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1、第第4 4章章 控制网平差控制网平差对于一个实际平差问题，可建立不同形式的函数模型，相应地就有不同的平差方法。测量中常见的控制网平差方法有条件平差和间接平差两种。本章介绍独立三角网条件平差和水准网间接平差的原理和方法第一节 独立三角网条件平差条件平差 根据三角网中起算数据的多少，三角网有根据三角网中起算数据的多少，三角网有独立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非独立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非独立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。独立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方法。本节讨论独立三角网按角度进行
2、条件平差法。本节讨论独立三角网按角度进行条件平差时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的详细步骤和方法。详细步骤和方法。 一、典型三角网一、典型三角网1.1.三角锁三角锁 c 1 an bn B1 ci a1 B2 b1 ai bi cn 共有共有n+2个点，个点，其中其中2个为起算点，个为起算点，n个未知点个未知点.起算数据：起算数据：(x1,y1), (x2,y2). 观测值：观测值：ai, bi, ci，B22.2.大地四边形大地四边形 共有共有4个点，其个点，其中中2个为起算点，个为起算点，2个个未知点。未知点。起算数据：起算数据：(xA ,yA
3、), (xB , yB)观测值：观测值：a1 a4 , b1 b4 a3 b3 b2 a4 a2 b4 b1 a1 SABCD3.3.中点多边形中点多边形共有共有n+1个点，个点，其中其中2个为起算点，个为起算点，n-1个个未知点未知点.起算数据：起算数据： (xA , yA), (xO , yO) 观测值：观测值：ai , bi , ci A a1 EB b1 c1 O a2 c2 ci b2 ai bi C D二、典型三角网的条件方程二、典型三角网的条件方程1.1.三角锁三角锁 c 1 ci an bn B1 B2 a1 b1 ai bi cn 图形条件基线条件代入条件方程得到改正数表达的
4、条件方程代入条件方程得到改正数表达的条件方程n个图形条件：个图形条件： vai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci 180 将将其中：其中：ai =ctgctgai ; bi =ctgctgbi ; ” = 206265= 206265” 1 1个基线条件：个基线条件： ai vai bi vbi+wB= 02、大地四边形，、大地四边形， 可以列出可以列出7个图形条件，个图形条件，但是只有但是只有 3 个是相互独个是相互独立的，其余几个可以由立的，其余几个可以由这这 3 个方程推导出来：个方程推导出来： a3 b3 b2 a4 a2 b4 b1 a1用改正数表达：用改正数
5、表达： va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0; w1= a1+ b1 +a2 +b2 180 va2+vb2+va3+ vb3 +w2=0; w2= a2+ b2 +a3 +b3 180 va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0; w3= a3+ b3 +a4 +b4 180极条件极条件1 1个个: : 用改正数表达：用改正数表达： ai vai bi vbi +ws = 0 ；其中：其中： ai = ctg ai , bi = ctg bi3、中点多边形、中点多边形 在中点多边形中，平差时除了要满足三角在中点多边形中，平差时除了要满足三角形闭合条件外，还必须使中心点处的角度满形闭
