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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2024-08-31,#,人教版,2019,高一数学（,选修一,）第三章圆锥曲线的方程,3.1.1,椭圆及其标准方程,目录/CONTENTS,新知探究,情景导入,学习目标,课堂小结,随堂检测,错因分析,1.,理解椭圆的定义及椭圆的标准方程,(,重点,),2.,掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程,(,重点,),3.,理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题,(,难点,),学习目标,哈雷彗星,(,周期彗星表编号,:1P/Halley),是每,76,.,1,年环绕太阳一周的周期彗星,肉眼可以看到
2、,.,因英国物理学家爱德蒙,哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名,.,哈雷彗星的轨道周期为,7679,年,下次过近日点时间为,2061,年,7,月,28,日,.,天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢,?,原来,这颗彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行的周期及轨道的周长,预测它接近地球或离去的时间,.,情景导入,探究,取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点,F,1,F,2,套上铅笔,拉紧绳子
3、,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?,在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?,通过动画演示可知，画出的轨迹是,椭圆,.,在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是：,移动的笔尖,M,(动点)到固定在图板上的两定点,F,1,F,2,的距离之和是定值,并且这个定值大于两定点间的距离，即,由此可得椭圆的定义,.,新知探究,1.,椭圆的定义,平面内与两个定点,F,1,F,2,的,距离的和等于常数,(,大于,|,F,1,F,2,|),的点的轨迹叫,椭圆,.,这两个定点,F,1,F,2,叫做,椭圆的焦点,，两焦点之间的距离,|,F,1,F,2,|,叫做,椭圆的焦距,.,焦距的一半称为半
4、焦距,.,思考,1,动点的轨迹是椭圆应满足什么条件？,在平面内,-(,这是前提条件,),；,动点,M,到两个定点,F,1,F,2,的距离之和是常数；,动点,M,的轨迹是线段,F,1,F,2,；,动点,M,没有轨迹,.,F,1,F,2,M,下面我们根据椭圆的几何特征,选择适当的坐标系,建立椭圆的方程.,概念归纳,下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，推导椭圆方程，并通过方程研究椭圆的性质,.,F,1,F,2,M,x,y,O,如图示,建立平面直角坐标系,.,设,M,(,x,y,),是椭圆上任一点,椭圆的,焦距为,2,c,(,c,0),M,与,F,1,F,2,的,距离的和等于常数,2,a,(
5、,a,0),则,(,x,y,),由定义知：,化简整理得,由椭圆定义知：,为了使方程形式更简单：,我们把方程叫做,椭圆的标准方程,.,思考,2,观察图,你能从中找出表示,a,b,c,的线段吗？,由图可知，,F,1,F,2,M,x,y,O,(,x,y,),如图示,若椭圆的,焦点在,x,轴,上,则椭圆的标准方程为,其中焦点坐标为,F,1,(,c,0),F,2,(,c,0),c,2,a,2,b,2,.,F,1,F,2,P,x,y,O,c,a,b,2.,椭圆的标准方程,新知探究,思考,3,如图示,如果焦点,F,1,F,2,在,y,轴上,且,F,1,F,2,的坐标分别为(,0,c,),(,0,c,),a,
6、b,的意义同上,那么椭圆的方程是什么?,F,1,F,2,M,x,y,O,F,1,F,2,M,x,y,O,(,x,y,),(,焦点在,x,轴上,),(,焦点在,y,轴上,),定义,焦点位置,图形,方程,特点,共同点,不同点,F,1,F,2,M,x,y,O,F,1,F,2,M,x,y,O,焦点在,x,轴上,焦点在,y,轴上,概念归纳,1.,不同方法求椭圆的标准方程,课本例题,解,1:(,定义法,),你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点,1.,根据下列条件,求椭圆的标准方程,.,(1),两个焦点的坐标分别为,(,-,4,0),和,(4,0),且椭圆经过点,(5,0);,(2),焦点
7、在,y,轴上,且经过两个点,(0,2),和,(1,0);,(3),经过点,A,(,-,2),和点,B,(,-,2 ,1,),.,思路分析,(1),设出焦点在,x,轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出,a,b,的值,即可求得方程,;(2),设出焦点在,y,轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出,a,b,的值,即可求得方程,;(3),焦点位置不确定,可以分两种情况分别求解,也可直接设所求椭圆方程为,mx,2,+ny,2,=,1(,m,0,n,0,m,n,),.,练一练,椭圆方程的求法,(1),利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下,:,先确定焦点位置,;,设出方程,;,寻求,a,b,c,的等量关
8、系,;,求,a,b,的值,代入所设方程,.,(2),焦点位置不确定时,可设椭圆方程为,mx,2,+ny,2,=,1(,m,n,m,0,n,0),.,因为焦点位置包括焦点在,x,轴上,(,mn,),两种情况,所以可以避免分类讨论,从而简化运算,.,归纳总结,设点,M,的坐标为(,x,y,)，点,P,的坐标为(,x,0,y,0,)，则点,D,的坐标为(,x,0,0).,由点,M,是线段,PD,的中点，得,x,y,P,M,O,D,寻求点,M,的坐标,(,x,y,),中,x,y,与,x,0,y,0,之间的关系,然后消去,x,0,y,0,得到点,M,的轨迹方程,.,这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法
