专题10集合论的创立与发展

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1、专题专题10 集合论的创立与发展集合论的创立与发展教育硕士教育硕士 林清峰林清峰1 19世纪世纪, ,由德国数学家康托由德国数学家康托（G.Cantor，18451918）建立的集合论是关于无穷集合与建立的集合论是关于无穷集合与超穷数的数学理论，是人类思想超穷数的数学理论，是人类思想史上最伟大的创造之一。史上最伟大的创造之一。 2一、无穷是什么？n神秘莫测的，无边无际的，苍穹一样的神秘莫测的，无边无际的，苍穹一样的 迷人的，迷人的，n诗人，作家，艺术家，神学家，科学家诗人，作家，艺术家，神学家，科学家 数学家数学家 3从一粒沙子看世界，从一粒沙子看世界，从一朵野花看苍穹，从一朵野花看苍穹，把无

2、穷掌握在你的手中，把无穷掌握在你的手中，把永恒掌握在顷刻之中。把永恒掌握在顷刻之中。威廉威廉布莱克（布莱克（William BlakeWilliam Blake）英国著名诗人）英国著名诗人 诗作诗作天真的预言天真的预言（节选）（节选） 无穷是什么？无穷是什么？45数的概念演进数的概念演进n经历四次飞跃：经历四次飞跃：n区别一与多区别一与多n区别少数与大数区别少数与大数n区别有穷数与无穷数区别有穷数与无穷数n区别无穷数的不同层次区别无穷数的不同层次n每一次飞跃代表对数、对无穷的新认识。每一次飞跃代表对数、对无穷的新认识。 无穷是什么？无穷是什么？6n阿基米德（阿基米德（Archimedes 28

3、7-212 B.C.）在）在数沙者数沙者（The Sand Reckoner）中定出一种计算地球上所有）中定出一种计算地球上所有海滩上的沙粒数目的方法，从而纠正了海滩上的沙粒数目的方法，从而纠正了认为海滩上的沙粒数目是无穷的想法。认为海滩上的沙粒数目是无穷的想法。 无穷是什么？无穷是什么？7二、关于无穷集合的早期认识二、关于无穷集合的早期认识n希腊人希腊人 通常认为无穷是不能接受的概念，它是通常认为无穷是不能接受的概念，它是一个不着边际且不确定的东西。一个不着边际且不确定的东西。亚里士多德（亚里士多德（Aristotle，384322 B.C.） n潜无穷与实无穷潜无穷与实无穷n地球的年龄地球

4、的年龄n正整数正整数n整数整数8两种无穷观两种无穷观n亚里士多德在他的亚里士多德在他的物理学物理学中得中得出的结论是：出的结论是：“可选择的是无限具可选择的是无限具有潜性的存在有潜性的存在不会存在实无限。不会存在实无限。”他坚持认为数学中不需要后者。他坚持认为数学中不需要后者。 关于无穷集合的早期认识关于无穷集合的早期认识9无限无限悖论栖身之处悖论栖身之处n亚里士多德只承认有穷数的存在。他和亚里士多德只承认有穷数的存在。他和经院哲学家们使用的一个典型论据是，经院哲学家们使用的一个典型论据是，如果承认无穷，就会导致有穷数的如果承认无穷，就会导致有穷数的“湮湮灭灭”。 n普洛克鲁（普洛克鲁（Pro

5、clusProclus，410410485 A.D.485 A.D.）n伽利略（伽利略（GalileoGalileo，1564156416421642） 两门新科学两门新科学(1638(1638） “所所有有无无穷大大量量都都一一样，不不能能比比较大大小小。”关于无穷集合的早期认识关于无穷集合的早期认识10n许许多多数数学学家家像像谈谈论论数数一一样样谈谈论论无无穷穷，却却并没有弄清它的概念或确定它的性质。并没有弄清它的概念或确定它的性质。n欧拉欧拉 代数学代数学(1770(1770年年) ) 1/01/0是是无无穷大大（而而他他并并没没有有定定义无无穷，只只是用符号表示它）是用符号表示它）

