正交变换与正交矩阵

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1、正交变换与正交矩阵正交变换与正交矩阵戴立辉 林大华 林孔容(闽江学院数学系，福建 福州 350108 )摘摘 要要 介绍正交变换的概念，研究线性变换为正交变换的等价条件；从矩阵理论的角度，探讨正交矩阵的常用性质.关键词关键词 正交变换；正交矩阵；等价条件；性质一、正交变换一、正交变换 定定义义1.1 1.1 设A A是欧氏空间V的一个线性变换,若A A保持向量的内积不变,即对于任意的，V都有(A，A) = (，)，则称A A为V的正交变换.二、等价条件二、等价条件 定定理理2.1 2.1 设A A是n维欧氏空间V V的一个线性变换,则下列命题等价: 1)A A是正交变换； 2)A A保持向量的

2、长度不变,即对于V，|A A|=|； 3)A A把V V的标准正交基变为V V的标准正交基； 4)A A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 证：证：1）2）对于V,由(A A，A A)=(，),即得：|A A|=|2）3）设1，2，n是V的任一标准正交基,记i+j=V. 由|A A|=|或(A A，A A)=(,)得(A A(i+j)，A A(i+j)=(i+j， i+j） 而 (A A(i+j)，A A(i+j) =(A Ai，A Ai)+2(A Ai，A Aj)+(A Aj，j) =(i，i)+2(i，j)+(j，j) (i+j， i+j）=(i，i)+2(i，j)+(j，j)故 A A1，

3、A A2，A An是V的一组标准正交基.3)4）设1，2，n是V的标准正交基,A A(1，2，n)=(A A1，A A2，A An) = (1，2，n)A 由3), A A1，A A2，A An是V的标准正交基,故A可看作是由标准正交基1，2，n到标准正交基A A1，A A2，A An的过渡矩阵,A是正交矩阵.4)1）设1，2，n是V的标准正交基,且A A在此基下的矩阵A为正交矩阵. 由(A A1，A A2，A An)= (1，2，n)A,知A A1，A A2，A An也是V的标准正交基, 设=x11+x22+xnn,=y11+y22+ynn,则A A=x1A A1+x2A A2+xnA An

4、A A=y1A A1+y2A A2+ynA An (A A,A A)= x1y1+x2y2+xnyn(,)= x1y1+x2y2+xnyn所以 (A A，A A)=(，),故A A为正交变换.三、正交矩阵三、正交矩阵 正交矩阵有以下几种等价定义. 定定义义3.1 3.1 A为n阶实矩阵,若ATA=E,则称A为正交矩阵. 定定义义3.23.2 A为n阶实矩阵,若AAT=E,则称A为正交矩阵. 定定义义3.33.3 A为n阶实矩阵,若AT=A-1,则称A为正交矩阵. 定定义义3.4 3.4 A为n阶实矩阵，若A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵. 性质性质3.1 3.1 设为

5、A正交矩阵，则： 1）|A|=1；2）A可逆，其逆A-1也是正交矩阵； 3）AT，A*也是正交矩阵. 证：证：1）由AAT=E，可知|A|2=1，或者|A|=1. 对正交矩阵A，当|A|=1时，我们称A为第一类正交矩阵；当|A|=-1时，则称A为第二类正交矩阵. 2)由AAT=E,可知A可逆,且A-1=AT,又(A-1)T=(AT)T=A=(A-1)-1=E.故A-1是正交矩阵. 3)由2)知AT=A-1,AT是正交矩阵.而A*=|A|A-1= A-1,有(A*)T=(A-1)T=A=(A*)-1,故A*是正交矩阵. 性质性质3.2 设A，B都是正交矩阵，则： 1)AB，Am(m为自然数),A

6、TB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA等都是正交矩阵； 证证: :1)由AT=A-1,BT=B-1可知(AB)T=BTAT=B-1A-1=(AB)-1，所以AB为正交矩阵，从而再由性质1可推知:Am(m为自然数),ATB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA等均为正交矩阵. 性质性质3.3:3.3: 1）设A，B为正交矩阵，且|A|=-|B|，则A+B必不可逆； 2）设为A，B奇数阶正交矩阵，且|A|=|B|，则必A-B不可逆. 证：证：1)由|A+B|=|BBTA+BATA|=|B|BT+AT|A|=-|B|2|BT+AT|=-|(A+B)T|=-|A+B| 得|A+B|=0,即A+

7、B不可逆. 2)由|A-B|=|BBTA-BATA|=|B|BT-AT|A| =|B|2|BT-AT|=|-(A-B)T|=(-1)n|A-B| 知n为奇数时,|A-B|=-|A-B|，即|A-B|=0，从而A-B不可逆. 推论推论3.1 3.1 1）设A是第二类正交矩阵，则A+E必不可逆； 2）设A是奇数阶第一类正交矩阵，则A-E必不可逆.四、正交变换的性质四、正交变换的性质 性性质质4.1 4.1 正交变换的行列式等于+1或者-1.行列式等于+1的正交变换称为旋转,或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的. 证证：正交变换A A在标准正交基下的矩阵A是正交矩阵,A A的行列式

8、等于A的行列式. 所以正交变换的行列式等于+1或者-1. 性性质质4.2 4.2 正交变换是欧氏空间的一个自同构映射. 证证：设 是V V的正交变换, 在任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵,它有逆矩阵,故 有逆变换,因而 是V V到V V上的双射. 对于任意的,V V，由 是正交变换知 (+)= ()+ ()， (k)=k ()，kR( (), ()=(,)所以 是V V到V V的一个自同构映射. 性性质质4.3 4.3 正交变换的乘积、正交变换的逆变换还是正交变换. 证：证：设A,B是V的线性变换,对于, V,由 (AB)，(AB)=(B，B)=(， ),及 (A-1， A-1)= (A(A-1)， A(A-1) )=(，)知 AB, A-1都是V的线性变换.参考文献参考文献 1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)M，北京：高等教育出版社,2003. 2同济大学应用数学系线性代数(第四版)M，北京：高等教育出版社,2003.谢谢各位老师谢谢各位老师!