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1、以数学的视角感受美以数学的视角感受美 1 找黄金分割点和判断一个点是找黄金分割点和判断一个点是否是线段的黄金分割点。否是线段的黄金分割点。重点重点: : 了解黄金分割的意义并会运用。了解黄金分割的意义并会运用。难点难点: :教学目标教学目标: :3.3.通过建筑、艺术上的实例了解黄通过建筑、艺术上的实例了解黄 金分割，体会其中的文化价值。金分割，体会其中的文化价值。2.2.在实际操作过程中增强学生的实在实际操作过程中增强学生的实 践意识和自信心。践意识和自信心。1.1.什么是黄金分割和黄金矩形，如什么是黄金分割和黄金矩形，如 何去确定黄金分割点或黄金比。何去确定黄金分割点或黄金比。2 你觉得哪
2、张照片的构图你觉得哪张照片的构图最合理？更能体现小松鼠最合理？更能体现小松鼠若有所思的在凝视前方？若有所思的在凝视前方？摄影作品之美摄影作品之美一发现美一发现美345古巴古巴越南越南土耳其土耳其苏里南苏里南智利智利中国中国6(1)测量五角星上测量五角星上C点到点到A、B点的距离。点的距离。ABC(2)(2)请你再计算一下请你再计算一下 的值分别是的值分别是多少多少? ? 它们相等吗？它们相等吗？( (保留一位有效数字）保留一位有效数字）ACBCACAB和和(3)(3)结合图形观察比例式结合图形观察比例式 有什么特点？有什么特点？ACBCACAB=二探索美二探索美7 如图如图, ,点点 C C
3、把线段把线段 ABAB 分成分成两条线段两条线段 ACAC 和和 BCBC , ,那么称线段那么称线段 AB AB 被点被点 C C 黄金分割黄金分割(goldensection)(goldensection)，点，点 C C 叫叫做线段做线段 AB AB 的黄金分割点的黄金分割点, AC , AC 与与 AB AB 的比叫做黄金比。的比叫做黄金比。ABCACACACACABABBCBC= =如果如果: 15 1 2 0.618 : 1ACABACBC=ACAC2 2= =ABAB BCBC8如图如图, ,点点 C C 把线段把线段 AB AB 分成两条线段分成两条线段 AC AC 和和 BC
4、 ,BC ,那么称线段那么称线段 AB AB 被点被点 C C 黄金分割黄金分割( (golden golden section),section),点点 C C 叫做线段叫做线段 AB AB 的黄金分割的黄金分割点点, , AC AC 与与 AB AB 的比叫做的比叫做黄金比黄金比. .CAB如果如果ACABACBC=()9如图如图, ,点点 C C 把线段把线段 AB AB 分成两条线段分成两条线段 AC AC 和和 BC ,BC ,如果如果ACABACBC=那么称线段那么称线段 AB AB 被点被点 C C 黄金分割黄金分割( (golden sectiongolden section)
5、 ), ,点点 C C 叫做叫做线段线段 AB AB 的的黄金分割点黄金分割点, ,AC AC 与与 AB AB 的比叫做的比叫做黄金比黄金比. .CABA AC C B B: 15 1 2 0.618 : 1ACABACBC=ACABACBC=AC2=AB BC101.1.线段线段AB AB 有没有除点有没有除点C C 以外的黄金分割点呢？以外的黄金分割点呢？3.3.你还发现了什么？你还发现了什么？GHPACBDEFQ2.2.点点D D 应满足怎样的条件？应满足怎样的条件？想一想想一想: :ABCDABAB 被点被点 D D 黄金分割，则黄金分割，则BDBDABAD=.11方法总结方法总结
6、: :黄金比黄金比=较长线段较长线段=原线段原线段较短线段较短线段=原线段一较长线段原线段一较长线段 =较长线段较长线段12如图如图, ,点点P P是线段是线段MNMN的黄金分割点的黄金分割点(MP(MPNP),NP),(1)(1)可得比例式可得比例式 ( (2)2)若若MN=1,MN=1,则则MP_,NP_.MP_,NP_.( (3)3)若若MN=5,MN=5,则则MP_,NP_.MP_,NP_.N NM MP P0.6180.6180.3820.3823.093.091.911.91 幸运闯关幸运闯关( (4)4)若若MN=a,MN=a,则则MP_,NP_.MP_,NP_.0.618a0.