6、2/02/0关于无穷集合的早期认识关于无穷集合的早期认识11n笛笛卡卡尔尔说说过过：“无无穷穷可可以以被被认认知知，但但不不能被理解。能被理解。”n高高斯斯在在18311831年年写写给给舒舒马马赫赫的的信信中中说说：“我我反反对对把把无无穷穷量量作作为为现现实实的的实实体体来来用用，在在数数学学中中这这是是永永远远不不能能允允许许的的，无无限限只只不不过过是是一一种种说说话话方方式式，我我们们所所说说的的极极限限是是指指，某某些些比比可可以以随随意意地地接接近近它它，而而其其他的则被允许无界地增加。他的则被允许无界地增加。”关于无穷集合的早期认识关于无穷集合的早期认识12n柯柯西西（Cauc

7、hy,Augustin-Louis Cauchy,Augustin-Louis 17891789 18571857）n拒拒绝绝承承认认完完成成的的无无限限集集合合的的存存在在，其其根根据据就就是是有有这这类类悖悖论论：一一个个完完成成的的无无限限集集合能与其本身的真正部分建立一一对应。合能与其本身的真正部分建立一一对应。13有限集合有限集合n大小的比较大小的比较 “整体大于部分整体大于部分” 欧几里得欧几里得十条公设最后一条十条公设最后一条n计数的根据计数的根据 波吕斐摩斯的故事波吕斐摩斯的故事 利用一一对应概念作为计数根据的最早的文利用一一对应概念作为计数根据的最早的文字记载之一。字记载之一

8、。 荷马史诗荷马史诗记载记载荷马（荷马（Homeros) 约约9-8B.C. 古希腊诗人古希腊诗人有限集合的早期认识有限集合的早期认识 14n当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕斐摩斯并当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕斐摩斯并离开库克罗普斯国以后，那个不幸的盲离开库克罗普斯国以后，那个不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子。晚上母羊从一堆石子中捡起一颗石子。晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，石子。当他把早

9、晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全返回了山洞。他就确信所有的母羊全返回了山洞。 15结绳记数成为人类早期表示记数的方法结绳记数成为人类早期表示记数的方法图：日本琉球群岛的结绳图：日本琉球群岛的结绳16三、无穷集合论的创立三、无穷集合论的创立n波尔查诺（波尔查诺（B.Bolzano ，17811848，捷，捷克）克） n无穷的悖论无穷的悖论（1851）17n实无穷集合实无穷集合n两个集合等价的概念，即后来叫做两个集合元两个集合等价的概念，即后来叫做两个集合元素之间的一一对应关系，适用于有限集合，也素之间的一一对应关系，适用于有限集合，也适用于无限集合适用于无限集合n无穷集合中部分或子集可

10、以等价于整体无穷集合中部分或子集可以等价于整体n对于无穷集合同样可以指定一个数叫超限数，对于无穷集合同样可以指定一个数叫超限数，使不同的无穷集合有不同的超限数，但他认为使不同的无穷集合有不同的超限数，但他认为对于超限数无需计算，所以不用深入研究它们。对于超限数无需计算，所以不用深入研究它们。 无穷集合论的创立无穷集合论的创立18n为了说明这种等价关系的真实存在，他为了说明这种等价关系的真实存在，他举出了大量实例举出了大量实例. n例如，在实数集例如，在实数集 0，5 与实数集与实数集 0,12 之间可以建立之间可以建立 11 对应关系对应关系 无穷集合论的创立无穷集合论的创立19n直直到到19

11、世世纪纪上上半半叶叶，虽虽然然数数学学家家要要处处理理无无穷穷集集合合，例例如如无无穷穷级级数数、实实数数、自自然然数数，等等等等；但但是是，他他们们一一般般都都避避开开存存在在完成的集合的假定后面的麻烦问题。完成的集合的假定后面的麻烦问题。无穷集合论的创立无穷集合论的创立20n康托集合论的起源康托集合论的起源n1919世世纪纪, ,分分析析的的严严密密化化使使人人们们必必须须考考虑虑，收收敛敛的的无无穷穷级级数数（有有一一个个有有限限和和）和和那那些些发发散散级级数数的的区区别别。在在这这些些级级数数中中，三三角角函函数数的的无无穷穷级级数数，即即以以傅傅立立叶叶命命名名的的傅立叶级数，起了

