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1、1Review of simple regression model: estimationlPopulation regression model:E(Y|X)= b0 +b1 XYi=b0 +b1 Xi+uilSample regression model:l“Linear” regressionLinear with parameters2Estimation of simple regression model: OLS3第第3章双变量模型：假设检验章双变量模型：假设检验Simple regression model: Inferencey= b0 + b1 x + u4目录l3.1经
2、典线性回归模型基本假设l3.2OLS估计量的方差与标准差l3.3OLS估计量的性质l3.4OLS估计量的分布l3.5假设检验l3.6判定系数：R2l3.7回归分析结果的报告l3.8正态性检验l3.9例子：简单工资决定模型l3.10预测53.1经典线性回归模型的基本假设l解释变量(X)与随机误差项(u)不相关。即cov(X,u)=0，如果X是非随机的，上述假定自动成立。l随机误差项的均值为0，即E(u)=0平均来说，随机项的影响可以相互抵消，其实该假设只是为了便于处理。l随机误差项同方差(homoscedasticity)，即Var(ui)=s2, 所以Var(Y|X)=var(b0 + b1X
3、 + u|X) = s2Var(Y)=var(b0 + b1X + u) = s26同方差性(Homoscedasticity).x1x2E(y|x) = b0 + b1xyf(y|x)7异方差(Heteroscedasticity).x x1x2yf(y|x)x3.E(y|x) = b0 + b1x83.1经典线性回归模型的基本假设l随机误差项无自相关(no autocorrelation)，又称序列相关，即Cov(ui, uj) = 0 for all ij，等价于E(ui, uj) = 0l随机误差项服从正态分布，即u N (0, s2)l上述几条假设称为经典线性模型基本假设（CLRM）
4、93.2 OLS估计量的方差与标准差lOLS估计量103.2 OLS估计量的方差与标准差113.2 OLS估计量的方差与标准差ls2的估计量l回归标准差(standard error of the regression)123.2 OLS估计量的方差与标准差133.3OLS估计量的性质lGauss-Markov Theorem如果满足经典计量经济学模型基本假设，则在所有无偏估计量中，OLS估计量具有最小方差性；即OLS估计量是最优线性无偏估计量(BLUE)。l线性：模型参数估计量是样本观察值的线性函数。143.3OLS估计量的性质l无偏性l最小方差性：OLS估计量是所有无偏估计量中方差最小的估
5、计量。153.4OLS估计量的分布 首先，首先， 由于解释变量iX是确定性变量，随机误差项iu是随机性变量，因此被解释变量iY是随机变量，且其分布 （特征）与iu相同。其次其次，0b和1b分别是iY的线性组合，因此0b、1b的概率分布取决于 Y。在u是正态分布的假设下，Y 是正态分布，因此0b和1b也服从正态分布，其分布特征（密度函数）由其均值和方差唯一决定。163.4OLS估计量的分布l经典模型假设ui N(0,s2)XN(a, s12), YN(b, s22), 相互独立X+YN(a+b, s12+ s22)因此，OLS估计量也服从正态分布173.4OLS估计量的分布18例3.1在收入收入
6、- -消费支出例子消费支出例子中，参数估计及其标准差的计算如下19 (64.1382) (0.0357)203.5假设检验l在模型估计中，我们往往关注某些变量是否对被解释变量有关系，如果关系不大，我们估计出的参数应该比较小，接近于零。因此，在假设检验中，我们往往关注这样的原假设，H0: b1=0比如居民消费函数Y b0 + b1X + u213.5假设检验223.5假设检验233.5假设检验243.5假设检验:例子 (64.1382) (0.0357)253.5假设检验:例子263.5假设检验:例子l事实上，我们可以进行其他形式的假设检验，不只是考虑为0的假设。比如：273.5假设检验:例子2
7、83.5假设检验:例子l如果我们现在要检验斜率的标准差是否为0.03，我们将使用卡方分布。29Summary for the classlClassical linear model assumption (CLM)Cov(X,u)=0E(Xu)=0E(u)=0Var(u)=s2, homoskedasticityCov(ui, uj)=0, no autocorrelationuiN(0, s2), normal distributionlGuass-Markov Theorem: OLS estimates are BLUE under CLM assumption.30Variances
