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1、 量子力学教程量子力学教程目 录第一章第一章 序论序论 第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程 第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量 第四章第四章 态和力学量的表象态和力学量的表象 第五章第五章 微扰理论微扰理论 第六章第六章 散射散射 第七章第七章 自旋与全同粒子自旋与全同粒子 附录附录 科学家传略科学家传略 第一章第一章 绪论绪论 【教学目的】 了解量子力学的研究对象、适用范围、量子力学的发展过程、玻尔的量子理论、光和粒子的波粒二象性。 内容第一节第一节 经典物理学的困难经典物理学的困难第二节第二节 光的波粒二象性光的波粒二象性第三节第三节 原子结构的波尔理论原子
2、结构的波尔理论第四节第四节 微光粒子的波粒二象性微光粒子的波粒二象性1 1 经典物理学的困难经典物理学的困难n( (一）经典物理学的成功一）经典物理学的成功 n1919世世纪纪末末，物物理理学学理理论论在在当当时时看看来来已已经经发发展展到到相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面： n(1)(1) 应应用用牛牛顿顿方方程程成成功功的的讨讨论论了了从从天天体体到到地地上上各各种种尺尺度度的的力力学学客客体体的的运运动动，将将其其用用于于分分子子运运动动上上，气气体体分分子子运运动动论论，取取得得有有益益的的结结果果。18971897年年汤汤姆姆森森发发现现
3、了了电电子子，这这个个发发现现表表明明电电子子的的行行为为类类似似于于一一个个牛牛顿粒子。顿粒子。 n(2)(2) 光光的的波波动动性性在在18031803年年由由杨杨氏氏衍衍射射实实验验有有力力揭揭示示出出来来，麦麦克克斯斯韦韦在在18641864年年发发现现的的光光和和电电磁磁现现象象之之间间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上。的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上。（二）（二）经经典物理学的困典物理学的困难难n但是这些概念，在进入但是这些概念，在进入2020世纪以后，受世纪以后，受到了冲击。经典理论在解释一些新的试到了冲击。经典理论在解释一些新的试验结果上遇到了严重的困难。验结果
4、上遇到了严重的困难。 n （1 1）黑体辐射问题）黑体辐射问题 n （2 2）光电效应）光电效应 n （3 3）氢原子光谱）氢原子光谱黑体黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称绝对黑体，简称黑体黑体。辐射热平衡状态辐射热平衡状态: : 处于某一温度处于某一温度T T下的腔壁，单位面积所发射下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡热平衡状态状态。 （ 1 1） 黑体辐射黑体辐射热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，热平衡
5、时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度其形状和位置只与黑体的绝对温度 T T 有关有关而与黑体的而与黑体的形状形状和和材料材料无关无关。实验发现：实验发现： 能能量量密密度度 (104 cm)0510Wien Wien 公式公式 Wien 线线能能量量密密度度 (104 cm)0510Wien Wien 公公式式在在短短波波部部分分与与实实验验还还相相符符合合，长长波波部分则明显不一致。部分则明显不一致。 （2 2）光）光电电效效应应n光光照照射射到到金金属属上上，有有电电子子从从金金属属上上逸逸出出的的现现象象。这这种种电电子子称称之之为为光光电电子子
6、。实实验验发发现现光光电电效效应应有有两两个突出的特点：个突出的特点：1.1.临临界界频频率率v v0 0 只只有有当当光光的的频频率率大大于于某某一一定定值值v v0 0 时时，才才有有光光电电子子发发射射出出来来。若若光光频频率率小小于于该该值值时时，则则不不论论光光强强度度多多大大，照照射射时时间间多多长长，都都没没有有电电子子产产生生。光光的的这这一一频频率率v v0 0称为临界频率。称为临界频率。2.2.电电子子的的能能量量只只是是与与光光的的频频率率有有关关，与与光光强强无无关关，光光强强只只决决定定电电子子数数目目的的多多少少。光光电电效效应应的的这这些些规规律律是是经经典典理理
7、论论无无法法解解释释的的。按按照照光光的的电电磁磁理理论论，光光的的能能量量只只决决定定于于光光的的强强度度而而与与频率无关。频率无关。（3 3）原子光）原子光谱谱，原子，原子结结构构n 氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就发现了的。发现了的。18851885年瑞士年瑞士巴尔末巴尔末发现紫外光附近的发现紫外光附近的一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：这就是著名的这就是著名的巴尔末公式巴尔末公式（BalmerBalmer）。）。以后又发现了一系以后又发现了一系列线系，它们都可以用下面公式表示：列线系，它们都可
8、以用下面公式表示： 人们自然会提出如下三个问题：人们自然会提出如下三个问题：n1.1. 原子线状光谱产生的机制是什么？原子线状光谱产生的机制是什么？ n2.2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？光谱线的频率为什么有这样简单的规律？ n3.3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们启发我们思考：思考：怎样的发光机制才能认为原子的怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来描写状态可以用包含整数值的量来描写。n这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能经典物理学不能建立一个稳定的原