7、618a0.382a0.382a13例:已知线段AB=6cm,点P为线段AB的黄金分割点, 求线段AP的长.分析:分两种情况 (1)AP PB (2)AP PB14如图，乐器上的一根弦如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点，两个端点 A，B固定在乐器板面上，支撑点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点是靠近点B的黄的黄金分割点金分割点,点点D是靠近点是靠近点A的黄金分割点。试确定支的黄金分割点。试确定支撑点撑点C到端点到端点B的距离以及支撑点的距离以及支撑点D到端点到端点A的距离。的距离。ABCDCABD15如图如图, ,已知线段已知线段AB,DBABAB,DBAB于于B,B,在在DADA上
8、截取上截取DE=DB,DE=DB,在在ABAB上截取上截取AC=AE,AC=AE,E EA AB BD DC C(1)(1)若若AB=2,BD=1,AB=2,BD=1,则则AD=_,AC=_,AD=_,AC=_,则则C C是线段是线段ABAB的的_点点. .黄金分割黄金分割(2)(2)若若AB=2a,BD=aAB=2a,BD=a 则则C C点呢点呢? ?E EA AB BD DC C三三创造美创造美若若 则则C C即为即为ABAB的黄金分割点的黄金分割点. .16用尺规作图找出黄金分割点用尺规作图找出黄金分割点1 1、经过点、经过点B B作作 BDAB,BDAB, 2 2、连接、连接AD,AD
9、, 在在DADA上截取上截取 DE=DBDE=DB . .3 3、在、在ABAB上截取上截取 AC=AE.AC=AE.作法作法:如图如图, ,已知线段已知线段ABAB, , 求作其黄金分割点求作其黄金分割点.点点C C即为线段即为线段ABAB的黄金分割点的黄金分割点. .ABDEC17异异 曲曲 同同 工工如图，设如图，设ABAB是已知线段，在是已知线段，在ABAB上作正方形上作正方形ABCDABCD；取；取ADAD的的中点中点E E，连接，连接EBEB；延长；延长DADA至至F F，使，使EF=EBEF=EB；以线段；以线段AFAF为边作为边作正方形正方形AFGHAFGH。点。点H H就是就
10、是ABAB的黄的黄金分割点。金分割点。如下方法也可以得到黄金分如下方法也可以得到黄金分割点？割点？18 这是古希腊的巴台农神庙，这是古希腊的巴台农神庙，如果把图中用蓝线表示的矩如果把图中用蓝线表示的矩形画成矩形形画成矩形ABCDABCD，并以矩形，并以矩形ABCDABCD的宽为边在内部作正方的宽为边在内部作正方形形AEFDAEFD，那么我们可以惊奇，那么我们可以惊奇地发现地发现1.1.点点E E是是ABAB的的黄金分割点黄金分割点吗吗? ?2.2.矩形矩形ABCDABCD宽与长的比是宽与长的比是黄金比黄金比吗吗? ? 四四 应用美应用美 D D ABEFC199/4/2024A E BA E
11、BD F CD F C因此，点因此，点E E是是ABAB的黄金分割点，的黄金分割点，是黄金比是黄金比即宽与长的比是黄金比即宽与长的比是黄金比, ,这样的矩形称之这样的矩形称之为为黄金矩形。黄金矩形。BC=AEBC=AE推证推证1.1.点点E E是是ABAB的的黄金分割点黄金分割点吗吗? ?2.2.矩形矩形ABCDABCD宽与长的比是宽与长的比是黄金比黄金比吗吗? ?20证黄金分割点即证证黄金分割点即证方法总结方法总结 : :21 这幅这幅蒙娜丽莎的蒙娜丽莎的微笑微笑给了数以亿万计的给了数以亿万计的人们美的艺术享受，备受人们美的艺术享受，备受推崇。意大利画家达芬奇推崇。意大利画家达芬奇在创作中大
