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1、11.2 二次函数图象和性质二次函数图象和性质1、二次函数的一般形式是怎样的？二次函数的一般形式是怎样的？y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)2.2.下列下列函数中函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？n清华学霸如何运用清华学霸如何运用“抛体模型抛体模型”教你打教你打羽毛球羽毛球 你会用描点法画二次函数你会用描点法画二次函数y=y=x2 2的图象吗的图象吗? ?观察观察y=y=x2 2的表达式的表达式, ,选择适当选择适当x值值, ,并计算并计算相应的相应的y y值值, ,完成下表：完成下表：x-3-3-2-2-1-10 01 12 2 3 3y=y=x2 29 94 41
2、11 10 04 49 9xy0 0-4-3-2-11234108642-2描点描点, ,连线连线y= =x2 2?6二次函数二次函数y=x2的图象的图象形如物体抛形如物体抛射时所经过射时所经过的路线的路线,我们我们把它叫做把它叫做抛抛物线物线这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.(2)图象图象 与与x轴有交点吗？如果有轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么交点坐标是什么?(4)当当x0呢？呢？(3)当当x取什么值时取什么值时,y的值最小的值最小?最小值是什么最小值是什么? 你是
3、如何知道的？你是如何知道的？观察图象观察图象, ,回答问题：回答问题：xyO(1)图象是轴对称图形吗？图象是轴对称图形吗？如果是如果是,它的对称轴是什么它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？请你找出几对对称点？二次函数图象和性质当当x0 (在对称轴的在对称轴的右侧右侧)时时, y随着随着x的增大而的增大而增大增大. 当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=4抛物线抛物线y=x2在在x轴的轴的上方上方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最低点是它的最低点,开口开口向上向上,并且向上无限并且向上无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最
4、小的值最小,最小值是最小值是0.例例1.1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y= = x2 2和和y=2=2x2 2的图象的图象（注明：也与二次函数注明：也与二次函数y=y=x2 2在同一直角坐标系在同一直角坐标系）例例2.在直角坐标系中画出抛物线在直角坐标系中画出抛物线1 12 2y=-=-x2 2x x -4-4 -3-3 -2 -2 -1-10 01 1 2 23 34 4y= xy= x2 2 在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y= = x2 2和和y=2=2x2 2的图象的图象解解: (1) : (1) 列表列表(2) (2) 描点描点(3) (
5、3) 连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 12 28 82 2 0.50.50 0 0.50.5 2 24.54.58 84.54.51 12 2xy=2xy=2x2 28-2-1.5-1-0.500.511.524.520.500.524.58 例例11 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5 函数函数y= = x2 2, ,y=2=2x2 2的图的图象象与函数与函数y= =x2 2( (图中虚线图图中虚线图形形) )的图的图象象相比相比, ,有什么共同有什么共同点和不同点点和不同点? ?1 12 2共同点共同点: :不同点不
6、同点: :开口都向上开口都向上; ;顶点是原点而且是抛物线顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是的最低点，对称轴是 y y 轴轴开口大小不同开口大小不同; ;| |a| |越大，越大，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y随着随着x x的的增大增大而而减小。减小。在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y y随着随着x x的的增大增大而而增大增大。抛物线的开口越小抛物线的开口越小。(1)(1)二次函数二次函数y=-y=-x2 2的图象是什么形状？的图象是什么形状？ 例例2你能根据表格中的数据作出你能根据表格中的数据作出猜想吗猜想吗？(2)(2)先想一想，然后作出它的图象先想一想，然后作出它的图象(3
7、)(3)它与二次函数它与二次函数y=x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x -9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9在学中做在做中学做一做做一做xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点描点, ,连线连线y=-=-x2 2?2024/9/4二次函数图象和性质14当当x0 (在对称轴在对称轴的右侧的右侧)时时, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. y 当当x= -2时时,y= -4 当当x= -1时时,y= -1当当x=1时时,y= -1当当x= 2时时,y= -4抛物线抛物线y= -x2在
8、在x轴的轴的下方下方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最高点是它的最高点,开口开口向下向下,并且向下无限并且向下无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是0.1.抛物线抛物线y=ax2的顶点是原点的顶点是原点,对称轴是对称轴是y轴轴. 2.当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),它它的开口向上的开口向上,并且向上无限伸展；并且向上无限伸展； 当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小；在的增大而减小；在对称轴右侧对称轴右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小
9、的值最小. 当当a0时，在对称轴的左侧时，在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在对称轴的右侧对称轴的右侧,y随着随着x增大而减小增大而减小,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大.二次函数y=ax2的性质根据左边已画好的函数图象填空：根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线）抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧，y随着随着x的增大而减小，当的增大而减小，当x= 时，时，函数函数y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,抛物抛物线线y=2x2在在x轴的轴的 方（除顶点外）。
10、方（除顶点外）。（2）抛物线）抛物线 在在x轴的轴的 方（除顶点外），在对称轴的方（除顶点外），在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧，；在对称轴的右侧，y随着随着x的的 ，当，当x=0时，函数时，函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ，当当x 0时，时，y0时，开口向上，顶点是最低点，时，开口向上，顶点是最低点，在对称轴的在对称轴的左左侧，侧，y随随x的增大而减小的增大而减小，在对称轴的在对称轴的右右侧，侧，y随随x的增大而增大的增大而增大。u当当a0时，开口向下，顶点是最高点，时，开口向下，顶点是最高点，在对称轴的在对称轴的左左侧，侧，y随随x的增大而增大的增大而增大；在对称轴的在对称轴的右右侧，侧，y随随x的增大而减小的增大而减小。下课了! 只有不断的思考只有不断的思考, ,才会有新的发现才会有新的发现; ;只有只有量的变化量的变化, ,才会有质的才会有质的进步！进步！结束寄语