9、,.,利用信息技术,可以更方便地探究点,M,的轨迹的形状,.,解,1,：,(,相关点代入法,),例,2,如图，在圆,上任意一点,P,过点,P,作,x,轴的垂线段,PD,D,为垂足,.,当点,P,在圆上运动时,线段,PD,中点,M,的轨迹是什么？,为什么？,2.,不同方法求轨迹方程,课本例题,x,y,P,M,O,D,解,2,：,(,参数法,),P,在圆,x,2,+,y,2,=4,上，,可设,P,(2cos,2sin,),消去参数,，得,点,M,的轨迹是一个椭圆,.,设 点,M,的坐标为,(,x,y,),由题意有,例,2,如图，在圆,上任意一点,P,过点,P,作,x,轴的垂线段,PD,D,为垂足,
10、.,当点,P,在圆上运动时,线段,PD,中点,M,的轨迹是什么？为什么,？,思考,由例2我们发现，可以由圆通过,“,压缩,”,得到椭圆.你能由圆通过,“,拉伸,”,得到椭圆吗?如何,“,拉伸,”,?由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗?,x,y,P,M,O,D,x,y,P,M,O,D,例,3,x,y,B,M,O,A,解:,设点,M,(,x,y,)，由,A,(-5,0),B,(5,0)，可得,解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法,1.,直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件,M,|,p,(,M,),直接翻译成,x,，,y,的形式,，,即,F,(,x,，,y,),0,
11、，,然后进行等价变换,，,化简为,f,(,x,，,y,),0.,2.,定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件,，,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义,，,则用待定系数法求解即可,3.,相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,，,只要把所求动点的坐标,“,转移,”,到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,，,即可解决问题,，,这种方法称为相关点法,归纳总结,2.,一个动圆与圆,Q,1,:(,x+,3),2,+y,2,=,1,外切,与圆,Q,2,:(,x-,3),2,+y,2,=,81,内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程,.,思路分析,两圆相切
12、时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,由此可以找到动圆圆心满足的条件等式,.,解,两定圆的圆心和半径分别为,Q,1,(,-,3,0),r,1,=,1;,Q,2,(3,0),r,2,=,9,.,设动圆圆心为,M,(,x,y,),半径为,R,由题意有,|MQ,1,|=,1,+R,|MQ,2,|=,9,-R,|MQ,1,|+|MQ,2,|=,10,|Q,1,Q,2,|=,6,.,由椭圆的定义可知点,M,在以,Q,1,Q,2,为焦点的椭圆上,且,a=,5,c=,3,b,2,=a,2,-c,2,=,25,-,9,=,16,.,练一练,1,.,若动点轨迹满足椭圆的定义,则根据椭圆的定义来确定,a,b,c,从
13、而确定椭圆的标准方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法,.,2,.,一般步骤,:,(1),将条件转化为到两定点的距离之和为定值,(,该定值大于两定点之间的距离,);,(2),判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴,;,(3),确定椭圆的基本量,a,b,c,从而确定椭圆的标准方程,.,归纳总结,典例剖析,题型一,:,根据椭圆方程求参数的取值,范围,例,(1),若,方程,表示,椭圆,则实数,m,的取值范围是,(,),A.(,-,9,25)B.(,-,9,8),(8,25),C.(8,25),D,.(8,+,),(2),若方程,x,2,-,3,my,2,=,1,表示焦点在,x,轴上的椭圆,则实数
14、,m,的取值范围是,.,归纳总结,根据椭圆方程求参数的取值,范围,题型二：椭圆中的焦点三角形问题,典例剖析,思路分析,(1),由,|PF,1,|+|PF,2,|,是定值,求,|PF,1,|,|PF,2,|,的最大值,可考虑用基本不等式,;(2),求焦点三角形的面积,可考虑用定义,|PF,1,|+|PF,2,|=,2,a,及余弦定理先求,|PF,1,|,|PF,2,|,再考虑用三角形面积公式求面积,.,即,12,2,=|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,-|PF,1,|,|PF,2,|.,|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,=,(,|PF,1,|+|PF,2,|,),2,-,2,|P
15、F,1,|,|PF,2,|,12,2,=,(,|PF,1,|+|PF,2,|,),2,-,3,|PF,1,|,|PF,2,|,12,2,=,20,2,-,3,|PF,1,|,|PF,2,|,归纳总结,1,.,焦点三角形的概念,如图,设,M,是椭圆上一点,F,1,F,2,为椭圆的焦点,当点,M,F,1,F,2,不,在同一条直线上时,它们构成一个三角形,焦点三角形,.,2,.,关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出,|PF,1,|+|PF,2,|=,2,a,利用这个关系式转化求解,.,因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法,.,在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等
16、,.,3,.,焦点三角形的常用公式,(1),焦点三角形的周长,L=,2,a+,2,c.,(2),在,MF,1,F,2,中,由余弦定理可得,|F,1,F,2,|,2,=|MF,1,|,2,+|MF,2,|,2,-,2,|MF,1,|MF,2,|,cos,.,(3),焦点三角形的,面积,(,选择题、填空题可直接应用此公式求解,),题型三：求与椭圆有关的轨迹问题,典例剖析,例,.,已知,B,C,是两个定点,|BC|=,8,且,ABC,的周长等于,18,.,求这个三角形的顶点,A,的轨迹方程,.,解,以过,B,C,两点的直线为,x,轴,线段,BC,的垂直平分线为,y,轴,建立平面直角坐标系,xOy,如图所示,.,由,|BC|=,8,可知点,B,(,-,4,0),C,(4,0),.,由,|AB|+|AC|+|BC|=,18,得,|AB|+|AC|=,10,8,=|BC|,因此,点,A,的轨迹是以,B,C,为焦点的椭圆,这个,椭圆上,的,点与两焦点的距离之和,2,a=,10,焦距,2,c=,8,但点,A,不在,x,轴上,.,由,a=,5,c=,4,得,b,2,=a,2,-c,2,=,25,-,16