12、极其重要的作用。傅立叶级数，起了极其重要的作用。无穷集合论的创立无穷集合论的创立21n傅立叶（傅立叶（J.B.J.Fourier ，17681830，法国），法国）n 1807年年 “对任意给定的函数都可以对任意给定的函数都可以用一具有特殊类型的系数的三角级数表用一具有特殊类型的系数的三角级数表示示” 被称为傅立叶级数被称为傅立叶级数 n成为数学分析与数学物理中强有力的工成为数学分析与数学物理中强有力的工具具, ,但在当时被认为是缺乏严格性的。但在当时被认为是缺乏严格性的。无穷集合论的创立无穷集合论的创立22“ 集合论，至少部分是起源于黎曼集合论，至少部分是起源于黎曼（RiemannRiema

13、nn）等人对于三角级数丰富的研究）等人对于三角级数丰富的研究以及对不连续函数的分析。狄里克莱以及对不连续函数的分析。狄里克莱（DirichletDirichlet）, ,李普希兹（李普希兹（LipschitzLipschitz），），汉凯尔（汉凯尔（HankelHankel）等人都对探索三角级数问）等人都对探索三角级数问题时引进例外点集，但主要是因为他们大体题时引进例外点集，但主要是因为他们大体上是在三角级数的范围内考虑问题，虽然所上是在三角级数的范围内考虑问题，虽然所作的大量工作包含了集合论的思想，只是在作的大量工作包含了集合论的思想，只是在对函数分析时充当辅助性手段对函数分析时充当辅助性手

14、段 ”无穷集合论的创立无穷集合论的创立23n柯西（柯西（A.L.Cauchy，17891857）n1823年，试图建立更严格的傅立叶级数理论，年，试图建立更严格的傅立叶级数理论，但他的许多论证是不充分的。但他的许多论证是不充分的。n狄里希雷（狄里希雷（P.G.L.Dirichlet P.G.L.Dirichlet ，1805180518591859）n18291829年年，发发表表了了一一篇篇关关于于傅傅立立叶叶级级数数的的论论文文，其其中中证证明明，对对于于一一个个给给定定的的函函数数，只只要要它它是是连连续续的的，就就完完全全可可以以由由它它的的傅傅立立叶叶级级数数表表示示，端端点点可可能

15、能除除外外，而而在在不不连连续续点点和和端端点点（和和）处处，函函数数仅仅当当满满足足某某些些附附加加条条件件时时才才可由傅立叶级数表示。可由傅立叶级数表示。24康托康托（G.Cantor，18451918）n18701870年年-1872-1872年年“函数展开为三角级数函数展开为三角级数 的唯一性的唯一性” 无穷集合论的创立无穷集合论的创立25n数学分析里间断函数求积分问题和三角数学分析里间断函数求积分问题和三角级数收敛性问题的研究都要求对于级数收敛性问题的研究都要求对于产生产生各种不连续情形的函数定义域之上的点各种不连续情形的函数定义域之上的点集集进行特殊的考察，一般是要求能够从进行特殊

16、的考察，一般是要求能够从某一区间的所有点中分离出另一无穷点某一区间的所有点中分离出另一无穷点集。集。这个分离出的无穷集的性质这个分离出的无穷集的性质在很大在很大程度上影响着对有关问题的讨论。程度上影响着对有关问题的讨论。n“无穷的各种关系弄得完全明朗无穷的各种关系弄得完全明朗”无穷集合论的创立无穷集合论的创立26 “ 在建立三角级数表达式的唯一性定理在建立三角级数表达式的唯一性定理时，他改造了他的前辈和同事的旧思想，时，他改造了他的前辈和同事的旧思想，表现出一种独创精神。康托在整个研究表现出一种独创精神。康托在整个研究中将无穷集合作为一个独立于函数理论中将无穷集合作为一个独立于函数理论的对象进

17、行考察，并在这一过程中大胆的对象进行考察，并在这一过程中大胆开创了数学的一个全新领域开创了数学的一个全新领域超穷集超穷集合论合论. .”无穷集合论的创立无穷集合论的创立27n论所有实代数数的一个性质论所有实代数数的一个性质（1874)1874) n1873年年11月月29日，康托在给戴德金的日，康托在给戴德金的一封信中一封信中明确提出了后来导致集合论产明确提出了后来导致集合论产生的问题：正整数的集合（生的问题：正整数的集合（n）与实数的）与实数的集合（集合（x）之间能否建立一一对应？）之间能否建立一一对应？无穷集合论的创立无穷集合论的创立28 “取所有正整数取所有正整数 n n的集体，表示为（