6、合条件外，还必须使中心点处的角度满足下列条件：足下列条件： a1 b1 c1 ci ai bi用改正数表达：用改正数表达：图形条件图形条件n个：个：vai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci 180 (i = 1,2,n)圆周角条件圆周角条件1个：个： vci+wo= 0 ； wo= ci -360极条件极条件1个：个： ai vai bi vbi+ws= 0第二节第二节 条件平差原理条件平差原理 条件方程可以写成矩阵形式： AV +W=0 其中， A 为r n 阶矩阵，称为系数矩阵； V 为n 1列阵，称为改正数向量； W为r 1列阵，称为闭合差向量。 条件方程 AV
7、+W=0 中，有 r 个方程，n 个未知数,且 r n，这样的方程组有无穷多组解。然而，根据最小二乘准则，观测量的最或然值应该满足VTPV=min。在 AV +W=0的条件下确定 VTPV 的最小值，这在数学中是求函数=VTPV的条件极值问题。条件平差，实际上条件平差，实际上就是确定条件方程满足就是确定条件方程满足VTPV=min 的的唯一解唯一解。 根据计算函数的条件极值的拉格朗日乘数法则组成新函数： = VTPV 2KT（AV+W) 其中： K =（k1, k2，kr )T 是拉格朗日乘数，测量平差中称之为联系数向量。 显然，只要令对V的一阶导数等于零就可以求出 VTPV 的极值。矩阵求导
8、的两个公式：(1) 设C为常数阵，X为列阵，则 (2)设Y、Z 均为列阵，则：一、改正数方程令其等于零，注意到 (PV )T = V T P，从而有： V T P =K T A 转置后左乘 P 1 得： V =P 1 ATK (1)该公式表达了改正数 V 与联系数 K 的关系。函数 = VTPV 2 KT ( AV+W ) 对 V 求导：二、法方程式将（1）式代入条件方程 AV +W=0 中得： AP 1 AT K+W=0 （2）这就是条件平差的法方程式。式中，P为观测值的权矩阵，设第 i 个观测值的权为 pi , 则显然 P 是一个对角阵，其逆存在，且：三、法方程的解 令 N = AP 1
9、AT （3） 则法方程式的形式为 N K+W =0 其中N 称为法方程式系数矩阵，是一个满秩二次型方阵，其逆存在。从而可解出联系数向量： K = N 1 W （4）四、精度评定公式四、精度评定公式 在条件平差中，精度评定包括计算单位权方差和平差值函数的中误差。其中，其中，r 为条件方程的个数，为条件方程的个数， pvv=VTPV 可可以根据改正数向量以根据改正数向量 V 直接计算直接计算1.1.单位权方差：单位权方差：2. 2. 平差值的权倒数平差值的权倒数 我们知道，未知量我们知道，未知量 x 的中误差的平方的中误差的平方 mx2 与单位权中误差的平方与单位权中误差的平方 2 成正比，成正比
10、，与该量的权与该量的权 Px 成反比，即：成反比，即： 条件平差中，平差值权倒数的计算公条件平差中，平差值权倒数的计算公式为：式为： 因此，对于某个平差值因此，对于某个平差值 ，只要能够，只要能够确定它的权确定它的权 ，根据单位权中误差，根据单位权中误差，就可以计算出该函数的中误差。就可以计算出该函数的中误差。3. 3. 平差值函数的权倒数平差值函数的权倒数同样，对于平差值的函数同样，对于平差值的函数 ，只要能够确，只要能够确定它的权定它的权P，根据单位权中误差，就可以计，根据单位权中误差，就可以计算出该函数的中误差算出该函数的中误差m。设有平差值函数为设有平差值函数为P -1 = f T P
11、-1 f - (AP-1f )TN-1AP-1f其中：其中：P为观测值的权矩阵；为观测值的权矩阵；A为条件方程系为条件方程系数矩阵；数矩阵；N为法方程系数矩阵；为法方程系数矩阵；f 为列矩阵：为列矩阵：可见，列出平差函数式后，只要求出可见，列出平差函数式后，只要求出f 列阵列阵的各元素的各元素 即可由上式计算函数的权倒数。即可由上式计算函数的权倒数。则平差值函数的权倒数公式为则平差值函数的权倒数公式为五、五、条件平差的一般过程条件平差的一般过程（1）列出条件方程）列出条件方程AV +W=0 （2）组成法方程系数矩阵）组成法方程系数矩阵 N = AP 1 AT （3）解法方程得到联系数）解法方程
