《3-1线性方程组的同解变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3-1线性方程组的同解变换（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数下页结束返回第第3 3章章 线性方程组线性方程组二、齐次线性方程组解的结构与解法二、齐次线性方程组解的结构与解法三、非齐次线性方程组解的结构与解法三、非齐次线性方程组解的结构与解法下页一、线性方程组的同解变换一、线性方程组的同解变换高斯消元法与矩阵的初等行变换高斯消元法与矩阵的初等行变换基本概念基本概念线性方程组解的判定定理线性方程组解的判定定理线性代数下页结束返回第第1 1节节 线性方程组的同解变换线性方程组的同解变换下页二、二、 高斯消元法与矩阵的初等行变换高斯消元法与矩阵的初等行变换一、一、 基本概念基本概念三、三、 线性方程组解的判定定理线性方程组解的判定定理线性代数下页结束返
2、回1.1 1.1 基本概念基本概念含有含有m个方程个方程n个未知量的线性方程组一般形式为个未知量的线性方程组一般形式为 a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm=+-+若若b=(b1, b2, bm)o ，则称则称(1)为为非齐次线性方程组非齐次线性方程组；若若b=(b1, b2, bm)o ，即即a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxn000=+-+(2) 则称则称(2)为为齐次线性方程组齐次线性方程组, 或或(1) 的的导出组导出组. 下页第第1 1节节 线性方程组的同解变换线性
3、方程组的同解变换(1)线性代数下页结束返回A称为方程组的称为方程组的系数矩阵系数矩阵.A=a11a21am1a12a22am2a1na2namn称为方程组的称为方程组的增广矩阵增广矩阵. .下页系数矩阵与增广矩阵系数矩阵与增广矩阵定义定义1 1线性代数下页结束返回下页a11c1a21c1am1c1a12c2a22c2am2c2a1ncna2ncnamncnb1b2bm=+-+ 定义定义2 2 若以若以n个数组成的有序数组个数组成的有序数组c1, c2, , cn替代未替代未知量知量x1, x2, , xn，使方程组使方程组(1)的每一个方程都成为恒的每一个方程都成为恒等式，则称该有序数组等式，
4、则称该有序数组c1, c2, , cn是方程组是方程组(1)的的一个一个解解. 即若即若c1, c2, , cn是方程组是方程组(1)的一个解，则有：的一个解，则有：方程组的解方程组的解线性代数下页结束返回+ 4x3 = 3-2x2x1+ x3 = 5+4x2-x1+14x3 =12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235=-+-例例1.+4x3 = 3-2x2x1+5x3 = 82x2+2x3 = 3x2x3 = 2+4x3 = 3-2x2x1+2x3 = 3x2r1r2 r2-3r1 r3+r1r3-2r2(Ab)= 1 -2 4 3-1 4 1 5 3 -
5、5 14 12 3 -5 14 12 1 -2 4 3-1 4 1 5 0 1 2 3 1 -2 4 3 0 2 5 8 0 1 2 3 1 -2 4 3 0 0 1 2r1r2 r2-3r1 r3+r1r3-2r2 用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换行变换的过程.1.2 1.2 消元法与矩阵的初等行变换消元法与矩阵的初等行变换下页线性代数下页结束返回x3 = 2+4x3 = 3-2x2x1+2x3 = 3x2r3-2r2 0 1 2 3 1 -2 4 3 0 0 1 2r3-2r2 用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换
6、行变换的过程.1.2 1.2 消元法与矩阵的初等行变换消元法与矩阵的初等行变换下页x3 = 2 = -5-2x2x1 = -1x2r2-2r3r1-4r3 0 1 0 -1 1 -2 0 -5 0 0 1 2r2-2r3r1-4r3x3 = 2 = -7x1 = -1x2r1+2r2 0 1 0 -1 1 0 0 -7 0 0 1 2r1+2r2行最简形矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵线性代数下页结束返回 从前面的讨论中可以看出，利用线性方程组从前面的讨论中可以看出，利用线性方程组Ax = b的系数的系数矩阵矩阵A和增广矩阵和增广矩阵 =(A b), 可以方便地讨论线性方程组可以方便地