18、的集体，表示为（n)n)，然后考，然后考虑所有实数虑所有实数 x x的集体，表示为的集体，表示为(x(x）；简单说来，）；简单说来，问题就是（问题就是（n)n)和（和（x)x)是否能够对应起来，使得是否能够对应起来，使得一个集体中的每一个个体只对应另一个集体中一个集体中的每一个个体只对应另一个集体中一个且唯一一个个体？乍一看，我们可以说答一个且唯一一个个体？乍一看，我们可以说答案是否定的，这种对应不可能，因为（案是否定的，这种对应不可能，因为（n)n)由离由离散的部分构成，而（散的部分构成，而（x)x)构成一个连续统；但是构成一个连续统；但是从这种说法我们什么结果也得不到从这种说法我们什么结果

19、也得不到. . 虽然我非虽然我非常倾向于认为（常倾向于认为（n)n)和（和（x)x)不能有这样一个一意不能有这样一个一意对应，但是我找不出理由，我对这事极为关注，对应，但是我找不出理由，我对这事极为关注，也许这理由非常简单。也许这理由非常简单。” 29n历史性发现：尽管有理数具有稠密性，历史性发现：尽管有理数具有稠密性，但是它们是可数的！但是它们是可数的！n戴德金在戴德金在连续性和无理数连续性和无理数（18721872年年出版）出版） n稠密性与连续性稠密性与连续性n康托在康托在1895年给出的第二个证明是现在年给出的第二个证明是现在普遍采用的。普遍采用的。 无穷集合论的创立无穷集合论的创立3

20、0证明有理数集证明有理数集Q是可列集（采用对角线的对应方法）是可列集（采用对角线的对应方法） 31n“上面把有理数域比作直线，结果认识到上面把有理数域比作直线，结果认识到前者充满了间隙，它是不完备的、不连前者充满了间隙，它是不完备的、不连续的，而我们则把直线看成是没有间隙续的，而我们则把直线看成是没有间隙的、完备的和连续的。的、完备的和连续的。”32n“连续性公理连续性公理”n实数就其数目和特性而言，要比有理数实数就其数目和特性而言，要比有理数更丰富，因为无理数竟然能不可思议地更丰富，因为无理数竟然能不可思议地填满了有理数以外的所有空隙，从而在填满了有理数以外的所有空隙，从而在连续性和完备性上

21、完全超过了有理数。连续性和完备性上完全超过了有理数。 33n1873年年12月月7日日，康康托托在在给给戴戴德德金金的的信信中中断断言言实实数数是是可可数数的的，全全体体实实数数可可以以排排成成一一个个序序 列列。但但他他很很快快发发现现所所给给出出的的证证明明太太繁繁，两两天天后后当当他他企企图图修修改改它它时时，偶偶然然发发现现对对任任意意包包含含在在（0，1）中中的的区区间间（a，b）,他他能能够够证证明明存存在在一一个个数数m in (a，b)，没有列在上面的序列中。，没有列在上面的序列中。无穷集合论的创立无穷集合论的创立34n由由此此，康康托托在在一一个个星星期期之之内内戏戏剧剧性性

22、地地改改变变了了自自己己的的主主张张，获获得得一一个个全全新新的的、先先前前几几乎乎不不太太令令人人注注意意的的方方法法突突然然涌涌现现在在他他头头脑脑中中，康康托托得得到到了了意意外外的的收收获获，他他立立即即补补上上了了两两个个证证明明：代代数数数数是是可可数数的的，实数是不可数的。实数是不可数的。无穷集合论的创立无穷集合论的创立35康托这第一步的主要成就在于在混沌一片的无穷划康托这第一步的主要成就在于在混沌一片的无穷划出一首线，在无穷当中区分开来可数的与不可数的出一首线，在无穷当中区分开来可数的与不可数的两类，这成为研究无穷的出发点。两类，这成为研究无穷的出发点。康托第一次把可数性概念这

