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1、1.3 条件概率与贝叶斯公式条件概率与贝叶斯公式一、条件概率与乘法公式一、条件概率与乘法公式二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式条件概率条件概率 Conditional Probabilityn抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数A=A=出现的点数是奇数出现的点数是奇数 1,3,51,3,5B=B=出现的点数不超过出现的点数不超过331,2,31,2,3 若已知出现的点数不超过若已知出现的点数不超过3 3，求出现的点数是奇，求出现的点数是奇数的概率数的概率 即事件即事件B B已发生，求事件已发生，求事件A A的概率的概率( (| |) )A AB B都发生
2、，但样本空间缩都发生，但样本空间缩小到只包含的样本点小到只包含的样本点 设设,为同一个随机试验中的两个随机事件为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且且()， 则称则称为在事件发生的条件下，事件发生的为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率条件概率 n定义定义条件概率条件概率 Conditional ProbabilitySample space Reduced sample space given event B条件概率条件概率 P(A|B)的样本空间的样本空间概率概率 P(A|B)与与P(AB)的区别与联系的区别与联系联系：事件联系：事件A，B都发生了都发生了 区别：区别： （1）在）在P
3、(A|B)中，事件中，事件A，B发生有时间上的差异，发生有时间上的差异，B先先A后；在后；在P(AB)中，事件中，事件A，B同时发生。同时发生。（2）样本空间不同，在）样本空间不同，在P(A|B)中，事件中，事件B成为样本成为样本空间；在空间；在P(AB)中，样本空间仍为中，样本空间仍为 。因而有因而有 例例 设设 100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，件一等品，25 件二等品，件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取规定一、二等品为合格品从中任取1 件，求件，求 (1) 取得取得一等品的概率；一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等已知取得的是合格品，求它是一等品的概率品
4、的概率 解解设表示取得一等品，表示取得合格品，则设表示取得一等品，表示取得合格品，则 （1）因为因为100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，所以件一等品，所以 （2）方法方法1：方法方法2： 因为因为95 件合格品中有件合格品中有 70 件一等品，所以件一等品，所以三张卡片的游戏三张卡片的游戏假设老师的手里的三张卡片是不同的假设老师的手里的三张卡片是不同的 现在把卡片放在包里摇晃一番，让你随意地抽出一现在把卡片放在包里摇晃一番，让你随意地抽出一张来，放在桌子上，这时候，卡片的一面就露了出张来，放在桌子上，这时候，卡片的一面就露了出来，是黑点或者是圆圈。假定露出的是个圆圈，要来，是黑点或者
5、是圆圈。假定露出的是个圆圈，要与你赌这张卡片的背面是什么？是黑点，还是圆圈。与你赌这张卡片的背面是什么？是黑点，还是圆圈。我赌的是正反面一样，都是圆圈，那你只能赌黑点我赌的是正反面一样，都是圆圈，那你只能赌黑点了。了。你觉得这个游戏公平吗你觉得这个游戏公平吗?很明显这张卡片不可能是黑点很明显这张卡片不可能是黑点-黑点卡，因此，它黑点卡，因此，它要么是圆圈要么是圆圈-圆圈卡，要么是黑点圆圈卡，要么是黑点-圆圈卡，二者圆圈卡，二者必居其一，这样一来，这张卡片的背面不是黑点，必居其一，这样一来，这张卡片的背面不是黑点，就是圆圈，所以赌什么都一样，全是公平的，你和就是圆圈，所以赌什么都一样，全是公平的
6、，你和我赢的机会均等，都是。我赢的机会均等，都是。让我们看看问题出在哪里？让我们看看问题出在哪里？ 我千方百计要你相信的是，同样可能发生的情况只有两我千方百计要你相信的是，同样可能发生的情况只有两种。然而事实是，同样可能发生的情况有三种种。然而事实是，同样可能发生的情况有三种 在这里你一定要把正反面区分开来看，将正面朝上视为在这里你一定要把正反面区分开来看，将正面朝上视为一种情况，将反面朝上看成另一种情况。三张卡片随意一种情况，将反面朝上看成另一种情况。三张卡片随意抽一张放在桌子上，同样可能发生的情况有六种：抽一张放在桌子上，同样可能发生的情况有六种：1.黑点黑点-黑点卡的正面；黑点卡的正面；
7、2.黑点黑点-黑点卡的反面；黑点卡的反面；3.圆圈圆圈-黑点卡的正面；黑点卡的正面；4.圆圈圆圈-黑点卡的反面；黑点卡的反面；5.圆圈圆圈-圆圈卡的正面；圆圈卡的正面；6.圆圈圆圈-圆圈卡的反面。圆圈卡的反面。 因此，如果抽出的卡片放在桌子上，露出了圆圈，它所因此，如果抽出的卡片放在桌子上，露出了圆圈，它所代表的情况可能是：代表的情况可能是：圆圈圆圈-黑点卡的正面；圆圈黑点卡的正面；圆圈-圆圈卡的正面；圆圈圆圈卡的正面；圆圈-圆圆圈卡的反面。圈卡的反面。 在这三种情况中，在这三种情况中，“正反面一样正反面一样”的情况占了两种，因的情况占了两种，因此，在玩了多次以后，庄家就会三回里赢两回，你的钱
8、此，在玩了多次以后，庄家就会三回里赢两回，你的钱很快就会流入他的腰包里，这可以算是智力诈骗吧。很快就会流入他的腰包里，这可以算是智力诈骗吧。 例例 考虑恰有两个小孩的家庭考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩，若已知某一家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率.（假定生男生女为等可能）（假定生男生女为等可能） = (男男, 男男) , (男男 , 女女) , (女女 , 男男) , (女女 , 女女) 解解于是得于是得 =(男男, 男
9、男) , (男男 , 女女) 则则 =(男男, 男男) , (男男 , 女女) , (女女 , 男男) =(男男, 男男) ，设设= “有男孩有男孩” ，=“第一个是男孩第一个是男孩” = “有两个男孩有两个男孩” ，故两个条件概率为故两个条件概率为乘法法则乘法法则 n推广一批产品中有一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占的次品，而合格品中一等品占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率率 设表示取到的产品是一等品，表示取出的设表示取到的产品是一等品，表示取出的产品是合格品，产品是合格品， 则则 于是于是 所以所以 解解解解 一