12、得到联系数 K = N 1 W （4）计算改正数）计算改正数 V=P 1 ATK （5）计算平差值）计算平差值 （6）精度评定（计算单位权方差、观测值中误）精度评定（计算单位权方差、观测值中误差、平差值函数的中误差等）差、平差值函数的中误差等）【例3-1 】 某一级小三角网如图，知A点坐标为(500.000，500.000)，AB边坐标方位角 =321236”，长度S=872.562m，三角网角度观测值如下表，计算各点坐标。第三节 独立三角网条件平差算例 B b1 a2 S c1 c2 D c3 a1 b2 b3 a3A C1.1.列条件方程列条件方程2.2. 本题应列出本题应列出5 5个条件
13、方程。其中个条件方程。其中3 3个图形条个图形条件，件，1 1个圆周角条件，个圆周角条件，1 1个极条件。个极条件。【解】：2. 2. 闭合差检核闭合差检核 一级小三角网测角中误差应不大于5”图形条件闭合差检核：|wi| max =1.6” w限 圆周角条件闭合差检核：wO = -3.2” wO限 极条件闭合差检核：3. 3. 列立条件方程列立条件方程 条件方程的矩阵形式为：条件方程的矩阵形式为：AV+W=0, 本例中：本例中：W=(1.0 -1.6 -0.6 -3.2 -33.1)TV=( va1 vb1 vc1 va2 vb2 vc2 va3 vb3 vc3)T4. 4. 组成法方程组成法
14、方程 法方程的组成与解算可以利用Matlab软件。 打开Matlab，进入命令编辑器后，先输入常数矩阵A和W，再进行矩阵运算，得到法方程式，解法方程式得到联系数向量K和改正数向量V。注意：本例中所有观测值都是等精度角度观测注意：本例中所有观测值都是等精度角度观测值，所以法方程中权矩阵为单位阵。值，所以法方程中权矩阵为单位阵。先输入先输入2个常个常数矩阵数矩阵A,W再点击workspace按钮，对这两个矩阵进行修改常数矩阵的输入组成法方程系数矩阵5. 解算联系数和改正数Matlab中，函数必须使中，函数必须使用小写字母用小写字母6. 6. 精度评定精度评定直接在直接在MATLAB中计算中计算PV
15、V：m10”说明该三角网角度观测达到精度要求。说明该三角网角度观测达到精度要求。？PVV=V*VPVV =59.3972据此计算测角中误差：据此计算测角中误差：7. 7. 计算观测量的平差值计算观测量的平差值8. 8. 平差值闭合差检核平差值闭合差检核图形条件：w1=1180= -0.01”w2=2180=+0.01” w3 =3180= 0.00”圆周角条件：wo =c360= 0.00”极条件：9. 9. 推算三角网各边长度推算三角网各边长度从已知边AB起，应用正弦定理依次计算。10. 10. 计算各点坐标计算各点坐标（按闭合导线计算）第四节第四节 水准网间接平差水准网间接平差间接平差法（
16、参数平差法）是通过选定t个独立参数，将每个观测量分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测量的平差值。用间接平差法进行水准网的平差计算是一种常用的方法 一、间接平差的基本原理设平差问题中有设平差问题中有 n 个观测值个观测值 L，必要观测，必要观测数为数为 t ,选定选定 t 个独立量个独立量 X 为参数为参数, 观测量平观测量平差值为观测值差值为观测值 L 与改正数与改正数 v 之和，按具体平之和，按具体平差问题，可列出差问题，可列出n个平差值方程：个平差值方程：1.1.误差方程误差方程用矩阵形式表达： L+V=BX+d 或
17、： V=BX l此式称为间接平差误差方程。式中，L 为观测值向量（ n 1 阶）； V 为改正数向量（ n 1 阶） ； B 为系数矩阵（ n t 阶） ； X 为未知数向量（ t 1 阶） ； l =L d 为常数矩阵（ n 1 阶） 。2. 2. 法方程式法方程式按最小二乘原理，上式的X必须满足VPV=min的要求，因为t个参数X为独立量，可按数学上求函数自由极值的方法，令VPV对X的一阶导数等于零即：将误差方程 V=BX l 代入上式：令， 上式简写成3. 3. 法方程式的解法方程式的解式中系数阵Nbb为对称二次型的满秩方阵，其逆存在，故有二、间接平差的计算步骤1）选择t个独立参数X；2
