1922正方形的性质和判定

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1、1922正方形的性质和正方形的性质和判定判定正正 方方 形形正方形正方形矩形矩形邻边相邻边相等的矩等的矩形形想一想：正方形是怎样的矩形？想一想：正方形是怎样的矩形？菱形正方形一个角是直角的菱形一个角是直角的菱形想一想：正方形是怎样的菱形？想一想：正方形是怎样的菱形？有一组邻边相等的平行有一组邻边相等的平行四边形（四边形（菱形菱形） 并且有一个角是直角的并且有一个角是直角的平行四边形（平行四边形（矩形矩形）两层两层含义含义正正方方形形有一组邻边相等并且有一个角是直有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形角的平行四边形有一组邻边相等的矩形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 1.正方形

2、定义正方形定义:1、_的矩形叫做正方形。 快速反应快速反应 有一组邻边相等的2、 的菱形是正方形。 有一个角是直角的3、 的平行四边形是正方形。 有一个角是直角且有一组邻边相等的2、正方形的性质、正方形的性质边边对角线对角线对边平行对边平行四边相等四边相等对角线相等对角线相等 互相垂直平分互相垂直平分每条对角线平分一每条对角线平分一组对角组对角四个角相等且都是直角四个角相等且都是直角角角正正方方形形性性质质正方形具有平行四边形、矩形、菱正方形具有平行四边形、矩形、菱 形的一切性质。形的一切性质。 正方形的性质定理正方形的性质定理1 1：正方形的四个角都是直角，四条边都 相等且对边平行。 正方形

3、的性质定理正方形的性质定理2 2：正方形的两条对角线相等，并且互相 垂直 平分，每条对角线平分一组对角。二、正方形的性质三段论形式： 四边形ABCD是正方形 DABABC BCD CDA90 ABBCCDDA ADBC，ABCD AC BD，ACBD，AO CO BO DO AC平分BAD和BCD BD平分 ABD和ADCADBCO对称轴对称轴平行四边形平行四边形矩矩形形菱菱形形正正方方形形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？请用这四种图形填空A表示：B表示：C表示：D表示：平行四边形矩形（菱形）菱形（矩形）正方形有一个角有一个角

4、是直角是直角有一组邻边有一组邻边相等相等有一组邻边有一组邻边相等相等有一个角是有一个角是直角直角有一组邻边相等且有有一组邻边相等且有一个角是直角一个角是直角正方形、矩形、菱形及平正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间的关系行四边形四者之间的关系3、正方形的判定:1.定义法2.先判定是矩形,再判定是菱形，或先判定是菱形,再判定是矩形。ADCBO 正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？拓展讨论拓展讨论:结论：结论： 分成八个等腰直角三角形，分别是分成八个等腰直角三角形，分别是 ABC、 ADC、 ABD、 BCD ； AOB、 BOC、 COD

5、、 DOA. 例题例题1:四边形四边形ABCD是正方形是正方形,两条对角线两条对角线相交于点相交于点O,(1)求求AOB,OAB的度数。的度数。8解：解：四边形四边形ABCD是正方形是正方形 ACBDAOB=900 BAC=DAC OAB=450 ABCDOEF(2)若若AC=4，则正方形边长，则正方形边长 ; 正方正方形的面积是形的面积是4(3)正方形的面积正方形的面积64cm2，则对角线交点，则对角线交点到正方形一边的距离到正方形一边的距离22例例2求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的 等腰直角三角形。 已知：四边形ABCD是正方形，对角 线AC、BD相交于点O 求证：ABO、

6、BCO 、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形 证明：四边形ABCD是正方形 ADBCO 由于正方形的面积等于ABO 面积的4倍，所以正方形的面积等于对角线的平方的一半正方形的面积等于对角线的平方的一半。ACBD，ACBD，AO CO BO DO 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分ABO、 BCO 、 CDO、 DAO 都是等腰直角三角形，并且ABO BCO CDO DAO补充练习：补充练习：1、如图，正方形、如图，正方形ABCD的边长为的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为，则图中阴影部分的面积为 平方厘米平方厘米ABCD2、如图，在等腰、如图，在等腰Rt ABC中，中， C=90，正

7、方形，正方形DEFG的顶点的顶点D在边在边AC上，点上，点E、F在边在边AB上，点上，点G在边在边BC上上.（1）求证）求证AE=BF；（2）若）若BC= cm，求正方形，求正方形DEFG的边长的边长. 2、周长为、周长为20cm的正方形的正方形,边长是边长是 对角线长是对角线长是 面积是面积是 。 1）一组邻边相等）一组邻边相等,一个角是直角的四边形是正方形。一个角是直角的四边形是正方形。 2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。自我检测自我检测1、下列说法对吗？、下列说法对吗？525cm2ABCDO3、如图，有、如图，有 个等个等腰直角三角