10、个盒子中有只白球、只黑球，从中不放一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求回地每次任取只，连取次，求 (1) 第一次取得第一次取得白球的概率；白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率第一、第二次都取得白球的概率; (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率第一次取得黑球而第二次取得白球的概率设表示第一次取得白球设表示第一次取得白球, 表示第二次取得白表示第二次取得白球球, 则则 （2） （3） （1） 全年级全年级100名学生中，有男生（以事件名学生中，有男生（以事件A表示）表示）80人，女生人，女生20人；人； 来自北京的（以事件来自北京的（以事件B表示）表
11、示）有有20人，其中男生人，其中男生12人，女生人，女生8人；免修英语人；免修英语的（以事件的（以事件C表示）表示）40人中，有人中，有32名男生，名男生，8名名女生。求女生。求 某种动物出生之后活到某种动物出生之后活到20岁的概率为岁的概率为0.7，活，活到到25岁的概率为岁的概率为0.56，求现年为，求现年为20岁的这种动岁的这种动物活到物活到25岁的概率。岁的概率。解解 设设A表示表示“活到活到20岁岁”，B表示表示“活到活到25岁岁”则则 所求概率为所求概率为 解解一、全概率公式一、全概率公式 因为因为B=AB ，且，且AB与与互不相容，互不相容， 0.6 一个盒子中有只白球、只黑球，
12、从中不放回一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求第二次取到白球地每次任取只，连取次，求第二次取到白球的概率的概率例例A=A=第一次取到白球第一次取到白球,B=,B=第二次取到白球第二次取到白球 所以所以全概率公式全概率公式 设设1 ,2 , . ,n 构成一个完备事件组，且构成一个完备事件组，且(i )0,i1, 2, . , n，则对任一随机事件，有，则对任一随机事件，有 全概率公式全概率公式例例 设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占个等级的种子，分别各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，三等
13、，四等种子长出的穗含用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上颗以上麦粒的概率分别为麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子，求这批种子所结的穗含有所结的穗含有50颗以上麦粒的概率颗以上麦粒的概率 解解 设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是四等种子的事件分别是1,2,3,4，则它们构成，则它们构成完备事件组，又设表示任选一颗种子所结的穗含完备事件组，又设表示任选一颗种子所结的穗含有有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式： 95.50.520.151.50.110
14、.05 0.4825 贝叶斯公式贝叶斯公式 Bayes Theoremn后验概率后验概率 设设A1，A2，, An构成完备事件组，且诸构成完备事件组，且诸P(Ai)0,B为样本空间的任意事件，为样本空间的任意事件，P(B) 0 , 则有则有( k =1 , 2 , , n)证明证明 贝叶斯公式贝叶斯公式 Bayes Theorem例例 设某工厂有甲乙丙三个车间生产同一种产品设某工厂有甲乙丙三个车间生产同一种产品,已知已知各车间的产量分别占全厂产量的各车间的产量分别占全厂产量的25 %,35%, 40%,而且而且各车间的次品率依次为各车间的次品率依次为 5% ,4%,2%. 现从待出厂的产现从待
15、出厂的产品中检查出一个次品品中检查出一个次品,试判断它是由甲车间生产的概率试判断它是由甲车间生产的概率.解解 设设1,2,3 分别表示产品由甲乙丙车间生产分别表示产品由甲乙丙车间生产,表示产品为次品表示产品为次品. 显然显然,1,2,3构成完备事件组构成完备事件组. 依依题意题意,有有 (1) 25% , (2)= 35% , (3) 40%,(|1) 5% , (|2)4% , (|3) 2%(1|) 甲箱中有甲箱中有3个白球，个白球，2个黑球，乙箱中有个黑球，乙箱中有1个白个白球，球，3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中
16、取中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是多少？出白球的概率是多少？解解设设B=“从乙箱中取出白球从乙箱中取出白球”，A=“从甲箱中取出白球从甲箱中取出白球”，利用全概率公式利用全概率公式利用全概率公式利用全概率公式利用全概率公式利用全概率公式 爱滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是爱滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是否携带爱滋病病毒否携带爱滋病病毒. .设这种试验的设这种试验的假阴性假阴性比例为比例为5%5%( (即在携带病毒的人中，有即在携带病毒的人中，有5%5%的试验结果为阴性的试验结果为阴性) )，假阳性假阳性比例为比例为1%(1%(即在不携带病毒的人中，有即在不
17、携带病毒的人中，有1%1%的的试验结果为阳性试验结果为阳性).).据统计人群中携带病毒者约占据统计人群中携带病毒者约占11，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该人携，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该人携带爱滋病毒的概率带爱滋病毒的概率. .n 讨论讨论符号引入：符号引入：“携带病毒携带病毒”为为A，“实验呈阳性实验呈阳性”为为B，则，则 求求 已知在所有男子中有已知在所有男子中有5%，在所有女子中有，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。女子的人数相等）。解：设解：设A=“男子男子”，B =“女子女子” C=“这人有色盲这人有色盲”