12、量运用了黄金在创作中大量运用了黄金矩形来构图。整个画面使矩形来构图。整个画面使人觉得和谐自然，优雅安人觉得和谐自然，优雅安宁。宁。找一找：画中有几个找一找：画中有几个黄金矩形？黄金矩形？黄金矩形的“迷人面容”-蒙娜丽莎的微笑。五五 欣赏美欣赏美22图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618叶子中的黄金分割叶子中的黄金分割230.618随处可见!美丽的蝴蝶美丽的蝴蝶24468m468m289.2m上海东方明珠电视塔高上海东方明珠电视塔高468m,上球体到塔底的上球体到塔底的距离约为距离约为289.2m, 289.2与与468的比值的比值0.618是一是一个神奇的数字个神奇的数字,这个塔的
13、这个塔的设计精巧设计精巧,外型匀称、漂外型匀称、漂亮、美观、大方亮、美观、大方.上海东方明珠塔上海东方明珠塔25六留住美六留住美1.一条线段，一个矩形一条线段，一个矩形2.两个分点，两个数字两个分点，两个数字3.三个等量，三步作出线段的黄金分三个等量，三步作出线段的黄金分割点割点4. .美中有数学，数学中有美美中有数学，数学中有美谈谈你对黄金分割的收获与体会。谈谈你对黄金分割的收获与体会。26 科学研究表明科学研究表明, ,当人的下肢长与身高当人的下肢长与身高之比为之比为0.6180.618时时, ,看起来最美看起来最美. .某成年女某成年女士身高为士身高为153cm,153cm,下肢长为下肢
14、长为92cm,92cm,她的高她的高跟鞋鞋跟最佳高度约为跟鞋鞋跟最佳高度约为_cm(_cm(结果结果精确到精确到0.1cm).0.1cm).七 延伸美27谢 谢 大 家!28黄金分割的事例黄金分割的事例黄金比在建筑、摄影、美术上的应用黄金比在建筑、摄影、美术上的应用黄金比在自然界中的发现黄金比在自然界中的发现人体的黄金比人体的黄金比0.618优选法优选法黄金比在军事上的应用黄金比在军事上的应用29图中主叶脉与叶图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长柄和主叶脉的长度之和比约为度之和比约为0.6180.618叶子中的黄金分割叶子中的黄金分割30植物的神秘数字植物的神秘数字 大自然里一些花草长出的枝条也大自然
15、里一些花草长出的枝条也会出现斐波那契数，有一种叫着会出现斐波那契数，有一种叫着“喷喷嚏麦嚏麦”（SneezewortSneezewort的直译，可能会的直译，可能会像鲁迅指出的闹像鲁迅指出的闹“牛奶路牛奶路”MikywayMikyway的笑话，希望懂植物学的读者赐以正的笑话，希望懂植物学的读者赐以正确的中文名）的花草，新的一枝从叶确的中文名）的花草，新的一枝从叶腋长出，而另外的新枝又从旧枝长出腋长出，而另外的新枝又从旧枝长出来，老枝条和新枝条的数目的和就像来，老枝条和新枝条的数目的和就像那兔子问题一样。那兔子问题一样。 31植物的神秘数字植物的神秘数字 在中国，梅花有着类似的象征意义。民间在中
16、国，梅花有着类似的象征意义。民间传说梅花五瓣代表着五福。民国把梅花定为国传说梅花五瓣代表着五福。民国把梅花定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和，具有敦五伦、花，声称梅花五瓣象征五族共和，具有敦五伦、重五常、敷五教的意义。但是梅花有五枚花瓣重五常、敷五教的意义。但是梅花有五枚花瓣并非独特并非独特. .事实上，花最常见的花瓣数目就是事实上，花最常见的花瓣数目就是五枚，例如与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、五枚，例如与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。李、樱花、杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。常见的花瓣数还有：常见的花瓣数还有：3 3枚，鸢尾花、百合花枚，鸢尾花、百合花