18、）列出误差方程；3）组成法方程；4）解法方程，求出参数5）由误差方程计算V；6）计算观测量平差值7）精度评定。V=BX lV=BX l三、精度评定1. 1. 单位权中误差单位权中误差其中：其中： pvv= VT P V2. 2. 平差值的权倒数平差值的权倒数 间接平差中，第间接平差中，第 i 个平差值个平差值Li 的权倒数等于的权倒数等于平差值协因数阵对角线上的相应元素，而平差平差值协因数阵对角线上的相应元素，而平差值协因数阵为：值协因数阵为：3. 3. 参数的权倒数参数的权倒数第第 i 个个参数的权倒数就等于参数的参数的权倒数就等于参数的协因数协因数阵对角线上的相应元素，而参数的协因数阵阵对
19、角线上的相应元素，而参数的协因数阵就等于就等于法方程系数矩阵的逆矩阵法方程系数矩阵的逆矩阵: :4. 参数函数的权倒数参数函数的权倒数 设参数的函数为：设参数的函数为： 则参数函数的权倒数为：则参数函数的权倒数为：且有且有三、水准网间接平差算例 P.80 如图， N6N9是已知水准点，A、B、C是结点，观测值及已知值均注于略图上，计算各节点高程，并评定精度。解：1.1.列误差方程列误差方程设设 A、B、C点的高程最或然值为点的高程最或然值为x、y、z ，则：，则：N7N8N6N9ABCh1h2h3h4h5h6h7为了简化计算，设未知量的近似值为为了简化计算，设未知量的近似值为x 0、y0、z0
20、，并设相应的改正数为，并设相应的改正数为x、y、z，则则本例中： x0 = H7+h1 = 251.763 m y0 = H6+h5 = 248.682 m z0 = H9+h7 = 253.922 m误差方程的最后形式为：用矩阵表达为： V=BX l 其中： X=( x y z ) ， T 1 0 0 1 -1 0 0 -1 1 1 0 0 ， 0 1 0 0 -1 1 0 0 1B=l= 0 11 16 20 0 15 02. 2. 计算权矩阵计算权矩阵各观测值的权按 pi=10/Li 计算，则 0.49 0.53 0.43 0.51 0.62 0.43 0.58P=00?N=B*P*BN
21、 = 1.9600 -0.5300 -0.4300 -0.5300 1.5800 -0.4300 -0.4300 -0.4300 1.4400?W=B*P*LW = 9.1500 -12.2800 13.33003.3.组成法方程系数矩阵和常数矩阵组成法方程系数矩阵和常数矩阵?INVN=inv(N)INVN = 0.6523 0.2959 0.2831 0.2959 0.8231 0.3341 0.2831 0.3341 0.8788?X=INVN*WX = 6.1098 -2.9463 10.20164.4.系数矩阵求逆，计算参数系数矩阵求逆，计算参数5.5.计算改正数和平差值：计算改正数和
22、平差值：?V=B*X-LV = 6.1098 -1.9439 -11.9082 -13.8902 -2.9463 -1.8521 10.2016V=BX l6.6.计算节点高程平差值计算节点高程平差值节点高程平差值分别就是误差方程的参数，因此： HA= x = x0+x= 251.769 m HB= y = y0+y= 248.679 m HC= z = z0+z= 253.932 m7.计算单位权中误差计算单位权中误差先计算pvv：?PVV=V *P*VPVV = 246.8879?m0=sqrt(PVV/(7-3)m0 = 7.8563则8.8.确定计算节点高程平差值的权倒数确定计算节点高程平差值的权倒数节点高程平差值分别就是误差方程的参数，在法方程系数矩阵的逆矩阵 0.6523 0.2959 0.2831 N-1 = 0.2959 0.8231 0.3341 0.2831 0.3341 0.8788中，对角线上的元素，分别就是参数x，y，z 的权倒数，也就是这些节点高程平差值的权倒数，即：1/px=0.65，1/py=0.82，1/pz=0.889.9.计算节点高程平差值的中误差计算节点高程平差值的中误差