9、子模型。建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子根据经典电动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量损失能量而损失能量而“掉到掉到”原子核中去，原子就原子核中去，原子就“崩溃崩溃”了，但是，现实了，但是，现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它实验世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。现象在经典理论看来是难以解释的
10、，这里不再累述。 n总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是量子力学量子力学就在就在这场物理学的危机中诞生。这场物理学的危机中诞生。从前，希腊人有一种思想认为：从前，希腊人有一种思想认为： 自然之美要由整数来表示。例如：自然之美要由整数来表示。例如： 奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。2 2 量子量子论论的的诞诞生生 （一）（一）Planck Planck 黑体辐射定律黑体辐射定律 （二）光量子的
11、概念和光电效应理论（二）光量子的概念和光电效应理论（三）（三）Compton Compton 散射散射 光的粒子性的进一步证实光的粒子性的进一步证实（四）波尔（四）波尔（BohrBohr）的量子论）的量子论 （一）（一）Planck Planck 黑体黑体辐辐射定律射定律n究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观察到究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观察到的黑体辐射能量分布，对此问题的研究导致了的黑体辐射能量分布，对此问题的研究导致了量子物理学的诞生。量子物理学的诞生。 19001900年月日年月日PlanckPlanck 提出：提出： 如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处如果空腔内的黑体辐射和腔壁原
12、子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，模型，Planck Planck 假定：假定：该式称为该式称为 Planck Planck 辐射定律辐射定律Planck 线线能能量量密密度度 (104 cm)0510（1 1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v v 振荡；振荡；（2 2）黑体只能以）黑体只能以 E = hv E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续
13、的发射辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。和吸收辐射能量。对对 Planck 辐辐射定律射定律的的讨论讨论：（1 1）当）当 v v 很大（短波）时，因为很大（短波）时，因为 exp(hvexp(hv /kT)-1 /kT)-1 exp(hvexp(hv / /kTkT) )，于是，于是 Planck Planck 定律定律 化为化为 WienWien 公式。公式。维恩公式维恩公式（2 2）当）当 v v 很小（长波）时，因为很小（长波）时，因为 exp(hvexp(hv /kT)-1 1+(h v /kT)-1=(h v / /kT)-1 1+(h v /kT
14、)-1=(h v /kTkT) )， 则则 Planck Planck 定律变为定律变为 RayleighRayleigh-Jeans -Jeans 公式。公式。RayleighRayleigh-Jeans -Jeans 公式公式（二）光量子的概念（二）光量子的概念和光和光电电效效应应理理论论n（1 1）光子概念光子概念 n（2 2）光电效应理论光电效应理论 n（3 3）光子的动量光子的动量(1) 光子概念光子概念n第一个肯定光具有微粒性的是第一个肯定光具有微粒性的是 EinsteinEinstein，他认他认为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。 根根据
15、他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量量 hh的微粒形式出现，而且以这种形式在空间的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速以光速 C C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。传播，这种粒子叫做光量子，或光子。（2） 光光电电效效应应理理论论用光子的概念，用光子的概念，Einstein Einstein 成功地解释了光电效应的规律。成功地解释了光电效应的规律。当光照射到金属表面时，能量为当光照射到金属表面时，能量为 hh的光子被电子所吸的光子被电子所吸收，电子把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的收，电子把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引
16、，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。吸引，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。其能量关系可写为：其能量关系可写为：从上式不难解释光电效应的两个典型特点：从上式不难解释光电效应的两个典型特点：光光电电效效应应的两个典型特点的解的两个典型特点的解释释1. 1. 临界频率临界频率v v0 02. 2. 光电子能量只决定于光子的光电子能量只决定于光子的频率频率 由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子 V V = 0= 0 时由该式所决定，即时由该式所决定，即 hv -A = 0hv -A = 0，v v0 0 = A / h