23、词引进数学，并且给出康托第一次把可数性概念这词引进数学，并且给出明确的含义，判定的方法明确的含义，判定的方法对于凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集对于凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合（可数集合）。合都称为可列集合（可数集合）。这是最小的无穷集合。这是最小的无穷集合。无穷集合论的创立无穷集合论的创立36“康托康托1874年的论文中，年的论文中，不但证明了实数不但证明了实数的不可数性，而且还把这一性质应用于的不可数性，而且还把这一性质应用于一个长期困扰数学家的难题一个长期困扰数学家的难题超越数超越数的存在。的存在。这是一个真正引起争论的这是一个真正引起争论的定理，因为人们

24、毕竟只知道极少数几个定理，因为人们毕竟只知道极少数几个非代数数的存在。而康托却十分自信地非代数数的存在。而康托却十分自信地说，绝大多数实数是超越数，但他在作说，绝大多数实数是超越数，但他在作出这种推断的时候却没有展示出任何一出这种推断的时候却没有展示出任何一个具体的超越数实例！个具体的超越数实例！ ”无穷集合论的创立无穷集合论的创立37“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成。繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成。” 数学史作家埃里克数学史作家埃里克坦普尔坦普尔贝尔贝尔38 n18771877年年 6 6月月2020日，康托证明了：不仅由日

25、，康托证明了：不仅由平面到直线可以建立一一对应，而且由平面到直线可以建立一一对应，而且由任意维空间到直线都可以建立一一对应。任意维空间到直线都可以建立一一对应。 “我看到了，但我简直不能相信它！我看到了，但我简直不能相信它！” -G.Cantor-G.Cantor无穷集合论的创立无穷集合论的创立39n康康托托集集合合论(1878)(1878)(直直译应为对流流形学形学说的一个的一个贡献献) )：n两两个个集集合合称称为为等等势势的的，如如果果它它们们之之间间能能够建立一一对应。够建立一一对应。 无穷集合论的创立无穷集合论的创立40n 康托的两个基本前提康托的两个基本前提：可以通过一一可以通过一

26、一对应的方法来确定相同基数；对应的方法来确定相同基数；实无穷实无穷是一个确实的概念。是一个确实的概念。 无穷集合论的创立无穷集合论的创立41n1879年年-1884年间，康托相继发表了六年间，康托相继发表了六篇系列文章，汇集成篇系列文章，汇集成关于无穷的线性关于无穷的线性点集点集n1879年这篇，康托阐明了点集的另一个年这篇，康托阐明了点集的另一个重要问题：重要问题： 按照集合的势对点集进行分类按照集合的势对点集进行分类 无穷集合论的创立无穷集合论的创立42n集合集合论基基础的出版（的出版（18831883年）年）n康托数学研究的里程碑。其主要成果是康托数学研究的里程碑。其主要成果是引引进了作

27、了作为自然数系的独立和系自然数系的独立和系统扩充充的超的超穷数穷数。康托通。康托通过对无无穷集的研究，集的研究，创造了一种新的数字和一种新的数字造了一种新的数字和一种新的数字类型。型。无穷集合论的创立无穷集合论的创立43n康托清醒地康托清醒地认识到，他到，他这样做是一种大做是一种大胆的冒胆的冒进。n“我很了解这样做将使我自己处于某种我很了解这样做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质的传统与数学中关于无穷和自然数性质的传统观念相对立的地位，但我深信，超穷数观念相对立的地位，但我深信，超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然的扩充。和最自然的扩充

28、。”无穷集合论的创立无穷集合论的创立44n基础基础中康托关于无穷的哲学中康托关于无穷的哲学n第一次公开地为实无穷这一大多数神学家，第一次公开地为实无穷这一大多数神学家，哲学家和神学家长期反对的概念提供了辩护。哲学家和神学家长期反对的概念提供了辩护。无穷集合论的创立无穷集合论的创立45n康康托托认为，无无论数数学学家家们过去去曾曾经作作过什什么么假假定定，我我们都都不不应认为有有穷的的性性质可可以以适适用用于于无无穷的的各各种种情情况况，而而又又正正是是这种种不不加限制的推广加限制的推广导致了种种矛盾和致了种种矛盾和误解。解。无穷集合论的创立无穷集合论的创立46n波尔查诺是实无穷的坚定拥护者波尔

