《备考2025年高考数学一轮复习题组层级快练59》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备考2025年高考数学一轮复习题组层级快练59（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、题组层级快练(五十九)一、单项选择题1已知双曲线1的焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于()A. B5 C7 D.答案D解析根据题意可知，双曲线的标准方程为1.由其焦距为4，得c2，则有c22a3a4，解得a.故选D.2已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，焦距为6，则该双曲线的实轴长为()A3 B6 C9 D12答案B解析双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，两条渐近线互相垂直，1，a2b2，焦距为6，2c6，c3，a218a2，a29，a3，双曲线的实轴长为6.故选B.3(2023常德市模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦点F到渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线C的离
2、心率为()A.B.C. D.答案A4已知双曲线C的一个焦点为(0，5)，且与双曲线y21的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为()Ax21 By21C.1 D.1答案D5(2023南通四模)古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质比如，双曲线有如下性质：A，B分别为双曲线C：1(a0，b0)的左、右顶点，从C上一点P(异于A，B)向实轴引垂线，垂足为Q，则为常数若C的离心率为2，则该常数为()A.B.C.D3答案D解析设P(x1，y1)，则Q(x1，0)(x1a)点P在双曲线C上，y12b2x12b2.由题意知A(a，0)，B(a，0)，则，e24，3.6(2024
3、漳州市质检)伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为的双曲线C：x21(a0)上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则|PF|与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为()A2 B3C4 D5答案D7已知F1，F2分别为双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为(0，b)，则双曲线C的一条渐近线的斜率为()A2B.C.D.答案A解析设线段PF1的中点为M，坐标原点为O，连接PF2.线段PF1的中点M的坐标为(0，b)，点P在双曲线C的右支上原点O为
4、线段F1F2的中点，OM綉PF2，则PF2F1F2，|PF2|2|OM|2b.由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a，则|PF1|2a2b.在RtF1F2P中，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即(2a2b)2(2b)2(2c)2，整理得b2a，即2，则双曲线C的一条渐近线的斜率为2，故选A.8. 如图是一座等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5 m，水面宽度AB30 m若水面下降5 m，则水面宽度约为(结果精确到0.1 m)(参考数值：2.24)()A43.8 m B44.8 mC52.3 m D53.0 m答案B解析如图建系，不妨设水面下降5 m时水面宽度为MN.拱桥为等轴双曲线形，设其
5、方程为y2x2a2(a0，y0)，则C(0，a)|AB|30，|CD|5，B(15，a5)将B(15，a5)代入方程y2x2a2得(a5)2152a2，解得a20.双曲线方程为y2x2400(y0，b0)的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线的左、右两支于A，B两点，且|BF1|4|AF1|，|OB|(O为原点)，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.答案B解析连接BF2，AF2，由|OB|及平面几何知识可知F1BF2.设|AF1|m，则|AF2|2am，|BA|3m，|BF2|4m2a，在RtABF2中，由勾股定理有(2am)2(3m)2(4m2a)2，解得m，|BF2|4m2a，|
6、BF1|4m，在RtBF1F2中，由|BF1|2|BF2|2|F1F2|2，得(2c)2，解得，e.故选B.二、多项选择题11已知双曲线C：1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为yx，P为C上一点，则以下说法正确的是()AC的实轴长为8 BC的离心率为C|PF1|PF2|8 DC的焦距为10答案AD解析由双曲线方程知，渐近线方程为yx，而一条渐近线方程为yx，a4，故C：1，双曲线实轴长为2a8，离心率e，由于P可能在C的不同分支上，则有|PF1|PF2|8，焦距为2c210.A、D正确，B、C错误12已知双曲线C：y21(a0)，若圆(x2)2y21与双曲线C的渐近线相切，
7、则()A双曲线C的实轴长为6B双曲线C的离心率eC点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d2D直线yk1xm与C交于A，B两点，点D为弦AB的中点，若OD(O为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2答案BCD解析由题意知C的渐近线方程为xay0，圆的圆心为(2，0)，半径为1，因为圆与C的渐近线相切，所以1，解得a，所以半焦距c2，所以e，故A错误，B正确；设P(x0，y0)，则d1，d2，因为y021，所以d1d2，故C正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由点差法易得k1k2，故D正确故选BCD.三、填空题与解答题13(2024河北省模拟)已知双曲
8、线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，实轴长为4，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AB|是|AF1|和|BF1|的等差中项，则ABF1的周长为_答案24解析由|AB|是|AF1|和|BF1|的等差中项得|F1A|F1B|2|AB|，根据双曲线的定义知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，两式相加得|AF1|BF1|AB|4a，即|AF1|BF1|8a，|AB|4a，故ABF1的周长为12a，因为2a4，所以ABF1的周长为24.14(2023唐山二模)已知直线l：xy20过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为_答案
9、2解析直线xy20与x轴交点为(2，0)，斜率为，解得双曲线的实轴长为2a2.15. 如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的倍，双曲线过点(4，) (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下，若点M在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求F1MN的面积答案(1)1(2)证明见解析(3)124解析(1)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，双曲线焦距为2c，实轴长为2a，则2c2a，即ca，b2c2a2a2，双曲线方程为x2y2a2，将(4，)代入，得a216106，双曲线的标准方程为
10、1.(2)证明：由(1)知，F1(2，0)，F2(2，0)，M(3，m)在双曲线上，9m26，即m23，以F1F2为直径的圆为x2y212，将M(3，m)代入得9312，M在以F1F2为直径的圆上(3)由(2)知，点M坐标为(3，)或(3，)，点M在第一象限，M的坐标为(3，)，直线MF2的方程为y(x3)(2)(x3)，即y(2)x64，代入双曲线方程整理可得(64)y24(2)y60，易知0，则yMyN.M的纵坐标为，N的纵坐标为(2)，F1MN的面积为S|F1F2|(2)2(22)124.16已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，F1，F2分别是C的左、右焦点，经过点F2且垂直于C的
11、一条渐近线的直线l与C交于A，B两点，若ABF1的面积为64，则C的实轴长为()A6 B8C12 D16答案B解析因为C的离心率为，所以ca，ba，故C的方程为2x2y22a2，渐近线方程为yx.不妨设直线l垂直于yx，则直线l的方程为xyc，与C的方程联立，消去x得3y24ay4a20，则(4a)2434a248a20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2a0，y1y2a20，所以SABF1|SBF1F2SAF1F2|F1F2|y1y2|F1F2|c4a2，所以4a264，得a4，故C的实轴长为8.故选B.17(2024九省联考)设双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1
12、，F2，过坐标原点O的直线与C交于A，B两点，|F1B|2|F1A|，4a2，则C的离心率为()A. B2C. D.答案D解析O既是AB中点也是F1F2中点，四边形AF2BF1为平行四边形，|F1B|F2A|2|F1A|，又|F2A|F1A|2a，|F1A|2a，|F2A|4a.又2a4acosF1AF28a2cosF1AF24a2，cosF1AF2，由余弦定理得|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cosF1AF24a216a222a4a28a2，即4c228a2，e.故选D.18已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_答案2解析方法一：如图，因为0，所以F1BF2B，又点O为F1F2的中点，所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为，所以点A为F1B的中点，所以OABF2，所以F1BOA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tanBF1O，tanBOF2.因为tanBOF2tan 2BF1O，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以双曲线的离心率e2.方法二：因为0，所以F1BF2B，在Rt
