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1、第第1节节 n维欧氏空间维欧氏空间Rn中的点集的初步知识中的点集的初步知识n n维欧氏空间维欧氏空间n n维欧氏空间中点列的极限与完备性维欧氏空间中点列的极限与完备性n n维欧氏空间的各类点集：开集、闭集、区域维欧氏空间的各类点集：开集、闭集、区域2009年4月1n本节将研究一种特殊的集合本节将研究一种特殊的集合n维欧氏空间维欧氏空间中的点集。中的点集。n向量空间往往成为数学研究的载体和对象。向量空间往往成为数学研究的载体和对象。n分析学科所关心的空间的结构包括度量、范分析学科所关心的空间的结构包括度量、范数、开集、闭集等。数、开集、闭集等。n本节的主要内容为本节的主要内容为n维欧氏空间中的各
2、类点集维欧氏空间中的各类点集，这将为我们研究新的积分奠定基础。这将为我们研究新的积分奠定基础。2009年4月21. n1. n维维EuclidEuclid欧氏空间欧氏空间See P.22009年4月3定义距离定义距离 2009年4月4定义定义(邻域邻域)： 向量空间向量空间Rn中所有和定点中所有和定点a的距离小的距离小于于定数定数d d的点的全体的点的全体, ,即集合即集合称为称为点点a的的d d邻域邻域,记作记作显然，在显然，在R1, R2, R3 , U(a,d d) )分别是以分别是以a为中心以为中心以d d为半为半径的开区间、开圆和开球径的开区间、开圆和开球.邻域具有如下的邻域具有如下
3、的基本性质基本性质：(1)(2) 对于对于P的两个邻域的两个邻域存在邻域存在邻域(3) 对于对于存在存在Q的邻域的邻域(4) 对于对于存在存在P和Q的邻域的邻域使得使得2. R2. Rn n中点列的极限中点列的极限2009年4月5点列的极限点列的极限(I) e-e-N式定义式定义：(II) 邻域式定义：邻域式定义：See P.2,定义定义1.12009年4月6 定理定理1.1 n维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛.See P.3定理定理1.12009年4月7例子例子2009年4月8性质：性质：1. 点列的极限是唯一的；点列的极限是唯一的；3. 点列的收敛满足线性性
4、；点列的收敛满足线性性；See P.3定理定理1.2收敛点列必为有界点集收敛点列必为有界点集2009年4月96. n维欧氏空间中的收敛点列等价于维欧氏空间中的收敛点列等价于Rn中中Cauchy点列点列See P.3 定理定理1.4See P.3 定理定理1.3,5.5.n维欧氏空间的有界点列必有收敛的子（点）列维欧氏空间的有界点列必有收敛的子（点）列. .Bolzano-Weierstrass定理定理定义定义 如果对如果对n维欧氏空间中的点列维欧氏空间中的点列2009年4月10点集的直径点集的直径：一个非空点集一个非空点集A的直径定义为的直径定义为有界点集：有界点集：一个非空点集一个非空点集A
5、称为有界集合，若称为有界集合，若直径及有界点集直径及有界点集点集的距离点集的距离两个非空点集两个非空点集A, B的距离定义为的距离定义为注：注：若若A=P*，即，即A为单点集，则可记为单点集，则可记2009年4月11欧氏空间中点集的一些基本概念欧氏空间中点集的一些基本概念区间区间若将其中的不等式全部换成若将其中的不等式全部换成则上述点集分别称为闭区间、则上述点集分别称为闭区间、左开右闭区间、左开右闭区间、左闭右开区间，统称为区间，记作左闭右开区间，统称为区间，记作I。称为称为I的第的第i个边长；个边长；称为称为I的体积，记作的体积，记作|I|.定义定义：中的点集中的点集称为一个称为一个开区间开
6、区间；2009年4月123. 3. 欧氏空间中的各类点集欧氏空间中的各类点集考虑向量空间考虑向量空间Rn中的中的点与给定点集之间的关系点与给定点集之间的关系。设设A为为Rn中的一个点集，中的一个点集，a为为Rn中的点，则中的点，则a和和A的关系的关系具有如下几种：具有如下几种：(1) a附近全是附近全是A的点，即存在的点，即存在a的某邻域的某邻域此时此时,称称a为为A的的内点内点；(2) a附近全不是附近全不是A的点，即存在的点，即存在a的某邻域的某邻域此时称此时称a为为A的的外点外点；(3) a附近既有附近既有A的点，又有不属于的点，又有不属于A的点，即对的点，即对a的任意邻域的任意邻域U(
