位圆。单位圆。（5 5）一种可考虑的教学思路）一种可考虑的教学思路问问题题提提出出：函函数数是是描描述述客客观观世世界界运运动动变变化化规规律律的的数数学学模模型型如如何何建建立立圆圆周周运运动动的的数数学学模模型型如何建立单位圆周运动
50、的数学模型。如何建立单位圆周运动的数学模型。“任任意意角角的的终终边边OPOP圆圆周周上上的的点点PP单单位位圆圆上点的横、纵坐标上点的横、纵坐标x x，y y”：正正弦弦函函数数：任任意意角角的的终终边边OPOP与与单单位位圆圆交交点点P P的纵坐标的纵坐标y y; ;余余弦弦函函数数：任任意意角角的的终终边边OPOP与与单单位位圆圆交交点点P P的横坐标的横坐标x x。回回忆忆以以直直角角三三角角形形边边的的比比值值定定义义的的锐锐角角的的三三角函数；角函数；把把这这个个锐锐角角放放在在直直角角坐坐标标系系中中，让让学学生生用用角角的的终边上点的坐标表示锐角终边上点的坐标表示锐角的三角函数
51、；的三角函数；由由相相似似三三角角形形的的知知识识，理理解解三三角角函函数数值值只只与与的的大大小小有有关关，与与点点在在终终边边上上的的位位置置无无关关，因因而而用用单位圆上点的坐标表示锐角单位圆上点的坐标表示锐角的三角函数；的三角函数；最最后后推推广广为为用用单单位位圆圆上上点点的的坐坐标标表表示示任任意意角角的的三角函数。三角函数。九、讲解与探究的关系九、讲解与探究的关系教教得得多多并并不不意意味味着着学学得得也也多多, ,有有时时教教得得少少反反而而学学得多。得多。（马明）（马明）在在一一定定意意义义上上说说，没没有有一一个个教教师师能能够够教教数数学学；好好的的教教师师不不是是在在教
52、教数数学学，而而是是能能激激发发学学生生自自己己去去学学数学。数学。（人人关心数学教育的未来（人人关心数学教育的未来 ）教教学学重重要要的的是是听听，学学习习重重要要的的是是说说；教教师师讲讲的的与与听的应该一样多。听的应该一样多。德国教育家第斯多惠德国教育家第斯多惠: :教学的艺术不在于传授本领，而在善于激励唤醒教学的艺术不在于传授本领，而在善于激励唤醒和鼓舞。和鼓舞。一个坏的教师奉送真理，一个好的教师则教人发一个坏的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理。现真理。凡是能够引起学生的思想、工作和智力上的最具凡是能够引起学生的思想、工作和智力上的最具精神的方法，是最好的方法。精神的方法，是最
53、好的方法。 u意义建构与教学方式不存在必然联系！意义建构与教学方式不存在必然联系！u教学具有一定的不可借鉴性！教学具有一定的不可借鉴性！u教学无模式是教学的最高境界！教学无模式是教学的最高境界！u理想与现实：从发现学习到有意义的接受学习。理想与现实：从发现学习到有意义的接受学习。u从完全讲解，到启发性的教，探究性的学。从完全讲解，到启发性的教，探究性的学。u从听会、看会，到真正意义上的学会！从听会、看会，到真正意义上的学会！u案例：案例：直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量案例：案例：“老师，我忘了老师，我忘了”一天，一位学生来问问题。一天，一位学生来问问题。生：老师，你今
54、天上课讲的用导数方法求函数的生：老师，你今天上课讲的用导数方法求函数的极值，我还是不明白。极值，我还是不明白。师：哪里不明白？师：哪里不明白？ 生：我都不太明白。生：我都不太明白。( (老师给学生详细讲解了求解的方法与过程老师给学生详细讲解了求解的方法与过程) )师：现在你明白了吗？师：现在你明白了吗？生：明白了。生：明白了。几天之后，这位同学又来问问题了。几天之后，这位同学又来问问题了。生：老师，这道求函数极值题，我还是不会做。生：老师，这道求函数极值题，我还是不会做。师师：前前几几天天我我不不是是给给你你讲讲过过这这样样的的问问题题了了吗吗？你你看，首先要看，首先要，接下来，接下来。（学生
55、又在老师指导下，求出了函数的极值。）（学生又在老师指导下，求出了函数的极值。）一一个个星星期期后后进进行行数数学学单单元元测测验验，考考了了类类似似的的求求极极值值的的问问题题，可可这这位位同同学学又又做做错错了了。我我找找到到她她，问问：“这这道道题题我我不不是是给给你你讲讲过过了了吗吗？怎怎么么考考试试又又做做错错了了？”她她不不好好意意思思地地说说：“老老师师，对对不不起起，我我忘忘了。了。”启发是教师教学的启发是教师教学的基本功基本功。论论语语子子罕罕: :“吾吾有有知知乎乎哉哉？无无知知也也。有有鄙鄙夫问于我，空空如也。我叩其两端而竭焉。夫问于我，空空如也。我叩其两端而竭焉。”苏苏格