29、查诺是实无穷的坚定拥护者 实无穷可以无矛盾地引进数学的思想。实无穷可以无矛盾地引进数学的思想。n无穷的悖论无穷的悖论（18211821年）年） 是对数学和是对数学和哲学的重要贡献。哲学的重要贡献。n著作的特色之一是关于实无穷和潜无穷著作的特色之一是关于实无穷和潜无穷的区分。的区分。 n数学上数学上“实无穷实无穷”的概念；势及序数的的概念；势及序数的概念；概念；无穷集合论的创立无穷集合论的创立47n第第一一，肯肯定定实实无无穷穷是是数数学学理理论论发发展展的的需需要。要。 n第第二二，无无穷穷有有其其固固有有的的本本质质，不不能能把把有有穷所具有的一切性质都强加于无穷。穷所具有的一切性质都强加于

30、无穷。 n第三，有穷的认识能力可以认识无穷。第三，有穷的认识能力可以认识无穷。 无穷集合论的创立无穷集合论的创立48“ 正象每个特例所表明的那样，我们可以从更一正象每个特例所表明的那样，我们可以从更一般的角度引出这样的结论：所有反对般的角度引出这样的结论：所有反对实无穷实无穷可可能性的所谓证明都是站不住脚的，他们一开始能性的所谓证明都是站不住脚的，他们一开始就期望无穷数具有有穷数的所有特性，甚至把就期望无穷数具有有穷数的所有特性，甚至把有穷数的性质强加到无穷数上；与此相反，如有穷数的性质强加到无穷数上；与此相反，如果我们能以任何方式理解无穷数的话，倒是由果我们能以任何方式理解无穷数的话，倒是由

31、于它们（就其与有穷数的对立而言）构成了全于它们（就其与有穷数的对立而言）构成了全新的一个数类，它们的性质完全依赖于事物本新的一个数类，它们的性质完全依赖于事物本身的性质，这是研究的对象，而并不从属于我身的性质，这是研究的对象，而并不从属于我们的主观臆想和偏见。们的主观臆想和偏见。” 49n超穷数理论的奠基性贡献超穷数理论的奠基性贡献，于，于18951895年和年和18971897年先后发表了两篇对超限基数年先后发表了两篇对超限基数理论具有决定意义的论文。理论具有决定意义的论文。n“序型序型”的概念，相应的序数。的概念，相应的序数。n集合集合n超限基数和超限序数的定义，符号；排超限基数和超限序数

32、的定义，符号；排成一个成一个“序列序列”；加法，乘法和乘方。；加法，乘法和乘方。无穷集合论的创立无穷集合论的创立50n贡献贡献的第一段话是那个关于集合的的第一段话是那个关于集合的经典定义经典定义n定义：集合定义：集合M M是能够明确区分的思维或感是能够明确区分的思维或感知的对象知的对象m m（称为（称为M M的元素）的总体。的元素）的总体。无穷集合论的创立无穷集合论的创立51四、集合论悖论四、集合论悖论n1 1康托悖论（康托悖论（18951895年发现，年发现，18991899年公布）年公布）n2 2布拉里布拉里 - -弗蒂悖论（弗蒂悖论（18971897）n3 3罗素悖论（罗素悖论（1902

33、1902）n4 4理查德悖论（理查德悖论（19051905）n5 5佩利悖论（佩利悖论（19061906）n6 6格里灵悖论（格里灵悖论（1908)1908) 52n罗素悖论（罗素悖论（1902）n集合分成两类：集合分成两类： 集集合合是是它它本本身身的的元元素素， 称称为为“非非正正常常集集合合”； 集集合合不不是是它它本本身身的的元元素素， 称称为为“正正常常集集合合”。n设“是是所所有有不不包包含含自自身身的的集集合合的的集集合合。” 问：“包含不包含自身？包含不包含自身？” 集合论悖论集合论悖论53n理发师悖论（理发师悖论（19181918）n“在萨维尔村，理发师在萨维尔村，理发师 挂

34、出一块招牌：挂出一块招牌：“我我只只给给村村里里所所有有那那些些不不给给自自己己理理发发的的人人理理发发。”有有人人问问他他：“你你给给不不给给自自己己理理发？发？”理发师顿时无言以对。理发师顿时无言以对。 集合论悖论集合论悖论54五、有关集合论的争论五、有关集合论的争论n克罗内克（克罗内克（Kronecker Kronecker ）n他在许多场合大骂康托是他在许多场合大骂康托是“败类、臭虫败类、臭虫”，“我们科学的敌人我们科学的敌人”。他对外尔斯。他对外尔斯特拉斯的学生柯瓦列夫斯卡娅（特拉斯的学生柯瓦列夫斯卡娅（1850185018911891）说，康托的集合论同任何一门数）说，康托的集合论