7、a),此时称此时称a为为A的的边界点边界点，简称，简称界点界点；2009年4月13(4) a附近有附近有A的无穷多个点，即对的无穷多个点，即对a的任意邻域的任意邻域U(a),为无限集合，为无限集合，此时称此时称a为为A的的聚点聚点；(5) a附近除附近除a外没有外没有A的点，即存在的点，即存在a的邻域的邻域U(a),此时称此时称a为为A的的孤立点孤立点。2009年4月14点与点集间的关系点与点集间的关系显然，空间中任意的点显然，空间中任意的点a是且只能是上述是且只能是上述(1)(2)(3)中的一个，或者是且只能是上述中的一个，或者是且只能是上述(2)(4)(5)中的一中的一个，即个，即(1)
8、内点一定是聚点，外点一定不是聚点；内点一定是聚点，外点一定不是聚点；(2) 聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点；聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点；(3) 孤立点一定不是聚点、内点或外点，孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点一定是界点；(4) A中的点要么是聚点，要么是孤立点；中的点要么是聚点，要么是孤立点；(5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。界点要么是聚点，要么是孤立点。2009年4月15聚点聚点关于聚点，下面三条是等价的：关于聚点，下面三条是等价的：(1)a是是A的聚点；的聚点；(2)a的任意邻域内，至少含有一个属于的任意邻域内，至少含有一个属于A而而异于异于a点；
9、点；(3)存在存在A中互异的点所成的点列中互异的点所成的点列See P.4定义定义1.22009年4月16内部、边界、外部、导集、闭包内部、边界、外部、导集、闭包定义定义：(1) A的的全体内点全体内点所成的集合，称为所成的集合，称为A的的内部内部，记作记作(3) A的的全体外点全体外点所成的集合，称为所成的集合，称为A的的外部外部，记作，记作(2) A的的全体边界点全体边界点所成的集合，称为所成的集合，称为A的的边界边界，记，记作作2009年4月17(5) A与与A的导集的并集，称为的导集的并集，称为A的的闭包闭包，记作，记作闭包是一个非常重要的概念，我们有如下结论：闭包是一个非常重要的概念
10、，我们有如下结论：这样可知：这样可知：See P.4定义定义1.2See P.6例例1.1-1.2(4) A的的全体聚点全体聚点所成的集合，称为所成的集合，称为A的的导集导集，记作，记作2009年4月18开集和闭集开集和闭集定义定义：若集合：若集合A的每一点都是的每一点都是A的内点，则称的内点，则称A为为开集开集； 若集合若集合A的每一个聚点都属于的每一个聚点都属于A，则称，则称A为为闭集闭集.开集和闭集是最重要的两类点集，它们具有以下的性质：开集和闭集是最重要的两类点集，它们具有以下的性质：(1) 对任意的点集对任意的点集A，(2) 点集点集A是开集当且仅当是开集当且仅当A是闭集当且仅当是闭
11、集当且仅当(3)See P.6定义定义1.52009年4月19(4) 若若A为开集，则为开集，则A的余集为闭集，若的余集为闭集，若A为闭集，为闭集， 则则A的余集为开集的余集为开集；(5) 任意多个开集的并集以及有限多个开集的交集任意多个开集的并集以及有限多个开集的交集仍为开集；任意多个闭集的交集以及有限多个闭集仍为开集；任意多个闭集的交集以及有限多个闭集的并集仍为闭集；的并集仍为闭集；(6) 对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两个互不相交的开集分别包含这两个闭集。个互不相交的开集分别包含这两个闭集。See P.7定理定理1.6See P.8定理定理1.
