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1、命题及其关系命题及其关系1.1.1 命题思考思考下列语句的表述形式有什么特点下列语句的表述形式有什么特点?你能判断你能判断它们的真假吗它们的真假吗?l（1） 125;l（2） 3是是12的约数的约数; l（3） 0.5是整数是整数;l（4）对顶角相等）对顶角相等;l（5）3 能被能被2整除整除;l（6）若）若x2=1,则则x=1.语句都是陈述句语句都是陈述句，并且可以判断真假。并且可以判断真假。 一般地一般地, ,在数学中在数学中, ,我们把用语言、符号我们把用语言、符号或式子表达的或式子表达的, ,可以判断真假的陈述句叫做可以判断真假的陈述句叫做命题命题判断为真的语句叫判断为真的语句叫真命题
2、真命题。判断为假的语句叫判断为假的语句叫假命题假命题。命题的概念命题的概念如何判断一个语句是不是命题？如何判断一个语句是不是命题？1)7是23的约数吗? 2)X5. 3)-2a3。6)x4。看看下列语句是不是命题？看看下列语句是不是命题？不是（疑问句）不是（疑问句）不是（疑问句）不是（疑问句）不是（感叹句）不是（感叹句）是是是是不是（开语句）不是（开语句）例例1 1 判断下面的语句是否为命题判断下面的语句是否为命题? ?若是命题，若是命题，指出它的真假。指出它的真假。(1) (1) 空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集. .(2)(2)若整数若整数a a是素数是素数, ,则则a a是奇数是
3、奇数. .(3)(3)指数函数是增函数吗指数函数是增函数吗? ?(4)(4)若平面上两条直线不相交若平面上两条直线不相交, ,则这两条直线平行则这两条直线平行. .(5)(5)(6)x15.（是，真）（是，真）（是，真）（是，真）（是，假）（是，假）（是，假）（是，假）（不是命题）（不是命题）（不是命题）（不是命题）练习练习 判断下列语句是否是命题判断下列语句是否是命题 .（1）求证）求证 是无理数。是无理数。（2）（3）你是高二学生吗？）你是高二学生吗？（4）并非所有的人都喜欢苹果。）并非所有的人都喜欢苹果。（5）一个正整数不是质数就是合数。）一个正整数不是质数就是合数。（6）若）若 ，则，
4、则（7）x+30.(1)(3)(7)不是命题，不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题。是命题。“若若p则则q”形式的命题形式的命题 命题命题“若整数若整数a是素数，则是素数，则a是奇数。是奇数。”具有具有“若若p则则q”的形式。的形式。 qpl通常通常,我们把这种形式的命题中的我们把这种形式的命题中的p叫做命叫做命题的题的条件条件,q叫做命题的叫做命题的结论结论。l“若若p则则q”形式的命题是命题的一种形式而形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式不是唯一的形式,也可写成也可写成“如果如果p,那么那么q” “只要只要p,就有就有q”等形式。等形式。“若若p p则则q”q”形式的命题的书写形
5、式的命题的书写l对于一些条件与结论不明显的命题对于一些条件与结论不明显的命题, ,一般一般采取先添补一些命题中省略的词句采取先添补一些命题中省略的词句, , 确定确定条件与结论。条件与结论。l如命题如命题: :“垂直于同一条直线的两个平面垂直于同一条直线的两个平面平行平行”。l写成写成“若若p p则则q”q”的形式为：的形式为： 若两个平面垂直于同一条直线，则这若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。两个平面平行。例例2 指出下列命题中的条件指出下列命题中的条件p和结论和结论q：1)若整数若整数a能被能被2整除，则整除，则a是偶数；是偶数；2)菱形的对角线互相垂直且平分。菱形的对角线互相
6、垂直且平分。解：解：1) 条件条件p：整数：整数a能被能被2整除，整除， 结论结论q：整数：整数a 是偶数。是偶数。 2) 写成若写成若p，则，则q 的形式：若四边形是菱形，的形式：若四边形是菱形， 则它的对角线互相垂直且平分。则它的对角线互相垂直且平分。 条件条件p：四边形是菱形，：四边形是菱形， 结论结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。：四边形的对角线互相垂直且平分。例例3 3 把下列命题改写成把下列命题改写成“若若p p则则q”q”的的形式形式, ,并判定真假。并判定真假。（1）垂直于同一条直线的两个平面平行；）垂直于同一条直线的两个平面平行；（2）两个全等三角形的面积相等；）两个全等
7、三角形的面积相等；（3） 3能被能被2整除整除若两个平面垂直于同一直线，则这两个平面平行。若两个平面垂直于同一直线，则这两个平面平行。若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。若一个数是若一个数是3，则这个数能被，则这个数能被2整除。整除。真真假假真真（4） 负数的立方是负数负数的立方是负数若一个数是负数，则这个数的立方是负数。若一个数是负数，则这个数的立方是负数。真真（5） 对顶角相等对顶角相等（6） 能被能被2整除的整数是偶数整除的整数是偶数（7） 菱形的对角线互相垂直且平分菱形的对角线互相垂直且平分若两个角是对顶角，则这两个角相等。若两个角是