7、讨论线性方程组Ax = b是否有解以及有解时是否有解以及有解时,解是否唯一等问题解是否唯一等问题.1.3 1.3 线性方程组解的判定定理线性方程组解的判定定理设增广矩阵设增广矩阵 =(A b)的的行最简形行最简形为为下页线性代数下页结束返回下页(1) 若若R(A)R( ), 则则B1中的中的dr+1=1. 行对应矛盾方程行对应矛盾方程0=1. 故方程组故方程组Ax = b无解无解.于是于是B1的第的第r+1线性代数下页结束返回 (2) 若若R(A)=R( )=r=n, 则则B1中的中的dr+1=0(或第或第r+1行行不出现不出现). 由于由于 或或B1只有只有n+1列列, 故故B1中的中的bi
8、j均不出现均不出现.于是于是B1对应的等价方程组为对应的等价方程组为故方程组故方程组Ax = b有唯一解有唯一解.下页线性代数下页结束返回 (3) 若若R(A)=R( )=rn, 则则B1中的中的dr+1=0(或第或第r+1行行不出现不出现). 此时此时B1对应的等价方程组为对应的等价方程组为下页线性代数下页结束返回称称xr+1, , xn为上述方程组的为上述方程组的自由未知量自由未知量, 令令xr+1=c1, , xn=cnr, 用列矩阵用列矩阵(列向量列向量)的形式表示为的形式表示为:可得方程组可得方程组Ax = b的含有的含有nr个参数的解个参数的解:下页线性代数下页结束返回 由于参数由
9、于参数c1, , cnr可任意取值可任意取值, 故方程组故方程组Ax = b有有无穷多解无穷多解.由以上的分析，我们可以得到以下定理。由以上的分析，我们可以得到以下定理。下页定理定理1 线性方程组有解的充分必要条件是线性方程组有解的充分必要条件是 r(A)=r( ).定理定理2 （1）若）若r(A)=r( )=n，则方程组有唯一解，则方程组有唯一解 （2）若）若r(A)=r( )n，则方程组有无穷多解。，则方程组有无穷多解。线性代数下页结束返回例例1 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解 对增广矩阵对增广矩阵 进行初等行变换进行初等行变换,r23r1r32r1r3r2显然显然, R(A
10、)=2, R( )=3, 故方程组无解故方程组无解.下页线性代数下页结束返回例例2 求解非齐次方程组求解非齐次方程组解解 对增广矩阵对增广矩阵 进行初等行变换进行初等行变换,显然显然, R(A)=R(B)=2, 故方程组有解故方程组有解, 且有且有(行最简形行最简形)下页线性代数下页结束返回所以方程组的通解为所以方程组的通解为:其中其中c1, c2为任意数为任意数.下页线性代数下页结束返回例例3 3 求解方程组求解方程组因此，此方程组有唯一解，因此，此方程组有唯一解， .下页线性代数下页结束返回1.1.设设是是矩阵，矩阵，是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 所对应齐次线性方程组，则下列结论正
11、确的所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（是（ ）仅有零解，则仅有零解，则有惟一解；有惟一解；有非零解，则有非零解，则有无穷多个解；有无穷多个解；有无穷多个解，则有无穷多个解，则仅有零解；仅有零解；有无穷多个解，则有无穷多个解，则有非零解有非零解A、若、若B、若、若C、若、若D、若、若下页线性代数下页结束返回1.1.设设为为阶实矩阵，阶实矩阵，是是的转置矩阵，的转置矩阵，（）必有（必有（ ）（A A） （）的解是（）的解是（）的解，（）的解，（）的解也是（）的解也是（）的解；）的解；（B B） （）的解是（）的解是（）的解，但（）的解，但（）的解不是（）的解不是（）的解；）的解；（C C） （）的解不是（）的解不是（）的解，（）的解，（）的解也不是（）的解也不是（）的解；）的解；（D D） （）的解是（）的解是（）的解，但（）的解，但（）的解不是（）的解不是（）的解）的解则对于线性方程组则对于线性方程组（）下页线性代数下页结束返回3 3设线性方程组设线性方程组有有 个未知量，个未知量， 个方程组，且个方程组，且，则此方程组（，则此方程组（ ）时，有解；时，有解；时，有惟一解；时，有惟一解；时时，有惟一解；，有惟一解；时时，有无，有无穷穷多解多解 （B B）（C）（D）（A）线性代数下页结束返回部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
