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1、计算物理计算物理http:/125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics薛定谔方程数值解薛定谔方程数值解薛定谔方程数值解薛定谔方程数值解n薛定谔方程薛定谔方程n定态方程的定态方程的矩阵解法矩阵解法n含时含时方程的方程的解法解法n非线性非线性薛定谔方程薛定谔方程解法解法n薛定谔方程的有限元方法薛定谔方程的有限元方法薛定谔方程薛定谔方程(1/(1/1 1) )n薛定谔方程薛定谔方程n单粒子单粒子n多粒子多粒子n定态薛定谔方程定态薛定谔方程( (势能不显含时间势能不显含时间) )n一维的单粒子一维的单粒子定态方程的定态方程的矩阵解法矩阵解法(1/(1/9 9)
2、 )n实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化n定理：如果定理：如果 A 是实对称矩阵，那么存在正交矩阵是实对称矩阵，那么存在正交矩阵 R，使得，使得n雅可比方法：基于上述定理，用一系列简单的正交矩阵雅可比方法：基于上述定理，用一系列简单的正交矩阵 RK，逐步将，逐步将 A 对角化，即选择对角化，即选择 RK，令，令 取取 A0 0 = = A，使得当，使得当 K 时，时，AK diag( (l l1 1, , l l2 2, , , , l ln) )n本征值：本征值： l l1 1, , l l2 2, , , , l lnn本征向量：本征向量：定态方程的定态方程的矩阵解法矩阵解法(2/(2/
3、9 9) )n矩阵矩阵n对角化对角化 2 2 2 2 实对称矩阵实对称矩阵 A定态方程的定态方程的矩阵解法矩阵解法(3/(3/9 9) )n对角化对角化 n n 实对称矩阵实对称矩阵 A定态方程的定态方程的矩阵解法矩阵解法(4/(4/9 9) )n例：计算例：计算 3 3 3 3 实对称矩阵实对称矩阵 A 的本征值和本征向量的本征值和本征向量nA0 0 = = A，选，选 p = = 1, 1, q = = 2 2n选选 p = = 1, 1, q = = 3 3n第第 9 9 次次定态方程的定态方程的矩阵解法矩阵解法( (5 5/ /9 9) )n久期方程方法久期方程方法n例：计算实对称矩阵
4、例：计算实对称矩阵的本征值问题的本征值问题n久期方程和本征值久期方程和本征值n本征向量本征向量定态方程的定态方程的矩阵解法矩阵解法( (6 6/ /9 9) )n定态薛定谔方程的定态薛定谔方程的矩阵解法矩阵解法n有限差分法有限差分法n例：例：一维无限深势阱一维无限深势阱n定态薛定谔方程的差分格式定态薛定谔方程的差分格式n差分方程的实对称矩阵和本征值问题差分方程的实对称矩阵和本征值问题定态方程的定态方程的矩阵解法矩阵解法(7/(7/9 9) )n波函数波函数n有限差分法的步骤有限差分法的步骤n将定态薛定谔方程转化为差分格式将定态薛定谔方程转化为差分格式n写出差分方程的实对称矩阵，并对角化写出差分
5、方程的实对称矩阵，并对角化定态方程的定态方程的矩阵解法矩阵解法(8/(8/9 9) )n希耳伯特空间的方法希耳伯特空间的方法n例：例：一维无限深一维无限深线性线性势阱势阱n希耳伯特空间的基矢希耳伯特空间的基矢n哈密顿算符和矩阵元哈密顿算符和矩阵元定态方程的定态方程的矩阵解法矩阵解法( (9 9/ /9 9) )n对角化对角化( (以以 为能量单位为能量单位) )，结果分析，结果分析n步骤步骤n选择适当的表象选择适当的表象( (即基矢即基矢) )，推导哈密顿矩阵元，推导哈密顿矩阵元n计算哈密顿矩阵，并对角化计算哈密顿矩阵，并对角化含时含时方程的方程的解法解法(1/(1/1010) )n非本征态的
6、时间演化非本征态的时间演化n特点：初始态特点：初始态 系统的本征态系统的本征态n解法解法1 1：有限差分方法解多维扩散方程：有限差分方法解多维扩散方程n一维一维含时含时薛定谔方程的差分格式薛定谔方程的差分格式n利用利用 k 时的时的 y y 值，求值，求 k+1+1 时的时的 y y 值值n要求解线性方程组要求解线性方程组隐式的隐式的含时含时方程的方程的解法解法(2/(2/1010) )n边界条件边界条件n束缚态：束缚态：y y = = 0 0n非束缚态：假设初始态是束缚态，非束缚态：假设初始态是束缚态， x 足够大，在足够大，在 T 内，内，x 左右边界处的左右边界处的 y y = = 0