8、 and stand deviations of OLS estimates31Estimate of variances and stand deviations of OLS estimates32The distribution of OLS estimates333.6判定系数R2343.6判定系数R2353.6判定系数R2.eixy363.7回归分析结果的报告373.7回归分析结果的报告(STATA)383.7回归分析结果的报告(Eviews)393.8正态性检验我们CLM假设误差项服从正态分布，如果不服从正态分布，我们就无法推出OLS估计量的分布，也就无法进行假设检验。那么我们的数
9、据是不是正太分布呢，有一些检验方法：l残差直方图lJarque-Bera 检验403.8正态性检验lJarque-Bera 检验H0：变量服从正态分布。从上面的式子可以看出，如果为正态分布，则JB值为0。如果通过计算，JB值大于临界值c2a(2)，则拒绝原假设，认为变量不服从正态分布。lSK检验H0：变量服从正态分布。如果通过计算，JB值大于临界值c2a(2)，则拒绝原假设，认为变量不服从正态分布。413.9例子：简单工资决定模型l考虑两种形式的工资决定模型wage=b0+b1educ+ulog(wage)=b0+b1educ+ul数据(wage1.raw)l结果wge=-0.905+0.54
10、1educ(0.685) (0.053) 0.187 0.000 n=526, R2=0.1648Skewness=1.861 Kurtosis=7.797 JB=807.843SK=212.55log(wge)=0.583+0.083educ (0.097)(0.0076) 0.0000.000 n=526 R2=0.1853Skewness=0.268 Kurtosis=3.586 JB=13.811 SK=11.80c20.05=5.99423.9例子：美国的进行支出模型l我们考察1968-1987年间美国的进口支出（Y）（或购买外国商品，包括耐用品或非耐用品的支出等）与个人的可支配收入
11、（X）之间的关系。l凯恩斯的消费函数理论：个人的消费支出与个人可支配收入正相关。而对进口支出是对国外商品的消费支出，是总支出的一部分，所以我们预期美国的进口支出与个人可支配收入之间也会正相关。构建模型：Y = b0 + b1 X + u433.9例子：美国的进行支出模型yearyxyearyx1968135.71551.31978274.12167.41969144.61599.81979277.92212.61970150.91668.11980253.62214.31971166.21728.41981258.72248.61972190.71797.41982249.52261.5197
12、3218.21916.31983282.22331.91974211.81896.91984351.12469.81975187.91931.71985367.92542.81976229.920011986412.32640.91977259.42066.619874392686.3443.9例子：美国的进行支出模型453.9例子：美国的进行支出模型l从散点图看，美国的进口支出（Y）与个人可支配收入（X）之间近似线性相关关系，因此我们前面假设的模型形式是合适的。即Y = b0 + b1 X + ul参数的意义数学上: b1 是斜率， b0是截距。经济学: b1是进口支出的边际消费倾向，即个人
13、可支配收入每增加1美元，所增加的进口支出。如果b1 0.25，表示个人可支配收入增加1美元，对国外商品的平均消费支出将增加0.25美元。根据经济理论， 0b1 1。b0表示个人的支配收入为0时，对国外商品的平均消费支出。463.9例子：美国的进行支出模型473.9例子：美国的进行支出模型l对回归结果的解释与我们的预期相同，进口支出（Y）与可支配收入（X）之间正相关。样本回归曲线的斜率为0.245，表示个人的可支配收入每增加1美元，对国外商品的需求支出将增加0.245美元。即对国外商品的边际消费倾向为0.245。同时，0.2451，符合经济理论的要求。R20.9388，表示我们的样本回归模型对数
14、据的拟合程度达到93.88%。即进口支出波动性的93.88%被我们的模型解释了，说明我们的模型是比较好的模型。注意：注意：在实际估计中，并不是说R2越高越好，更重要的是看模型的参数估计是不是能够通过t检验和F检验（下一章内容）。483.9例子：美国的进行支出模型l显著性检验下面，我们要检验我们的回归系数是不是显著的不为0。首先，对于斜率是否为0进行检验。容易计算出其t检验值为0.245/0.014816.616，给定显著性水平a=0.05,我们计算出双侧检验临界值t0.05/2(20-2)=2.101,对于本例，我们的斜率显著为不0。如果，我们考察的备选假设是斜率大于零，我们将使用右侧检验，侧
