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1、1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 第一章 解三角形高中新课程数学必修第一课时问题提出1.在直角三角形中，三边a，b，c，及锐角A，B之间有怎样的数量关系？ ABC abc3.对于直角三角形，我们可利用上述原理进行有关计算.对于一般三角形中边和角的关系，我们需要建立相关理论进行沟通，这是一个有待探究的课题.2.三角形是最根本的几何图形，许多与测量有关的实际问题，都要通过解三角形来解决.如船在航行中测量海上两个岛屿之间的距离；飞机在飞行中测量一座山顶的海拔高度；在地面上测量顶部或底部不可到达的建筑物的高度；测量在海上航行的轮船的航速和航向等. 知识探究一：正弦定理的形成 思考1：在
2、RtABC中，C90，BCa，ACb，ABc，则sinA，sinB，sinC分别等于什么？CABabc思考2：将上述关系变式，边长c 有哪几种表示形式？由此可得什么结论？CABabc思考3： 可变形为 , 在锐角ABC中，该等式是否成立？为什么？CABabD思考4：假设C为钝角， 是否成立？假设A为钝角， 是否成立？假设B为钝角， 是否成立？ CABabCABabDD思考5：在任意三角形中，同理可得， , 因此有该连等式称为正弦定理.如何用文字语言描述正弦定理？在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.知识探究二：正弦定理的向量证明 思考1：在ABC中，向量 ， ， 之间有什么关系？ CA
3、Bab思考2：假设A为锐角，过点A作单位向量i，使i ,那么向量i与 , , 的夹角分别是什么？CABabi思考3：由 可得什么结论？CABabi思考4：假设A为钝角，上述推理过程有什么变化？所得结论如何？CABabi思考5：假设证明 ，应如何作单位向量i？ CAcbBi理论迁移例1 在ABC中，A=32.0，B=81.8，解三角形. C=66.2，c74.1 cm. 例2 在ABC中，a=20cm，b=28cm，A=40，解三角形. 例3 在ABC中，a=60cm，b=50cm，A=38，解三角形. ，B64，C=76，c30 cm；或B116，C=24，c13 cm. ，B31，C=111
4、，c91 cm 小结作业1.三角形的三个内角及其对边叫做三角形的元素，三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.2.正弦定理的外在形式是公式，它由三个等式组成即 ， ， 每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系. 3.利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题：一类是两角和一边解三角形；另一类是两边和其中一边的对角解三角形.对于第二类问题，要注意确定解的个数.作业：P4 练习 ：1, 2.1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理第二课时问题提出 1.正弦定理的外在形式和数学意义分别是什么？在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.2.在解三角形中，利用正弦定理可以解决哪两类问题
5、？两角和一边解三角形；两边和其中一边的对角解三角形.3.在正弦定理中， 有什么几何意义？利用正弦定理可以得到哪些相关结论？这需要我们作进一步了解和探究，加深对正弦定理的理性认识.3.在正弦定理中，3.在正弦定理中，探究一：正弦定理的几何意义思考1：在直角三角形ABC中， 等于什么？CABabc3.在正弦定理中，3.在正弦定理中，思考2：如图，作ABC的外接圆，你能构造一个一条直角边长为a，其对角大小为A的直角三角形吗？ DCABaO思考3：设ABC的外接圆半径为R，则 等于什么？ 思考4：如图，假设A为钝角，上述结论还成立吗？假设A为直角呢？DCABaO探究二：正弦定理的变式拓展思考1：在三角
6、形中有“大边对大角原理，如何利用正弦定理进行理论解释？思考2：利用等比定理，正弦定理可作哪些变形？思考3：利用正弦定理如何求三角形的周长？思考4：设ABC的外接圆半径为R，则其面积公式 可以作哪些变形？ 思考5：在ABC中，设A的平分线交BC边于点D，那么 角平分线定理，你能用正弦定理证明这个结论吗？CABD理论迁移 例1 在钝角ABC中，已知AB= ，AC=1，B=30，求ABC的面积. 例2 在ABC中，已知 ，sinB=sinC，且ABC的面积为 ，求c边的长. 例3 在ABC中，acosB=bcosA，试确定ABC的形状.等腰三角形 例4 在ABC中，已知 ，求角A的值.120 小结作