8、对顶角，则这两个角相等。若一个整数能被若一个整数能被2整除，则这个整数是偶数。整除，则这个整数是偶数。若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。真真真真真真练习练习1、将命题、将命题“a0时，函数时，函数y=ax+b的值随的值随x值值的增加而增加的增加而增加”改写成改写成“p则则q”的形式，并判的形式，并判断命题的真假。断命题的真假。解解:a0时，若时，若x增加，则函数增加，则函数y=ax+b的值也的值也随之增加随之增加，它是真命题，它是真命题 在本题中，在本题中，a0是大前提，应单独给出，是大前提，应单独给出，不能把大前提也放在命题的条件部分内不
9、能把大前提也放在命题的条件部分内2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断它们的真假.（1）等腰三角形两腰的中线相等；）等腰三角形两腰的中线相等；（2）偶函数的图象关于）偶函数的图象关于y轴对称；轴对称；（3）垂直于同一个平面的两个平面平行。）垂直于同一个平面的两个平面平行。(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。这是真命题。这是真命题。(2)若函数是偶函数，则函数的图象关于若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称轴对称，这是真，这是真命题。命题。(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行若两个平面垂直于同一平面，则这
10、两个平面互相平行。这是假命题。这是假命题。3. 3. 把下列命题改写成把下列命题改写成“若若p p则则q”q”的形的形式式, ,并判定真假。并判定真假。 (1) (1) 负数的平方是正数负数的平方是正数. . (2) (2) 偶函数的图像关于偶函数的图像关于y y轴对称轴对称. . (3)(3)垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行 (4) (4) 面积相等的两个三角形全等面积相等的两个三角形全等. . (5) (5) 对顶角相等对顶角相等. .真命题真命题真命题真命题假命题假命题假命题假命题真命题真命题命题及其关系命题及其关系1.1.2 四种命题下列四个命题中，命题下列
11、四个命题中，命题(1)与命题与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？的条件和结论之间分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；2.若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；3.若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；不是周期函数；4.若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。不是正弦函数。观察命题观察命题(1)与命题与命题(2)的条件和结论之间的条件和结论之间分别有什么关系？分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函
12、数；是周期函数；2.若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；互逆命题互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。原原 命命 题题：其中一个命题叫做原命题。：其中一个命题叫做原命题。逆逆 命命 题题：另一个命题叫做原命题的逆命题。：另一个命题叫做原命题的逆命题。pqqp即即 原命题原命题:若若p,则则q逆命题逆命题:若若q,则则p例如，原命题：同位角相等，两直线平行。例如，原命题：同位角相等，两直线平行。 逆命题：两直线平行，同位角相等。逆命题：两直
13、线平行，同位角相等。观察命题观察命题(1)与命题与命题(3)的条件和结论之间的条件和结论之间分别有什么关系？分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；3. 若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数不是周期函数.pqp 原命题原命题:若若p,则则qq 为书写简便为书写简便,常把条件常把条件p的否定和结论的否定和结论q的否定的否定分别记作分别记作 “p” “q”。 互否命题互否命题否命题否命题:若若p,则则q例如，原命题：同位角相等，两直线平行。例如，原命题：同位角相等，两直线平行。 否命题：同位角不相等，两直线不平行。否命
14、题：同位角不相等，两直线不平行。观察命题观察命题(1)与命题与命题(4)的条件和结论之间的条件和结论之间分别有什么关系？分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；4. 若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数不是正弦函数.pqq 原命题原命题: 若若p, 则则qp逆否命题逆否命题: 若若q, 则则p 互为逆否命题互为逆否命题例如，原命题：同位角相等，两直线平行。例如，原命题：同位角相等，两直线平行。 逆否命题：两直线不平行，同位角不相等。逆否命题：两直线不平行，同位角不相等。原命题原命题, ,逆命题逆命题, ,否命题否命