17、( (看看上去上去6 6枚，实际上是两套枚，实际上是两套3 3枚枚) )；8 8枚，飞燕草；枚，飞燕草；1313枚，瓜叶菊；向日葵的花瓣有的是枚，瓜叶菊；向日葵的花瓣有的是2121枚，有枚，有的是的是3434枚；雏菊的花瓣有的是枚；雏菊的花瓣有的是3434、5555或或8989枚。枚。而其他数目花瓣的花则很少。而其他数目花瓣的花则很少。 32植物的神秘数字植物的神秘数字33计算机绘制的斐波纳契螺旋计算机绘制的斐波纳契螺旋34生命的神秘数字生命的神秘数字35动物界的神秘数字动物界的神秘数字36人体的黄金分割点人体的黄金分割点37面部的黄金分割面部的黄金分割38维纳斯的标准体型维纳斯的标准体型 芭
18、蕾演员虽然身材修芭蕾演员虽然身材修长，但其腰长与身高之比平长，但其腰长与身高之比平均约为均约为0.580.58，只有在翩翩起，只有在翩翩起舞时、踮起脚尖，方能展现舞时、踮起脚尖，方能展现0.6180.618的魅力。的魅力。 39人与黄金分割人与黄金分割 人人体体肚肚脐脐不不但但是是黄黄金金点点美美化化身身型型，有有时时还还是是医医疗疗效效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。 人人体体最最感感舒舒适适的的温温度度是是23(23(体体温温) )，也也是是正正常常人人体体温温（3737）的的黄黄金金点点（23=3723=370.6180
19、.618）。这这说说明明医医学学与与0.6180.618有千丝万缕联系有千丝万缕联系, ,尚待开拓研究。尚待开拓研究。 人人体体还还有有几几个个黄黄金金点点：肚肚脐脐上上部部分分的的黄黄金金点点在在咽咽喉喉，肚肚脐脐以以下下部部分分的的黄黄金金点点在在膝膝盖盖，上上肢肢的的黄黄金金点点在在肘肘关关节节。上肢与下肢长度之比均近似上肢与下肢长度之比均近似0.618.0.618.409/4/2024健康的黄金分割率健康的黄金分割率 气温在人体正常体温的黄气温在人体正常体温的黄金分割点上金分割点上2323左右时，恰是左右时，恰是人的身心最适度的温度；医学人的身心最适度的温度；医学专家也观察到，当人的脑
20、电波专家也观察到，当人的脑电波频率下限是频率下限是8 8赫兹，而上限是赫兹，而上限是12.912.9赫兹，上下限的比率接近赫兹，上下限的比率接近于于0.6180.618时，乃是身心最具快时，乃是身心最具快乐欢愉之感的时刻。正常人的乐欢愉之感的时刻。正常人的心跳在心电图上也显示出心跳在心电图上也显示出T T波波出现的位置恰好大约是一次心出现的位置恰好大约是一次心跳节拍的跳节拍的“黄金分割黄金分割”位置上位置上（如图）。（如图）。41生命的黄金分割生命的黄金分割 最有意味的是，在人的生命最有意味的是，在人的生命程序程序DNADNA分子中，也包含着分子中，也包含着“黄黄金分割比金分割比”。它的每个双
21、螺旋。它的每个双螺旋结构中都是由长结构中都是由长3434个埃与宽个埃与宽2121个埃之比组成的，当然个埃之比组成的，当然3434和和2121是斐波那契系列中的数字，它是斐波那契系列中的数字，它们的比率为们的比率为1.61904761.6190476，非常接，非常接近黄金分割的近黄金分割的1.61803391.6180339。 这是否说明黄金分割律是比这是否说明黄金分割律是比DNADNA中的遗传密码更基本中的遗传密码更基本东西？因为承载东西？因为承载DNADNA的结构的结构双螺旋结构双螺旋结构也遵循黄也遵循黄金分割律。黄金分割律也许是我们的宇宙的金分割律。黄金分割律也许是我们的宇宙的DNADNA
22、中的遗传中的遗传密码？密码？42建筑中的神秘数字建筑中的神秘数字知道这是些什么地方吗？知道这是些什么地方吗？古希腊的巴特农神殿，塔高与工古希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅高之比为作厅高之比为3405530.6153405530.61543建筑中的神秘数字建筑中的神秘数字知道这是什么地方吗？知道这是什么地方吗？ 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。高高（137137米）与底边长（米）与底边长（227227米）之比为米）之比为0.629,0.629,但这些金字塔但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于底面的边长与高这比都接近于0.618.0.618.44