12、72009年4月20Rn中的有界集和紧集中的有界集和紧集See P.9定义定义1.6定义定义(连通集连通集)2009年4月21开域、闭域、区域开域、闭域、区域开域开域若非空开集若非空开集 A 具有具有连通性连通性, 即即 A中任意两中任意两 点之间都可用一条完全含于点之间都可用一条完全含于A的有限折线相连接的有限折线相连接, 则称则称 A 为开域为开域. 简单地说简单地说, 开域就是非空连通开集开域就是非空连通开集. 闭域闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域开域连同其边界所成的集合称为闭域. 区域区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合成的集合, 统
13、称为区域统称为区域. 不难证明不难证明: 闭域必为闭集闭域必为闭集; 而闭集不一定为闭域而闭集不一定为闭域. See P.9定义定义1.72009年4月22凸区域凸区域 若区域若区域 D 上任意两点的连线都含于上任意两点的连线都含于 D, 则称则称 D 为凸区域为凸区域 (如图如图). 这就是说这就是说, 若若 D 为为 一切一切 恒有恒有 凸凸 非凸非凸 2009年4月23例例1，在平面在平面R2上上开区域开区域闭区域闭区域2009年4月24 整个平面整个平面 点集点集 是开集，是开集， 是最大的开域是最大的开域 , 也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域 .o 对区域对区域 D
14、, 若存在正数若存在正数 K , 使一切点使一切点 M D 与某定点与某定点 A 的距离的距离 AM K ,则称则称 D 为为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为否则称为无无2009年4月25例例2 以下两种说法在一般情形下为什么是以下两种说法在一般情形下为什么是错错的的? (i) 既然说开域是既然说开域是“非空连通开集非空连通开集”，那么闭域就是，那么闭域就是 “非空连通闭集非空连通闭集”；(ii) 要判别一个点集要判别一个点集是否是闭域是否是闭域, 只要看其去除只要看其去除 边界后所得的是否为一开域边界后所得的是否为一开域, 即即 答答 (i) 例如取例如取 这是一个非空连这是一个非空连
15、 通闭集通闭集. 但因它是第一和第三象限的集合但因它是第一和第三象限的集合 G 与其边与其边 界界 (二坐标轴二坐标轴) 的并集的并集 (即即), 而而 G 不是不是 开域开域, 故故 S 不是闭域不是闭域 (不符合闭域的定义不符合闭域的定义). 2009年4月26(a) (b) (c) (ii) 如图所示如图所示, 集为集为 (c) 中的点集为中的点集为 易见易见 E 为一开域为一开域, 据定义据定义 F 则为闭域；然而则为闭域；然而 (a)中的点集为中的点集为 D; (b)中的点中的点显然不符合它为闭域的定义显然不符合它为闭域的定义. 由此又可见到由此又可见到:2009年4月27复 习 思
16、 考 题 1. 试问在试问在 R 中的开集、闭集、开域、闭域、区域中的开集、闭集、开域、闭域、区域 等集合是实直线上怎样一些点集？等集合是实直线上怎样一些点集？ 2. 设设 E, F 分别是分别是 R2 中的开集和闭集试问在中的开集和闭集试问在 R3 中中 E 是否仍为开集？是否仍为开集？F 是否仍为闭集？是否仍为闭集？ 3. R 中的单调有界性定理和确界原理中的单调有界性定理和确界原理, 为什么在为什么在 R2 中没有直接对应的命题？中没有直接对应的命题？4. 为什么说为什么说 “在一切平面点集中，只有在一切平面点集中，只有 R2 与与 是既开又闭的点集是既开又闭的点集” ？ 2009年4月28个人观点供参考，欢迎讨论