7、业1.正弦定理是以三角形为背景的一个根本定理，它不仅可以用来求三角形的边角值，而且可以在三角变换中实现边角转化，是解决三角形问题的一个重要工具.2.正弦定理的应用具有一定的灵活性，在处理三角形的边角关系时，利用a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，可到达化边为角的目的.3.正弦定理不是万能的，如三角形的三边长，利用正弦定理就不能求出三个内角，因此我们还需要建立新的理论.欲知后事如何，且听下回分解.作业：P10习题1.1 A组：2. B组：2.1.1 正弦定理和余弦定理1.1.2 余弦定理第一课时问题提出1.正弦定理的外在形式是什么？其数学意义如何？在一个三角形中，各边和它所对角
8、的正弦之比相等.2.假设三角形的两边及其夹角或三边，能否用正弦定理解三角形？3.对于上述问题，需要建立一个新的数学理论才能解决，这是我们要研究的课题.探究一：余弦定理的推导思考1：根据平面几何中两个三角形全等的判定定理，确定一个三角形可以是哪些条件？边、角、边角、边、角边、边、边思考2：在ABC中，边a，b和角C，从向量的角度考虑，可以求出什么？cCABab思考3：c边的长即为 ，向量 与 ， 有什么关系？思考4：如何将 转化为c与a，b，C的关系？思考5：根据上述推导可得， ，此式对任意三角形都成立吗？cCABab思考6：如下图建立直角坐标系，点A，B的坐标分别是什么？根据两点间的距离公式可
9、得什么结论？CABabxy A(bcosC，bsinC)B(a，0)思考7：通过类比，a2，b2分别等于什么？思考8：上述三个等式称为余弦定理.如何用文字语言描述余弦定理？ 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍. 探究二：余弦定理的变式思考1：在ABC中，若已知边a，b和角C，如何求边c和角A，B？cCABab思考2：三角形的三边a，b，c，求三内角A，B，C，其计算公式如何？思考3：上述三个公式是余弦定理的推论，如何通过三边的大小关系判断A是锐角、直角还是钝角？思考4：假设边a，b和角A，能直接用余弦定理求边c吗？ cCABab思考5：结合正弦定理
10、， 可作什么变形？理论迁移 例1 在ABC中，b=60cm，c=34cm，A=41，解三角形.a2，a41cm，C33，B106. 例2 在ABC中，解三角形.，A5620，B3253，C9047. 例3 在ABC中，a= ，b= ，B=30，求边长c的值.4 例4 ABC的周长为20，A=30，a=7，求这个三角形的面积.小结作业1.余弦定理及其推论，把用“边、角、边和“边、边、边判定三角形全等的原理，从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式.2.余弦定理的主要作用是两边一角求边，或三边求角，所得结论是唯一的.同时，利用余弦定理也可以实现边角转化.3.余弦定理及其推论共有六个根本公
11、式，应用时要注意适中选取，有时可结合正弦定理求解.作业：P8练习：1，2.1.1 正弦定理和余弦定理1.1.2 余弦定理第二课时知识整理1.余弦定理的外在形式和数学意义分别是什么？ 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍. 2.在三角形的六个根本元素中，哪三个元素可以解三角形？3.针对上述类型，分别用哪个定理求解为宜？一边两角：正弦定理； 两边及夹角：余弦定理； 两边及对角：正弦定理； 三边：余弦定理.一边两角，两边一角，三边. 应用举例 例1 在ABC中， (sinAsinC)(sinAsinC) sinB(sinBsinC)，求角A的值.120 例2 在ABC中，已知ac2b， B30，面积为 ，求b的值. 例3 在ABC中，C30，求 的值. 例4 在ABC中，求证： 例5 在ABC中，求证： 例6 在ABC中，求证： 小结作业1.以三角形为背景求值或证明三角等式，是三角变换中的两个根本问题，活用正、余弦定理，从整体进行变形和运算，是解题的根本思想.2.利用正、余弦定理化边为角，或者化角为边，是处理三角形中三角变换问题的根本策略，是实现三角运算与代数运算相互转化的主要手段.作业：P10习题 A组：3.