23、建筑中的神秘数字建筑中的神秘数字知道这是些什么地方吗？知道这是些什么地方吗？45绘画艺术中的黄金分割绘画艺术中的黄金分割黄金矩形的黄金矩形的“迷人面容迷人面容” -蒙娜丽莎的微笑。蒙娜丽莎的微笑。 这幅这幅蒙娜丽莎的微笑蒙娜丽莎的微笑给给了数以亿万计的人们美的艺术享了数以亿万计的人们美的艺术享受，备受推崇。意大利画家达芬受，备受推崇。意大利画家达芬奇在创作中大量运用了黄金矩形奇在创作中大量运用了黄金矩形来构图。整个画面使人觉得和谐来构图。整个画面使人觉得和谐自然，优雅安宁。自然，优雅安宁。46绘画艺术中的黄金分割绘画艺术中的黄金分割画中有几画中有几个黄金矩个黄金矩形？形？ 蒙娜丽莎的头和两肩在
24、整幅画面中都处于完美的体蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美美. .47绘画艺术中的黄金分割绘画艺术中的黄金分割48绘画艺术中的黄金分割绘画艺术中的黄金分割49绘画艺术中的黄金分割绘画艺术中的黄金分割50武器装备与黄金分割武器装备与黄金分割 当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。到了到了19181918年，一个名叫阿尔文年，一个名叫阿尔文
25、约克的美远征军下士，对约克的美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合恰符合0.6180.618的比例。的比例。51拿破仑兵败黄金分割拿破仑兵败黄金分割 一代枭雄的拿破仑大帝可能怎么也一代枭雄的拿破仑大帝可能怎么也不会想到，他的命运与不会想到，他的命运与0.6180.618紧紧地联系紧紧地联系在一起。在一起。18121812年年6 6月，正是莫斯科一年中月，正是莫斯科一年中气候最为凉爽宜人的夏季，在未能消灭俄气候最为凉爽宜人的夏季，在未能消灭俄军有生力量的博罗金诺战役后，拿破仑于军有生力量的博罗金诺战役后，拿破仑于
26、此时率领着他的大军进入了莫斯科。这时此时率领着他的大军进入了莫斯科。这时的他可是踌躇满志、不可一世。他并未意的他可是踌躇满志、不可一世。他并未意识到，天才和运气此时也正从他身上一点识到，天才和运气此时也正从他身上一点点地消失，他一生事业的顶峰和转折点正点地消失，他一生事业的顶峰和转折点正在同时到来。在同时到来。 后来，法军便在大雪纷扬、寒风呼啸后来，法军便在大雪纷扬、寒风呼啸中灰溜溜地撤离了莫斯科。三个月的胜利中灰溜溜地撤离了莫斯科。三个月的胜利进军加上两个月的盛极而衰，从时间轴上进军加上两个月的盛极而衰，从时间轴上看，法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯瞰莫斯科看，法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯瞰莫斯科城时，
27、脚下正好就踩着黄金分割线。城时，脚下正好就踩着黄金分割线。52黄金分割与优选法黄金分割与优选法 数学上最优化问题的解决方法大致分为两类：数学上最优化问题的解决方法大致分为两类：间接最优化方法和直接最优化方法。间接最优化间接最优化方法和直接最优化方法。间接最优化方法是把研究对象用数学方程表示出来，再用数方法是把研究对象用数学方程表示出来，再用数学方法求最优解。但在许多情况下，对象本身处学方法求最优解。但在许多情况下，对象本身处理不清楚，间接最优化方法就无法使用，于是人理不清楚，间接最优化方法就无法使用，于是人们就通过大量试验来寻找最优解。如何安排试验，们就通过大量试验来寻找最优解。如何安排试验，
