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1、2. 1 离散型随机变量离散型随机变量第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布一、古典概型：一、古典概型：定义在样本空间定义在样本空间上的实值函数上的实值函数X=X () 称为称为随机随机1、定义、定义2.1: :变量变量. . 常用大写字母常用大写字母 X , , Y , , Z等表示随机变量等表示随机变量, 其其取值用小写字母取值用小写字母 x , , y , , z等表示等表示 .在掷骰子的试验中在掷骰子的试验中, , 用用X表示出现的点数表示出现的点数, 则有则有X () = , , 其中其中 = 1, 2, 3, 4, 5, 6在检验产品的质量试验中在检验产品的质量试验
2、中, , 用用X表示合格品的件数表示合格品的件数, 若若 = 合格品合格品 , 次品次品 , 则有则有二、离散型随机变量的概率分布：二、离散型随机变量的概率分布：设设X是定义在样本空间是定义在样本空间上的一个随机变量上的一个随机变量, , 若若X的的1、定义、定义2.2: :其取值其取值 xi , i =1,2 , , , 记记全部可能取值只有有限个或可列无穷多个全部可能取值只有有限个或可列无穷多个, , 称称X是是一个一个离散型随机变量离散型随机变量 . .2、定义、定义2.3: :设设X是离散型随机变量是离散型随机变量, , 其全部可能取值为其全部可能取值为i =1,2 , , , 称称
3、p(xi) , i =1,2 , 为为X的概率分布的概率分布 .X x1 x2 xi P p1 p2 pi X的的概率分布表概率分布表 或或分分 布布 律律3、离散型随机变量概率分布、离散型随机变量概率分布 p ( xi ) 的性质的性质: :(1) p ( xi ) 0, (i =1, 2 , );例例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相互独立的),求X的分布律.解解 以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知X的分布律为 或写成PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3
4、;PX=4=(1-p)4. 以p=1/2代入得(2)从而例例2.1从一批有从一批有10个合格品与个合格品与3个次品的产品中个次品的产品中, 一件一件一件地抽取产品一件地抽取产品, , 每次取出一件产品后总将一件合格每次取出一件产品后总将一件合格品放回该批产品中品放回该批产品中, , 直到取出合格品为止直到取出合格品为止, , 求抽取次求抽取次数的分布律数的分布律 . .解解 设设 X 表示表示“抽取次数抽取次数”，它的可能取值是，它的可能取值是1,2,3,4 , 而取每个值的概率为而取每个值的概率为因此因此X的概率分布为的概率分布为X 1 2 3 4P 10/13 33/169 72/2197
5、 6/21972 .1 0-1分布分布(两点分布两点分布)X01Pk1-ppX01Pk0.550.45X01Pk0.10.6+0.3 例例:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.若定义随机变量X为则有 PX=0=0.05,PX=1=0.95若定义随机变量Y为则有 Y=0=0.95,PY=1=0.05从中看到X,Y都服从(0-1)分布三、常见的离散型随机变量：三、常见的离散型随机变量：把一个随机试验重复进行把一个随机试验重复进行n次次, , 每次试验的结果间互每次试验的结果间互1、二项分布、二项分布: :不影响不影响, , 每次试验只有两个可
6、能的结果每次试验只有两个可能的结果: :事件事件发生发生, , 称这样的试验为称这样的试验为n重伯努利试验重伯努利试验, , 该数学模型该数学模型称为称为伯努利模型伯努利模型 .定理定理2.1: :在伯努利试验中在伯努利试验中, ,若事件若事件A发生的概率发生的概率 P(A)= p (0p1)则在则在n次试验中事件次试验中事件A正好发生正好发生k次的概率为次的概率为定理定理2.1: :设随机变量设随机变量X可能的取值为可能的取值为0,1, , n, 且取这些值的且取这些值的概率为概率为则称则称X服从参数为服从参数为n, p的的二项分布二项分布, 它是最简单的离散型随机变量它是最简单的离散型随机
7、变量, , 此时此时X可能的取值只可能的取值只有有0或或1, 即即X 1 0P p 1- - p例例2.2某人进行射击某人进行射击, , 设每次射击的命中率为设每次射击的命中率为0.02 , 解解 设设X表示表示“击中的次数击中的次数”，则，则XB( 400, 0.02 ), 有有独立射击独立射击400次次, 试求至少击中两次的概率试求至少击中两次的概率?例例2.3连续不断地掷一枚均匀硬币连续不断地掷一枚均匀硬币, , 问至少掷多少次才问至少掷多少次才能使正面至少出现一次的概率不小于能使正面至少出现一次的概率不小于0.99 ? 解解 设需投掷设需投掷n次次, X表示表示“正面朝上正面朝上”，则
8、，则P(A)=1/2 , 在在n次投掷中次投掷中A出现的次数为出现的次数为 X , 则则 XB(n, 0.5) , 0-1分布和二项分布的关系 X01Pi1-pp2、泊松分布、泊松分布: :若一个随机变量若一个随机变量 X 的概率分布为的概率分布为定义定义2.5: :解解 (1) (2) (3) 例例2.4某商店根据过去的销售记录知道某种商品某商店根据过去的销售记录知道某种商品分布来描述分布来描述, , 为了以为了以 95%以上的概率保证以上的概率保证(设只在月底进货设只在月底进货)? 解解 设该商店每月销售该商品的件数为设该商店每月销售该商品的件数为 X ，据题意据题意, 要求要求 a 使得
9、使得不脱销不脱销, 问商店在月底应存多少件该种商品问商店在月底应存多少件该种商品月底存货为月底存货为 a 件件, 则当则当 X a 时就不会脱销时就不会脱销 . 由附录的泊松分布表知由附录的泊松分布表知于是于是, , 这家商店只要在月底存不低于这家商店只要在月底存不低于15件件, , 就能以就能以0.95以上的概率保证下个月该种商品以上的概率保证下个月该种商品不会脱销不会脱销 .定理定理2.2(泊松定理泊松定理): :固定的非负整数固定的非负整数k , 有有注注 由泊松定理由泊松定理, , 可以将二项分布用泊松分布来近似可以将二项分布用泊松分布来近似: :理来近似计算理来近似计算 . .例例2
10、.5纺织厂女工照顾纺织厂女工照顾800个纺锭个纺锭, 每一纺锭在某一段每一纺锭在某一段时间内发生断头的概率为时间内发生断头的概率为0.005(设短时间内最多只发设短时间内最多只发 解解 设设X为为800个纺锭在该段时间内发生的断头次数个纺锭在该段时间内发生的断头次数 , 的泊松分布的泊松分布, 从而有从而有生一次断头生一次断头), 求在这段时间内共发生的断头次数超过求在这段时间内共发生的断头次数超过2的概率的概率 . . 则则 XB (800, 0.005) , 它近似于参数为它近似于参数为 =8000.0053、超几何分布、超几何分布: :设设N , , n , , m为正整数为正整数, , n N , , m N ; ; 又设随机变量又设随机变量定义定义2.6: :注注 从一个有限总体中进行不放回抽样均会遇到超几从一个有限总体中进行不放回抽样均会遇到超几何分布何分布 . . 如如, , 从包含从包含M M个不合格品的个不合格品的N N个产品中不放个产品中不放回地随机抽取回地随机抽取n个个, , 则其中含有的不合格品的个数则其中含有的不合格品的个数X服从超几何分布服从超几何分布, , 且有且有( r=minM,n , n,N,M均正整数均正整数)作作 业业 P 34 : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6习习 题题 二二