17、= A / h ， 可见，可见，当当 v vv ；2 2 波长增量波长增量 = = 随散射角增大而增大。这一现随散射角增大而增大。这一现象称为象称为 Compton Compton 效应。效应。nX-X-射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。该效应有如下该效应有如下 2 2 个特点：个特点：经典电动力学不能解释这种新波长的出现，经典力学认为电经典电动力学不能解释这种新波长的出现，经典力学认为电磁波被散射后，波长不应该发生改变。磁波被散射后，波长不应该发生改变。但是如果把但是如果把 X- X-射线射线被电子散射的过程看成是光子与电子的
18、碰撞过程，则该效应被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过程，则该效应很容易得到理解很容易得到理解（2）定性解定性解释释n根据光量子理论，具有能量根据光量子理论，具有能量 E = h E = h 的光子与电子碰撞后，的光子与电子碰撞后，光子把部分能量传递给电子，光子的能量变为光子把部分能量传递给电子，光子的能量变为 E= hE= h 显然有显然有E EE E, , 从而有从而有 ）且随散射角且随散射角增大而增大。增大而增大。康普顿波长康普顿波长式中也包含了式中也包含了 Planck Planck 常数常数 h h，经典物理学无法解释它，经典物理学无法解释它，Compton Compton 散射
19、实验是对光量子概念的一个直接的强有力的支散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力的支持。持。（3）证证 明明根据能量和动量守恒定律：根据能量和动量守恒定律：k k mv代代入入得：得：两式两边平方：两式两边平方：（2 2）式）式（1 1）式得：）式得：运动质量代入所以所以最后得：最后得：即代入得到得到其中（四）波（四）波尔尔（BohrBohr）的量子）的量子论论nPlanck-EinsteinPlanck-Einstein 光量子概念必然会促进物理学光量子概念必然会促进物理学其他重大疑难问题的解决。其他重大疑难问题的解决。19131913年年 BohrBohr 把这种把这种概念运用到原子结构问
20、题上，提出了他的原子的概念运用到原子结构问题上，提出了他的原子的量子论。该理论今天已为量子力学所代替，但是量子论。该理论今天已为量子力学所代替，但是它在历史上对量子理论的发展曾起过重大的推动它在历史上对量子理论的发展曾起过重大的推动作用，而且该理论的某些核心思想至今仍然是正作用，而且该理论的某些核心思想至今仍然是正确的，在量子力学中保留了下来确的，在量子力学中保留了下来 n（1 1）波尔假定）波尔假定 n（2 2）氢原子线光谱的解释）氢原子线光谱的解释 n（3 3）量子化条件的推广）量子化条件的推广 n（4 4）波尔量子论的局限性）波尔量子论的局限性（1）波）波尔尔假定假定nBohr Bohr
21、 在他的量子论中提出了两个极为重要的概念，在他的量子论中提出了两个极为重要的概念，可以认为是对大量实验事实的概括。可以认为是对大量实验事实的概括。1.1.原子具有能量不连续原子具有能量不连续的定态的概念。的定态的概念。 2.2.量子跃迁的概念量子跃迁的概念. . 原子处于定态时不辐射也不吸收能量，但是因某种原因，电子原子处于定态时不辐射也不吸收能量，但是因某种原因，电子可以从一个能级可以从一个能级 E En n 跃迁到另一个较低（高）的能级跃迁到另一个较低（高）的能级 E Em m ，同时，同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为：将发射（吸收）一个光子。光子的频率为： 而处于基态（能量最低态
22、）的原子，则不放出光子而稳定的存而处于基态（能量最低态）的原子，则不放出光子而稳定的存在着在着原子的稳定状态只可能是某些具有一定分立值能量状态原子的稳定状态只可能是某些具有一定分立值能量状态 E1,E2,., En E1,E2,., En 。这些状态被称为。这些状态被称为定态定态频率条件频率条件为了具体确定这些能量数值为了具体确定这些能量数值，BohrBohr提出了量子化条件：提出了量子化条件：电子角动量电子角动量( (这里仅仅指的是角动量的大小，不包括方向这里仅仅指的是角动量的大小，不包括方向) )只只能取能取 的整数倍的整数倍（2）氢氢原子原子线线光光谱谱的解的解释释根据这两个概念，可以圆
23、满地解释氢原子的线光谱。根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子的线光谱。假设氢原子中的电子绕核作圆周运动假设氢原子中的电子绕核作圆周运动 +Fc vre由量子化条件由量子化条件第一第一Bohr轨道半径轨道半径电电子的能量子的能量与氢原子线光谱与氢原子线光谱的经验公式比较的经验公式比较根据根据 Bohr Bohr 量子跃迁的量子跃迁的概念概念得得 Rydberg Rydberg 常数常数与实验完全一致与实验完全一致（3）量子化条件的推广）量子化条件的推广由理论力学知，若将角动量由理论力学知，若将角动量 L L 选为广义动量，则选为广义动量，则为广义坐标。为广义坐标。考虑积分并利用考虑积分并利用 B
24、ohr Bohr 提出的量子化条件，有提出的量子化条件，有索末菲索末菲将将 BohrBohr 量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况，自由度情况，这样这样索末菲量子化条件索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子（个电子（LiLi，NaNa，K K 等）的一些原子光谱也能很好的解释。等）的一些原子光谱也能很好的解释。（4）波波尔尔量子量子论论的局限性的局限性n1. 1. 不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的光谱；光谱； n2. 2.