15、题, ,逆否命题逆否命题四种命题形式四种命题形式: :l 原命题原命题: : l 逆命题逆命题: :l 否命题否命题: : l 逆否命题逆否命题: :若若 p, p, 则则 q q 若若 q q, , 则则 p p若若p p, , 则则q q若若q, q, 则则p p例例 设原命题是设原命题是“当当c 0 时，若时，若a b ，则，则ac bc ”，写出它，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假： 解：解： 逆命题：当逆命题：当c 0 时，若时，若ac bc ，则，则a b 逆命题为真逆命题为真否命题：当否命题：当c 0 时，若
16、时，若a b ，则，则ac bc 否命题为真否命题为真逆否命题：当逆否命题：当c 0 时，若时，若ac bc ，则，则a b 逆否命题为真逆否命题为真巩固练习巩固练习 写出下列命题的逆命题，否命题和逆否写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假命题，并判断它们的真假(1)(1)若一个整数的末位数字是若一个整数的末位数字是0 0，则这个整，则这个整数能被数能被5 5整除；整除；(2)(2)若一个三角形的两条边相等，则这个若一个三角形的两条边相等，则这个三角形有两个角相等；三角形有两个角相等；(3)(3)奇函数的图像关于原点对称奇函数的图像关于原点对称. . 原命题：若一个整数的末位
17、数字是原命题：若一个整数的末位数字是0 0，则这个整数能被则这个整数能被5 5整除；整除； 逆命题：若逆命题：若一个整数能被一个整数能被5 5整除，整除，则则这这个数的末位数字是个数的末位数字是0.0. 否命题：若否命题：若一个数的末位数字不是一个数的末位数字不是0 0 , ,则则这个整数不能被这个整数不能被5 5整除整除. . 逆否命题：若逆否命题：若一个整数不能被一个整数不能被5 5整除，整除，则则这个数的末位数字不是这个数的末位数字不是0.0.(1)真命题真命题假命题假命题真命题真命题假命题假命题 原命题：若一个三角形有两条边相等，原命题：若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相
18、等；则这个三角形有两个角相等； 逆命题：若逆命题：若一个三角形有两个角相等一个三角形有两个角相等，则则这个三角形有两条边相等这个三角形有两条边相等. . 否命题：若否命题：若一个三角形没有两条边相等一个三角形没有两条边相等，则则这个三角形没有两个角相等这个三角形没有两个角相等. . 逆否命题：若逆否命题：若一个三角形没有两个角相等一个三角形没有两个角相等，则则一个三角形没有两条边相等一个三角形没有两条边相等. .真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题(2)原命题：奇函数的图像关于原点对称原命题：奇函数的图像关于原点对称. . 逆命题：若逆命题：若一个函数的图象关于原点对一个函数的图象
19、关于原点对称，称，则则这个函数是奇函数这个函数是奇函数. . 否命题：若否命题：若一个函数不是奇函数，一个函数不是奇函数，则则这这个函数的图象不关于原点对称个函数的图象不关于原点对称. . 逆否命题：若逆否命题：若一个函数的图象不关于原点一个函数的图象不关于原点对称，对称，则则这个函数不是奇函数这个函数不是奇函数. . 原命题：若原命题：若一个函数是奇函数，一个函数是奇函数，则则这个这个函数的图象关于原点对称函数的图象关于原点对称. .真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题(3)课堂小结课堂小结定义：定义：一般地，对于两个命题，如果一般地，对于两个命题，如果一个命题的一个命题的 分别
20、是另一个命分别是另一个命题的题的 ，那么我们把这样的两，那么我们把这样的两个命题叫做个命题叫做 其中一个命题叫其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的做原命题，另一个命题叫做原命题的逆逆命题命题条件和结论条件和结论结论和条件结论和条件互逆命题互逆命题定义：定义：一般地，对于两个命题，如果一般地，对于两个命题，如果一个命题的一个命题的 恰好是另一个命恰好是另一个命题的题的 ，那么我，那么我们把这样的两个命题叫做们把这样的两个命题叫做 其其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的做原命题的否命题否命题课堂小结课堂小结条件和结论条件和结论条件的否定和结论的否定条件的否定和结论的否定互否命题互否命题定义：定义：一般地，对于两个命题，如果一个一般地，对于两个命题，如果一个命题的命题的 恰好是另一个命题的恰好是另一个命题的结论结论的的 和条件的和条件的 ，那么我们把这样的，那么我们把这样的两个命题叫做互为两个命题叫做互为 其中一个命题其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否逆否命命题题课堂小结课堂小结条件和结论条件和结论否定否定否定否定逆否命题逆否命题