35、同任何一门数学毫无共同之处，同另外一些人说康托学毫无共同之处，同另外一些人说康托的集合论空洞无物。的集合论空洞无物。 55n 庞加莱（庞加莱（PoincarePoincare，19051905）：）：n“CantorCantor给给科科学学引引入入了了考考虑虑数数学学无无穷穷的的新新方方法法但但是是发发生生了了这这样样的的事事，我我们们遇遇到到了了会会使使爱爱利利亚亚学学派派的的ZenoZeno和和麦麦加加拉拉哲哲学学学学派派高高兴兴的的一一些些悖悖论论，一一些些明明显显的的矛矛盾盾。所所以以每每一一个个人人都都必必须须寻寻找找补补救救的的方方法法。就就我我来来说说 而而我我并并不不是是单单独

36、独一一人人 我我认认为为重重要要的的是是永永远远不不要要采采用用一一些些不不能能用用有有限限的的文文字字完完全全定定义义的的东东西西。不不论论采采用用什什么么样样的的疗疗法法，我我们们一一定定可可以以请请来来一一位位治治疗疗一一个个极极好好的病理学病例的医生，并为此而感到喜悦。的病理学病例的医生，并为此而感到喜悦。”n19081908年他又说：年他又说：n“今今后后的的几几代代人人将将把把集集合合论论当当做做一一种种人人们们已已经经从中恢复过来了的疾病从中恢复过来了的疾病. . ”56n数学知识来源于人的直觉，而数学的确数学知识来源于人的直觉，而数学的确定性仅限于有限论证的严格界限内，要定性仅

37、限于有限论证的严格界限内，要证明什么东西存在，那就要具体造出来证明什么东西存在，那就要具体造出来. .n反对把无穷当作确实的概念反对把无穷当作确实的概念57“我的理论坚如磐石；射向它的每一支箭都我的理论坚如磐石；射向它的每一支箭都会迅速反弹会迅速反弹. . 我何以得知呢？因为我用我何以得知呢？因为我用了许多年时间，研究了它的各个方面；了许多年时间，研究了它的各个方面；我还研究了针对无穷数的所有反对意见；我还研究了针对无穷数的所有反对意见；最重要的是，因为我曾穷究它的根源，最重要的是，因为我曾穷究它的根源，可以说，我探索了一切造物的第一推动可以说，我探索了一切造物的第一推动力。力。” G.Can

38、torG.Cantor58六、集合论的历史地位六、集合论的历史地位n康托创立的超穷集合论赋予实无穷的观念以数康托创立的超穷集合论赋予实无穷的观念以数学内容，为抽象集合论奠定了基础，并为微积学内容，为抽象集合论奠定了基础，并为微积分的基本原理和实数连续统的分析作出了重大分的基本原理和实数连续统的分析作出了重大贡献。贡献。n康托的最引人注目的成就是从数学上严密地证康托的最引人注目的成就是从数学上严密地证明了明了“无穷无穷”并不是铁板一块的不可分的概念。并不是铁板一块的不可分的概念。并非所有的无穷集合都具有相同的大小，因而并非所有的无穷集合都具有相同的大小，因而它们之间是可以互相比较的。它们之间是可

39、以互相比较的。 59n 如如今今，“集集合合”这这个个词词已已经经成成为为数数学学中中最最重重要要和和最最基基本本的的术术语语之之一一，大大部部分分数数学学的的相相容容性性已已经经被被奠奠基基于于集集合合论论的的相相容容性性之之上上，集集合合论论在在某某种种意意义义上上已已经经成成为为整个数学最坚实的基础。整个数学最坚实的基础。 60七、悖论的解决和集合论的发展七、悖论的解决和集合论的发展n所所有有的的人人都都渴渴望望能能解解决决悖悖论论的的问问题题以以重重建建先先前前对对数数学学相相容容性性、严严格格性性和和确确定定性性的的信信念念，但但他他们们为为达达到到这这一一目目标标所所选选择择的的道

