《线性代数子空间》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数子空间（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、则称则称 为为 的的子空间子空间.如果如果 满足性质：满足性质：定义定义4.4.1 是是 的非空子集，的非空子集， 简单地讲，子空间是对加法和数乘运算封闭的简单地讲，子空间是对加法和数乘运算封闭的 的非空子集的非空子集. 加上定义在其上的向量的加法和数乘运算是加上定义在其上的向量的加法和数乘运算是n维向量空间维向量空间.必要条件必要条件4.4 子空间子空间例例4.4.1 若若 则则 是是 的的子空间子空间.对任意对任意 有有证明：零向量显然在证明：零向量显然在H中中. 任取任取H中两个向量中两个向量有有由定义，由定义，H是是 的子空间。的子空间。定理定理4.4.1 若若是是 的子空间的子空间.
2、一般地，我们有一般地，我们有命题：等价向量组生成相同的子空间命题：等价向量组生成相同的子空间.例例4.4.2 过原点的直线是一维子空间，不过原点过原点的直线是一维子空间，不过原点的直线不是子空间的直线不是子空间.例例4.4.3 在（欧式）空间中，设在（欧式）空间中，设均是均是的子空间的子空间.XY平面平面XZ平面平面YZ平面平面一般地，过原点的平面是子空间的一个直观描述一般地，过原点的平面是子空间的一个直观描述.两个特殊的子空间：两个特殊的子空间：例：判别下列集合是否为向量空间例：判别下列集合是否为向量空间.解：解：所以，所以， 是向量空间。是向量空间。(2) 不是向量空间。不是向量空间。下面
3、引入两个与矩阵下面引入两个与矩阵A有关的重要的子空间有关的重要的子空间. .定义定义4.4.2 设设A是是mn矩阵，矩阵，A的列空间的列空间ColA是是A的列向量的所有可能的线性组合构成的的列向量的所有可能的线性组合构成的集合集合.易知易知因此，因此，ColA也称为也称为A的值域空间的值域空间Range(A).定理定理4.4.2 mn矩阵矩阵A的列空间的列空间ColA是是 的的子空间子空间.记 则例例4.4.4因此，方程组因此，方程组 相容，相容，b在在ColA中中.判断判断b是否在是否在ColA中中.解：解：b在在ColA中当且仅当方程组中当且仅当方程组 有解有解.定义定义4.4.3 设设A
4、是是mn矩阵，矩阵，A的零空间的零空间NulA是齐次线性方程组是齐次线性方程组Ax=0的所有解向量构成的所有解向量构成的集合的集合. 即即定理定理4.4.3 矩阵矩阵A的零空间的零空间NulA是是 的子空间的子空间. 等价地，等价地，m个方程个方程n个未知量的齐次线性方程个未知量的齐次线性方程组组Ax=0的解集是的解集是 的子空间，称为的子空间，称为Ax=0的的解空间解空间.证明：显然，证明：显然，0在在NulA中中.所以所以NulA是是 的子空间的子空间.任意实数任意实数k，任取任取NulA中两个向量中两个向量例例4.4.5 求求NulA的一个生成集的一个生成集.解：首先，利用初等变换可化解：首先，利用初等变换可化A为行最简形为行最简形取取 为自由变量，则解为：为自由变量，则解为：然后，将一般解分解为以自由变量为权的向量然后，将一般解分解为以自由变量为权的向量的线性组合（解的参数形式）：的线性组合（解的参数形式）：则则 是是NulA的生成集的生成集.