7、0n方程组的矩阵形式：方程组的矩阵形式：含时含时方程的方程的解法解法(3/(3/1010) )含时含时方程的方程的解法解法(4/(4/1010) )含时含时方程的方程的解法解法(5/(5/1010) )n例：先将一个粒子用谐振子势束缚在例：先将一个粒子用谐振子势束缚在基态，然后放入无限深势阱的中央，基态，然后放入无限深势阱的中央，求其波函数求其波函数 Y Y 随时间的演化随时间的演化ywl-lxn初始态初始态( (即即 k = = 0 0) )：谐振子的基态谐振子的基态n由由 k = = 0 0 的的差分差分方程方程组组，求，求 k = = 1 1 时刻的时刻的波函数波函数n方程方程n未知量未
8、知量n已知量已知量含时含时方程的方程的解法解法(6/(6/1010) )含时含时方程的方程的解法解法(7/(7/1010) )含时含时方程的方程的解法解法(8/(8/1010) )n由由 k = = 1 1 的的差分差分方程方程组组，求，求 k = = 2 2 时刻的时刻的波函数波函数n方程方程n未知量未知量n已知量已知量n由由 k = = 2 2 的的差分差分方程方程组组，求，求 k = = 3 3 时刻的时刻的波函数波函数nn 维维含时含时薛定谔方程的差分格式：薛定谔方程的差分格式：Nn Nn 的矩阵的矩阵含时含时方程的方程的解法解法(9/10)(9/10)n解法解法2 2：( (希耳伯特
9、空间的方法希耳伯特空间的方法) )将初始态在基矢上展开将初始态在基矢上展开n势能函数不含时势能函数不含时( (Q 表象，基矢是表象，基矢是 un ) ) 写成矩阵形式写成矩阵形式， Y Y 和和 H 都是矩阵都是矩阵n当当 Q = = H 时时，un 是哈密顿量的本征态，是哈密顿量的本征态，H 是对角阵是对角阵含时含时方程的方程的解法解法(10/10)(10/10)n当当 Q H 时时，un 不不是哈密顿量的本征态，是哈密顿量的本征态，H 非非对角对角n例：先将一个粒子用谐振子势束缚在例：先将一个粒子用谐振子势束缚在基态，然后放入无限深势阱的中央，基态，然后放入无限深势阱的中央，求其波函数求其
10、波函数 Y Y 随时间的演化随时间的演化ywl-lxn初始态：初始态：谐振子的基态谐振子的基态n基矢基矢：无限深势阱的能量本征函数无限深势阱的能量本征函数n常数常数 cn非线性非线性薛定谔方程薛定谔方程解法解法(1/(1/1010) )n非线性非线性薛定谔方程薛定谔方程(Gross-(Gross-PitaevskiiPitaevskii方程方程) )n实质是非线性偏微分方程，一般没有解析解实质是非线性偏微分方程，一般没有解析解n希耳伯特空间的迭代法希耳伯特空间的迭代法( (定态定态) )：非线性项线性化：非线性项线性化非线性非线性薛定谔方程薛定谔方程解法解法(2/(2/1010) )n例：求解
11、例：求解 f = = x 2 2 的一维的一维 G-PG-P 方程方程( ( 0 0 x l ) )n方程：方程：n基矢：基矢：n哈密顿矩阵元哈密顿矩阵元非线性非线性薛定谔方程薛定谔方程解法解法(3/(3/1010) )nl = = 5, 5, a = = 5 5非线性非线性薛定谔方程薛定谔方程解法解法(4/(4/1010) )n有限差分的迭代法有限差分的迭代法( (一维定态一维定态) )：非线性项线性化：非线性项线性化非线性非线性薛定谔方程薛定谔方程解法解法(5/(5/1010) )n例：求解例：求解 f = = x 2 2 的一维的一维 G-PG-P 方程方程( ( 0 0 x l ) )
12、n迭代方程迭代方程n系数矩阵系数矩阵非线性非线性薛定谔方程薛定谔方程解法解法( (6 6/ /1010) )n有限差分法有限差分法( (一维含时一维含时) ) n二元二元非线性非线性方程组的迭代法：非线性问题线性化方程组的迭代法：非线性问题线性化( (关键：关键：JocobiJocobi矩阵矩阵 J ，初值要接近解，初值要接近解) ) 非线性非线性薛定谔方程薛定谔方程解法解法( (7 7/ /1010) )n多元多元非线性非线性方程组方程组 ( (关键：关键：JocobiJocobi矩阵矩阵 J ，初值接近解，初值接近解) ) 非线性非线性薛定谔方程薛定谔方程解法解法( (8 8/ /1010) )n例：解非线性方程例：解非线性方程nJocobiJocobi矩阵矩阵n初值初值n迭代迭代非线性非线性薛定谔方程薛定谔方程解法解法( (9 9/ /1010) )n有限差分法有限差分法( (一维含时一维含时) )非线性非线性薛定谔方程薛定谔方程解法解法( (1010/ /1010) )n有限差分法有限差分法( (一维含时一维含时)()(续续) )作业作业nPPT.22 PPT.22 用用FortranFortran实现，要求将实现，要求将 |Y(|Y(x, ,t)| )|2 2 输出到数据输出到数据文件文件