56、格拉拉底底：他他从从来来都都没没有有教教给给别别人人什什么么，他他只只不不过过是是象象一一个个灵灵魂魂的的接接生生婆婆那那样样，帮帮助助人人们们产产生生自自己的思想、观点。己的思想、观点。u二重启发原理二重启发原理u启发的适度性策略启发的适度性策略u启发的适时性策略启发的适时性策略对对于于不不委委婉婉、不不含含蓄蓄性性提提问问的的坏坏处处，著著名名数数学学家家波利亚波利亚用典型例子，深入浅出地做了详细剖析。用典型例子，深入浅出地做了详细剖析。案案例例：“你你能能不不能能应应用用勾勾股股定定理理啊啊？”当当教教师师这这样进行提问时，对学生的帮助就是太多了。样进行提问时，对学生的帮助就是太多了。它
57、有以下几点坏处：它有以下几点坏处：a a. .如如果果学学生生已已经经接接近近于于问问题题的的解解答答，他他当当然然明明白白这这一一提提问问所所包包含含的的启启示示意意义义，可可是是他他已已不不需需要要这这项项帮帮助助了了。反反之之，一一个个学学生生离离问问题题解解决决还还远远得得很很, ,他他就就很很可可能能完完全全不不明明白白这这一一提提问问的的作作用用。因因此此这这一提问并不能帮助那些急需帮助的学生。一提问并不能帮助那些急需帮助的学生。b b. .如如果果这这一一提提问问的的启启示示意意义义是是被被了了解解了了，那那么么，它它把把所所有有的的奥奥秘秘都都显显露露出出来来，几几乎乎没没有有
58、留留下下什什么么可给学生做了。可给学生做了。c c. .这这一一提提问问的的启启示示意意义义太太狭狭隘隘，即即使使学学生生能能应应用用它它来来解解决决这这个个题题目目，但但对对以以后后碰碰到到的的题题目目，他他们们根本没学到什么，这一提问太不具有启发性了。根本没学到什么，这一提问太不具有启发性了。d. 就就算算学学生生懂懂得得这这提提问问的的作作用用，可可是是他他很很难难体体会会到到教教师师凭凭什什么么会会想想到到它它的的，学学生生本本人人怎怎样样才才能能够够独独立立地地想想到到它它的的。看看起起来来这这提提问问太太不不自自然然了了，这这就就像像从从一一顶顶帽帽子子里里抓抓出出一一只只兔兔子子
59、的的戏戏法法一一样样令令人人感到意外，它根本就不具有什么启发性。感到意外，它根本就不具有什么启发性。1.敏锐捕捉有价值的研究课题敏锐捕捉有价值的研究课题案案例例：“已已知知 ， ， 求求 ”。( (邱邱云云，李李祎祎. .一一个个解解题题错错误误的的调调查查分分析析与与研研究究, ,中中学数学教学参考学数学教学参考，20092009年第年第1 1期期) ) 理论分析视角：理论分析视角：（1）迁移理论；（）迁移理论；（2）形式与实质；）形式与实质； （3）反思教学理论。）反思教学理论。选题策略：选题策略：求实求实，求小求小，求新求新，求趣，求熟，求趣，求熟 十、教学与研究的关系十、教学与研究的关
60、系2.2.寻求更多的评课和研课视角寻求更多的评课和研课视角（1 1）常规评课视角）常规评课视角教学的目标与效果；教学的目标与效果；教学的内容与处理；教学的内容与处理；教学的重点与难点；教学的重点与难点；教学的过程与结构；教学的过程与结构；教学的方法与策略。教学的方法与策略。（2 2）教学理论视角）教学理论视角建构性数学教学思想建构性数学教学思想理解性数学教学思想理解性数学教学思想过程性数学教学思想过程性数学教学思想启发式数学教学思想启发式数学教学思想问题式数学教学思想问题式数学教学思想情境式数学教学思想情境式数学教学思想主体性数学教学思想主体性数学教学思想生成性数学教学思想生成性数学教学思想（
61、3 3）学科理论视角）学科理论视角数学概念本质的揭示水平数学概念本质的揭示水平数学命题实质的理解水平数学命题实质的理解水平数学思想实质的领悟水平数学思想实质的领悟水平数学过程形态的展现水平数学过程形态的展现水平数学试题价值的负载水平数学试题价值的负载水平数学知识结构的把握水平数学知识结构的把握水平本本书书内内容容是是作作者者着着眼眼于于数数学学理理解解,对对数数学学进进行行自自觉觉“追追问问”和和反反思思所所取取得得的的成成果果，目目的的在在于于澄澄清清数数学学中中的的模模糊糊认认识识,揭揭示示数数学学的的来来龙龙去去脉脉，洞洞察察数数学学知知识识的的本本质质,帮帮助助人人们们更更好好地地认认识识数数学学和和理理解解数数学学，以以克克服服和和解解决数学教学中存在的决数学教学中存在的“会而不懂会而不懂”现象。现象。全全书书内内容容分分别别从从微微观观和和宏宏观观两两个个层层面面展展开开。微微观观层层面面依依内内容容和和学学段段的的不不同同，分分为为“小小学学数数学学篇篇”、“初初中中数数学学篇篇”和和“高高中中数数学学篇篇”。宏宏观观层层面面着着眼眼于于内内在在联联系系和和学学科科整整体体，由由“学学科科视视野野篇篇”和和“思思想想方方法法篇篇”两部分构成。两部分构成。谢谢！谢谢！欢迎交流！欢迎交流！电话：电话：1345919242913459192429邮箱：邮箱：
