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1、2.3.2平面向量的正交分解平面向量的正交分解及坐标表示和运算及坐标表示和运算湖南师大附中湖南师大附中 张汝波张汝波1一般地一般地, ,实数实数 与向量与向量 的积是一个向量的积是一个向量, ,记作记作: : (1)(2)当当 时时, 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同; 当当 时时, 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同;(3)当当 时时,或或 时时,一、数乘的定义：一、数乘的定义：它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下:二、二、数乘数乘的运算律：的运算律：(2)(2)第一分配律第一分配律: :(1)(1)结合律结合律: :(3)(3)第二分配律第二分配律: :21.1.定理定理
2、: : 向量向量 与非零向量与非零向量 共线的共线的等价条等价条件件是有且只有一个实数是有且只有一个实数 , ,使得使得. . 三、共线向量基本定理：三、共线向量基本定理：2).证明三点共线证明三点共线:3. 定理的应用：定理的应用：1).证明向量共线证明向量共线3).证明两直线平行证明两直线平行:又又又又B B为公共点为公共点为公共点为公共点 A,B,C A,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线AB BC AB=BC2. 定理的推论：定理的推论：3四四. .平面向量基本定理平面向量基本定理: : 如果如果 是同一平面内的两个不共线向量是同一平面内的两个不共线向量,那么那么对这一平面内的任一
3、向量对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实，有且只有一对实数数 ， 使使说明：基底不唯一，且基底是不共线的两个向量。定理的推论：定理的推论：4a与b的夹角是90，则a与b垂直，记作ab新授：新授：1.向量的夹角：向量的夹角：已知两个非零向量a和b如图，则AOB=（0180）叫做向量的夹角当=0时，a与b同向当=180时，a与b反向oBAab共起点ABC思考:正ABC中,向量AB与BC的夹角为几度?D52.向量的正交分解向量的正交分解 在平面上在平面上, ,如果选取互相垂直的向量作为如果选取互相垂直的向量作为基底时基底时, ,会为我们研究问题带来方便会为我们研究问题带来方便. .63.3.平面
4、向量的坐标表示平面向量的坐标表示O Oxy平面内的任一向量平面内的任一向量 , ,有且只有一对实数有且只有一对实数x,y,x,y,使使 成立成立则称则称( (x，y) )是向量是向量 的坐的坐标标 如图如图, ,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,分别取与分别取与x x轴、轴、y y轴正方向轴正方向同向的两个同向的两个单位向量单位向量 作基底作基底. .记作：记作：(1) (1) 与与 相等的向量的坐标均为相等的向量的坐标均为(x, y)(x, y)注意：注意：7(4)(4)如图以原点如图以原点O O为起点作为起点作 , ,点点A A的位置被的位置被 唯一确定唯一确定. .此时点此时点A
5、 A的坐标即为的坐标即为 的坐标的坐标（5 5）区别点的坐标和向量坐标）区别点的坐标和向量坐标相等向量的坐标是相同的相等向量的坐标是相同的, ,但起点、终点的坐标可以不同但起点、终点的坐标可以不同（1 1）与）与 相等的向量的坐标均为相等的向量的坐标均为（x,y)x,y)注意：注意：（3 3）两个向量）两个向量 相等的充要条件：相等的充要条件：(6)(6)3.3.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示( (x, yx, y) )A AO Ox xy y8例1.如图,用基底，分别表示向量并求它们的坐标解：由图可知解：由图可知同理，同理，A A1 1A AA A2 2y yx xO O1 13.3.
6、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示9随堂练习随堂练习坐标是坐标是 .(2,3)x=,y=.标标坐标为坐标为 .(-2-x,1-y)3 110B标标的坐标为的坐标为(i,j),(i,j),则点则点A A的坐标为的坐标为(m-i,n-j)11问题探究：问题探究： 1 1、根据平面向量的坐标表示及向量的运算，、根据平面向量的坐标表示及向量的运算，你能完成下面的问题吗？你能完成下面的问题吗？(1)你能用你能用 表示表示 吗？吗？（2）12x xy yO O 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标的终点的坐标减去始点的坐标 2.2.已知已
7、知问题探究：问题探究：13同理可得：同理可得：两两个个向向量量和和与与差差的的坐坐标标分分别别等等于于这这两两 个个 向向 量量 相相 应应 坐坐 标标 的的 和和 与与 差差4.4.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算14实实数数与与向向量量的的积积的的坐坐标标等等于于用用这这个个实实数数乘乘原原来来向向量量的的相相应应坐坐标标3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算15xyo例题讲解例题讲解如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),求 坐标.一个向量的坐标等于表示此向量的有一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标向线段的终点的坐标减去始点的坐标16的坐标.例
8、题讲解例题讲解17例题讲解例题讲解解法解法1 1：设顶点：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y）已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别为的坐标分别为( (2,1)2,1)、( (1,3)1,3)、(3,4),(3,4),求顶点求顶点D D的坐标的坐标11yxOABCD1811yxOABCD解法解法2:2:由向量加法的平行四边形法则可知由向量加法的平行四边形法则可知19课堂练习：课堂练习：( 2 , 4 )（-3，9）（-5，5）20课堂练习：课堂练习：21课堂练习：课堂练习：22(1)(1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和；两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和；(2)(2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差；两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差；(3)(3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数；乘以该实数； 小结小结23