15、给定a=0.05，我们的单侧临界值则为t0.05(20-2)=1.734, 同样我们会拒绝原假设，认为我们的斜率是大于0的。我们可以计算出我们斜率的置信区间，给定置信水平1a0.95，有即 0.2142 b1 0.2762493.10预测l我们利用1968-1987年的数据，估计出了美国的进口支出模型，那么我们能不能对未来的进行支出进行预测呢？比如，我们知道1988年的美国的个人可支配收入为2800美元，那么它1988年的平均进口支出为多少呢？利用我们前面的估计模型，我们可以计算出l1988-261.09+0.2452800425.556l1988在CLRM假设下，是E(Y1988|X)的无偏
16、估计量，但存在预测误差。那么如何估计我们的预测误差呢，我们需要求出预测值的分布。l在CLRM假设下，我们的预测值也是服从正态分布的，因此，我们计算出其均值和方差，则其分布也就得到了。下面，我们看如何求解其均值与方差。503.10预测513.10预测课本（6-58）丢掉平方平方523.10预测值的分布533.10预测值的分布543.10预测值的置信区间l我们知道了*的分布，则可以求解给定置信水平1-a下的置信区间，满足l而对于每一个X，我们都可以计算出一个预测值Y，从而可以计算出其置信区间。从而我们可以得到针对整条总体回归线的真实平均值E(Y|X)的置信区间，或置信带。553.10预测值的置信区
17、间：例子l给定预测值的分布，我们可以计算1988年总体平均消费支出的置信水平为95%的置信区间(425.556-2.101*11.47, 425.556+2.101*11.47)即(401.46, 449.65)其中，自由度为20-2=18，5%显著性水平的双侧分位数ta/2=2.101l如果我们求出总体回归曲线上的所有平均消费支出的置信区间，这些置信区间将组成一个置信带，见下文图。563.10预测值的置信区间：例子95% CI2800425.556401.46449.65从图上可以看出，置信带在 处是最窄。而离样本均值点越远，置信区间会越宽，因此，我们进行预测时，X值不能离均值 太远。* =
18、 -261.09 + 0.245 X57An Example: Determinants of College GPA (wooldridge, p128)lVariables:colGPA, college GPAskipped, the average number of lectures missed per weekACT, achievement test scorehsGPA, high school GPA58An Example: Determinants of College GPA (wooldridge, p128)l1. 高中成绩对大学成绩的影响colGPA = 1.4
19、2 + 0.48 hsGPA (0.3069) (0.0898) se. 4.61 5.67 t 0.000 0.000 p-value n=141 fd=141-2=139 R2=0.1719l高中成绩每提高1分，大学成绩平均来说会增加0.48分。即高中学习好，大学成绩也不会太差。lH0: b1 = 0 H1: b1 0|T|=0.48/0.0898=5.67 ta/2(139)=1.96, 拒绝原假设，说明在5%的水平下，高中成绩的高低显著影响大学成绩。置信区间为(0.30, 0.66)59An Example: Determinants of College GPA (wooldridg
20、e, p128)l高考成绩对大学成绩的影响colGPA= 2.40 + 0.027ACT (0.2642) (0.0109) 9.10 2.49 0.000 0.014 n=141 fd=141-2=139 R2=0.0427l高考成绩每提高2分，大学成绩会增加0.027分。l为0假设t值为2.491.96，尽管大学入学成绩对大学成绩的影响很小，但仍然有影响，因为它在5%的水平下显著不为0。l置信区间为(0.0056, 0.0485)60An Example: Determinants of College GPA (wooldridge, p128)l逃课与大学成绩colGPA= 3.15
21、0.0895 skipped (0.0428)(0.0280) 73.71 -3.20 0.0000.002 n=141 fd=141-2=139 R2=0.0685l每周逃课次数每增加1次，大学平均成绩将下降0.0895分。l我们考察一下，逃课是不是会显著的降低大学成绩呢？ 即H0: b1 = 0 H1: b1 0lT=-0.0895/0.0282=-3.20 -1.96，所以我们拒绝原假设，接受备选假设，即逃课显著的降低大学的平均成绩。尽管逃课对大学成绩的影响似乎不是很大，但影响是仍然是很显著的。l其95%的置信区间为(-0.1449, -0.0342)61summarylGoodness of fit: R2lTest of normal distributionHistogramNormal probability plotSK testJarque- Bera TestlReport of our regression modellPrediction