40、道路路则则是是很很不不相相同同的。的。n20世纪初世纪初 数理逻辑：罗素的类型论；数理逻辑：罗素的类型论；数学原理数学原理 形式公理化：公理集合论形式公理化：公理集合论61n策梅罗（德国数学家，策梅罗（德国数学家，19081908年）年）n采取希尔伯特的公理化方法回避悖论，把集合采取希尔伯特的公理化方法回避悖论，把集合论变成一个完全抽象的公理化理论。在这样一论变成一个完全抽象的公理化理论。在这样一个公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，个公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。而它的性质就由公理反映出来。n引进了七条公理：决定性公理（外延公理），引进了七条公理：决

41、定性公理（外延公理），初等集合公理，分离公理组，幂集合公理，并初等集合公理，分离公理组，幂集合公理，并集合公理，选择公理，无穷公理。集合公理，选择公理，无穷公理。悖论的解决和集合论的发展悖论的解决和集合论的发展62n实实际际上上策策梅梅罗罗德德公公理理系系统统是是把把集集合合限限制制得得使使之之不不要要太太大大，即即不不只只简简单单地地将将集集合合看看成成一一些些集集团团或或集集体体。它它是是满满足足7 7条条公公理理条条件件的的对对象象。这这样样就就排排除除了了一一些些不不适适当当的的集集合合，从从而而消消除除了了已已知知悖论产生的条件。悖论产生的条件。n 现现代代标标准准的的“策策梅梅罗罗

42、弗弗兰兰克克尔尔公公理理系系统统（简称（简称ZFZF系统）系统）”。悖论的解决和集合论的发展悖论的解决和集合论的发展63 在在2020世纪初，集合论的基本概念和方法世纪初，集合论的基本概念和方法不仅渗透到现代数学的各个部门（如分不仅渗透到现代数学的各个部门（如分析、代数和拓扑等），而且渗透到一些析、代数和拓扑等），而且渗透到一些自然科学（如物理学和质点力学等等）自然科学（如物理学和质点力学等等）领域，为这些学科的奠基提供了基础，领域，为这些学科的奠基提供了基础，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数如果没有集合论的观点，很难对现代

43、数学获得一个深刻的理解。学获得一个深刻的理解。悖论的解决和集合论的发展悖论的解决和集合论的发展64参考及推荐书目参考及推荐书目n 美美 周周道本道本 康托的无穷的数学和哲学康托的无穷的数学和哲学郑毓信、郑毓信、刘晓力译刘晓力译 江苏教育出版社江苏教育出版社 1989 1989 n 美美MM克莱因克莱因 古今数学思想古今数学思想上海科学技上海科学技术出出版社版社 20022002年年 n胡作玄胡作玄 引起纷争的金苹果引起纷争的金苹果 福建教育出版社福建教育出版社 19931993 nW WDunhanDunhan（邓纳姆）（邓纳姆）天才引导的历程天才引导的历程苗锋译苗锋译 中国对外翻译出版社中国

44、对外翻译出版社 19941994 n 美美MM克莱因克莱因 数学：确定性的丧失数学：确定性的丧失 李宏魁李宏魁译译 湖南科学技术出版社湖南科学技术出版社19971997 n胡作玄胡作玄 第三次数学危机第三次数学危机 65n（德）格奥格尔（德）格奥格尔康托，康托，超穷数理论基础文稿超穷数理论基础文稿，陈，陈 杰、刘晓力译，内蒙古大学出版社，杰、刘晓力译，内蒙古大学出版社，19951995年年9 9月月n吴文俊主吴文俊主编 世界著名数学家世界著名数学家传记（上下集），科（上下集），科学出版社，学出版社，19951995年年1010月月 n王王宪钧，数理数理逻辑引引论，北京大学出版社，北京大学出版社，19821982n黄耀枢，黄耀枢，数学基础引论数学基础引论，北京大学出版社，北京大学出版社，19871987n张锦文，王雪生著文，王雪生著 连续统假假设辽宁教育出版社宁教育出版社 19891989年年4 4月月 n科学美国人科学美国人编辑部部编著著 从惊从惊讶到思考到思考数学数学悖悖论奇景奇景李思一、白葆林李思一、白葆林译 科学技科学技术文献出版社文献出版社 19861986年年1010月月 66