28、较快较省地求得最优解，这就是直接最优化方法。较快较省地求得最优解，这就是直接最优化方法。如果将实验点定在区间的如果将实验点定在区间的0.6180.618左右，那么实验左右，那么实验的次数将大大减少。的次数将大大减少。 实验统计表明，对于一个因素问题，用实验统计表明，对于一个因素问题，用“0.6180.618法法”做做1616次实验，次实验，就可以取得就可以取得“对分法对分法”做做25002500次试验所达的效果。次试验所达的效果。2020世纪世纪5050、6060年代年代华罗庚在全国推广华罗庚在全国推广“0.6180.618法法”，在生产中获得大量应用，特别在工，在生产中获得大量应用，特别在工
29、程设计方面应用最多，成效最佳。程设计方面应用最多，成效最佳。 53黄金分割哲学（黄金分割的启示）黄金分割哲学（黄金分割的启示） 从黄金分割率的美感中从黄金分割率的美感中, , 我们可以领略出另一种韵味我们可以领略出另一种韵味无穷的人生哲学无穷的人生哲学. . 称其为称其为0.6180.618哲学哲学, , 或者更响亮一些或者更响亮一些, , 黄金哲学黄金哲学. . 它相仿于半半哲学它相仿于半半哲学: : 平和平和, , 稳健稳健, , 乐天知命乐天知命. . 可是可是, , 它又多了一点儿向上它又多了一点儿向上, , 一点儿进取一点儿进取, , 超越了一点儿超越了一点儿平庸平庸. . 人生之旅
30、人生之旅, , 说短亦短说短亦短, , 说长亦长说长亦长. . 在这个旅程上在这个旅程上, , 你你要有事业要有事业, , 有生活有生活, , 有朋友有朋友.,.,每每用黄金分割率来度每每用黄金分割率来度量量, , 你会有一种说不清道不尽的身心怡旷你会有一种说不清道不尽的身心怡旷. . 54黄金分割哲学黄金分割哲学黄金分割的哲学之黄金分割的哲学之事业篇事业篇黄金分割的哲学之黄金分割的哲学之交友篇交友篇黄金分割的哲学之黄金分割的哲学之生活篇生活篇55结束语结束语 林语堂在林语堂在“生活的艺术生活的艺术”一文中一文中, , 隐喻地阐述了隐喻地阐述了黄金哲学的理想境界黄金哲学的理想境界: :“观测了
31、中国的文学和哲学之观测了中国的文学和哲学之后后, , 我得到了一个结论我得到了一个结论: : 中国文化的最高理想人物中国文化的最高理想人物, , 是一个对人生有一种鉴于明慧悟性上的达观者是一个对人生有一种鉴于明慧悟性上的达观者. . 这种这种达观产生宽宏的怀抱达观产生宽宏的怀抱. . 能使人带着温和的心情度过一能使人带着温和的心情度过一生生. . 丢开功名利禄丢开功名利禄, , 乐天知命地生活乐天知命地生活. . 这种达观也产这种达观也产生了自由意识生了自由意识, , 放荡不羁的爱好放荡不羁的爱好, , 傲骨和谟然的态度傲骨和谟然的态度. . 一个人有了这种自由的意识和淡泊的态度一个人有了这种
32、自由的意识和淡泊的态度, , 才能深切才能深切热烈地享受快乐的人生热烈地享受快乐的人生”. . 黄金分割美的本质其实就是黄金分割美的本质其实就是“和谐和谐”！留心生活！留心生活象古希腊哲学家毕达哥拉斯发现象古希腊哲学家毕达哥拉斯发现1 1：0.6180.618的黄金比例的黄金比例那样，在生活实践中发现其那样，在生活实践中发现其“魅影魅影”。数学。数学来源于生来源于生活，数学活，数学在每个人身边，要我们有心去体验，去发现。在每个人身边，要我们有心去体验，去发现。56 通过以上学习，你对黄金分割是不是有了新的认识，通过以上学习，你对黄金分割是不是有了新的认识，欢迎你参加欢迎你参加BBSBBS在线讨论，联系你的实际工作和生活实践，在线讨论，联系你的实际工作和生活实践，谈谈你的想法，你是如何应用黄金分割的，越具体越好。谈谈你的想法，你是如何应用黄金分割的，越具体越好。 还有其他参考文献，欢迎阅读。还有其他参考文献，欢迎阅读。再见！再见！57