25、 不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；不能给出光谱的谱线强度（相对强度）； n3. Bohr 3. Bohr 只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题，只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题，如散射问题；如散射问题； n4. 4. 从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相容。多从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相容。多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。 波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，取得了波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问题也逐渐为很大的成功。但是它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识人们所
26、认识 3 3 实实物粒子的波粒二象性物粒子的波粒二象性n（一）（一）L LDe De BroglieBroglie 关系关系 n（二）（二）de de BroglieBroglie 波波 n（三）驻波条件（三）驻波条件 n（四）（四）de de BroglieBroglie 波的实验验证波的实验验证（一）LDe Broglie 关系根据根据Planck-Einstein Planck-Einstein 光量子论，光具有波动粒子二重性，光量子论，光具有波动粒子二重性， 以及以及BohrBohr量子论，启发了量子论，启发了de. Brogliede. Broglie，他，他 （1 1）仔细分析了光
27、的微粒说与波动说的发展史；）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史； （2 2）注意到了几何光学与经典力学的相似性，）注意到了几何光学与经典力学的相似性，提出了实物粒提出了实物粒子（静质量子（静质量 m m 不等于不等于 0 0 的粒子）也具有波动性。也就是说，的粒子）也具有波动性。也就是说，粒子和光一样也具有波动粒子和光一样也具有波动- -粒子二重性，二方面必有类似的关粒子二重性，二方面必有类似的关系相联系。系相联系。假定：与一定能量假定：与一定能量假定：与一定能量假定：与一定能量 E E E E 和动量和动量和动量和动量 p p p p 的实物粒子相联系的波的实物粒子相联系的波的实物粒子相联
28、系的波的实物粒子相联系的波（他称之为（他称之为（他称之为（他称之为“物质波物质波物质波物质波”）的频率和波长分别为：）的频率和波长分别为：）的频率和波长分别为：）的频率和波长分别为：德布罗意关系式，与普朗克德布罗意关系式，与普朗克- -爱因爱因斯坦公式类似，但内涵不同斯坦公式类似，但内涵不同（二）（二）de Broglie 波波我们来推导一下自由粒子的物质波。因为自由粒子的能量我们来推导一下自由粒子的物质波。因为自由粒子的能量 E E 和动量和动量 p p 都是常量，所以由都是常量，所以由de Broglie de Broglie 关系可知，与自由关系可知，与自由粒子联系的波的频率粒子联系的波
29、的频率和波矢和波矢k k（或波长（或波长）都不变，即是一）都不变，即是一个单色平面波。由力学可知，频率为个单色平面波。由力学可知，频率为，波长为，波长为，沿单位，沿单位矢量矢量 n n 方向传播的平面波可表为：方向传播的平面波可表为：写成复数形式写成复数形式de Broglie de Broglie 关系：关系： = E/h = E/h = = 2 = = 2 E/h = E/E/ = h/p = h/p k = 1/ k = 1/ = 2 / = p/p/ 这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或称为描这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或称为描写自由粒子的平面波，这种写成复数形式的波
30、称为写自由粒子的平面波，这种写成复数形式的波称为 de de Broglie Broglie 波波（三）（三）驻驻波条件波条件为了克服为了克服 Bohr Bohr 理论带有人为性质的缺陷，理论带有人为性质的缺陷， de Brogliede Broglie 把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。例如：例如：氢原子中作稳定氢原子中作稳定圆周运动的电子相应的圆周运动的电子相应的驻波示意图驻波示意图要求圆周长是要求圆周长是波长的整数倍波长的整数倍
31、于是角动量：于是角动量：de Broglie de Broglie 关系关系r代代入入de de BroglieBroglie 波在波在19241924年提出后，在年提出后，在1927-19281927-1928年由年由 DavissonDavisson 和和GermerGermer 以及以及 G.P.ThomsonG.P.Thomson 的电子衍射实验所证实。的电子衍射实验所证实。法拉第园法拉第园 筒筒入射电子注入射电子注镍单晶镍单晶 d衍射最大值公式衍射最大值公式作作 业业 周世勋量子力学教程：周世勋量子力学教程： 1.2 、 1.4 曾谨言量子力学导论：曾谨言量子力学导论： 1.1、1.3