8、形腰直角三角形852 cm作作 业业 补充习题：补充习题：1、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，E为为BC边上一点，边上一点，且且BE=1，P为为AC上一点，求上一点，求PE+PB的最小值的最小值.2、在正方形在正方形ABCDABCD中中,AC,AC是对角线是对角线,AE,AE平分平分BAC,BAC,试猜想试猜想ABAB、ACAC、BEBE之间的关系，并证明你的猜想之间的关系，并证明你的猜想GFEDABC 解：四边形ABCD是正方形 AB BC 2cm，ABC 90正方形的四个角都是直角，四条边都相等 练习练习 1、已知：正方形的一条边长为2cm，求这个正方形 的周长、对角线长

9、和正方形的面积。ADBC 边长AB2cm 周长周长C C4AB8cm练习练习 2、已知：正方形的一条对角线长为4cm 解：四边形ABCD是正方形 AB BC，ABC90 正方形的四个角都是直角，四条边都相等ADBC1 1、正方形的面积等于边长的平方。、正方形的面积等于边长的平方。2 2、正方形的面积等于等于对角线的平方的一半。、正方形的面积等于等于对角线的平方的一半。3 3、正方形的周长等于边长的、正方形的周长等于边长的4 4倍。倍。 在RtABC中，求: 它的边长和面积。练习练习3、已知：在正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC 上，且BE DF，AC与BC相交于O点，EF 与AC相交于P

10、点 求证：EF AC，EF BD 证明： 四边形ABCD是正方形 BC CD 正方形的四条边都相等 BE DF EC FC AC平分BCD 正方形的每条对角线平分一组对角 EF ACEF AC AC BD （正方形的对角线互相垂直） EF BD EF BD ABCDOPFE矩形、正方形（矩形、正方形（2） 4、判断。（1）正方形一定是矩形。（ ）（2）正方形一定是菱形。（ ）（3）菱形一定是正方形。（ ）（4）矩形一定是正方形。（ ）（5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。（ ）快速反应快速反应 矩形、正方形（矩形、正方形（2） 1、在下列性质中，平行四边形具有的是_，矩形具有的是_，菱形具有

11、的是_，正方形具有的是_。 （1）四边都相等； （2）对角线互相平分； （3）对角线相等； （4）对角线互相垂直； （5）四个角都是直角； （6）每条对角线平分一组对角； （7）对边相等且平行； （8）有两条对称轴。 自主学习自主学习 矩形、正方形（矩形、正方形（2） 2、正方形两条对角线的和为8cm，它的面积为_. 自主学习自主学习 矩形、正方形（矩形、正方形（2） 3、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF. （1）AE与BF相等吗？为什么？ （2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。 自主学习自主学习 尝试练习：尝试练习：（1）已知：如图，ABCD和AKLM都是正方形，

12、求证：MD=KB。尝试练习：尝试练习：n（2）如图，正方形）如图，正方形ABCD中，中，AC交交BD于于O，点，点M、N分别在分别在AC、BD上，且上，且OM=ON，n求证：求证：BM=CN。 如何设计花坛？如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三宽度），你有几种方法？（至少说出三种）种） 请你当设计师请你当设计师应用举例应用举例：ABCDC/A/B/D/已知：如已知：如图图点点A

13、、 B 、 C、D分分别别是正方形是正方形ABCD四条四条边边上的点，并且上的点，并且AA=BB=CC=DD求求证证：四：四边边形形ABCD是正方形是正方形、由已知正方形证三角形全等；、由已知正方形证三角形全等；、证得菱形；、证得菱形；、再证直角；、再证直角； 、是正方形、是正方形证题思路分析证题思路分析上一页例1 已知：如图，在正方形ABCD中，AA=BB=CC=DD 。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明：四边形ABCD是正方形 AB=BC=CD=DA又AA=BB=CC=DD DA=AB=BC=CDA=B=C=D=90 AADBBACCBDDC四边形ABCD是菱形 又ADA=BAB， A

14、AD+ADA=90 AAD+BAB=90 DAB=180（AAD+BAB）=90四边形ABCD是正方形。例2已知：如图，在矩形ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是各内角平分线，AF和BH交于E，CH和DF交于G。 求证：四边形EFGH是正方形 A DHB CFEG证明：ADBC，AF、BH是角平分线AFBH同理 BHCH CHDF DFAFHEF=EFG=FGH=GHE=90四边形EFGH是矩形ABCDEFGHAF平分BAD BAF=DAF=45同理ABH=CBH=45 BCH=DCH=45 CDF=ADF=45DAF=CBH AD=BC ADF=BCHAFDBHC（ASA）AF=BHBAF=ABHAE=BEEH=EF四边形EFGH是正方形课堂练习：1、已知：正方形ABCD中，分别过A、C两点作ab,作BMa于M，DNa于N，直线MB、ND分别交b于Q、P。求证：四边形PNMQ是正方形。 2 、已知：如图，正方形ABCD和正方形CEFG，延长CD到H，且DH=CE=BK。求证：四边形AKFH是一个正方形 ABCDKFHEG数学家庭作业：1、课时第65页到67页，2、五洲导学第46页到47页。