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1、怎样解题怎样解题清华中学 康贵生学会学解题 11数学解题数学解题解题是找出数学问题答案的活动例题讲解、习题求解、定理证明以及实际问题的建模解决等都是解题 解题是数学学习的一个核心内容和一种最基本的活动形式 数学解题又是掌握数学、学会“数学地思维”的基本途径，概念的掌握、技能的熟练、定理的理解、能力的培养、数学思想的领悟、数学态度的养成等都离不开解题实践(没有勤奋而得法的解题训练，谈不上掌握数学)； 数学解题还是评价学习的重要手段 231学解题的三步骤程式学解题的三步骤程式及其反思三步骤程式及其反思三步骤程式第1步：简单模仿 第2步：变式练习 第3步：自发领悟 第4步：自觉分析前3步体现了“接受
2、记忆知识练习巩固知识顿悟形成理解”这样一个逐步深化的认识过程，是传统教学所熟悉的 解题思维需要有解题思维需要有“第二过程第二过程”的暴露的暴露数学解题思维过程的暴露是一个不断分析解题过程、循环提升理解能力的探究活动在过程上，既有“第一过程”的暴露又有“第二过程”的暴露，是解题思维的全过程暴露；在内容上，既包括数学家的思维、又包括教师的思维、学生的思维（教室里应是这三种思维的同时暴露） （1）弗里德曼在怎样学会解数学题（文5）“致读者”中，分析学生解了大量的题但还“不开窍”时指出：“这些学生没有在应有的程度上分析所解的习题，不能从中分析出解题的一般方式和方法，解题常常只是为了得个答案” 波利亚的
3、波利亚的怎样解题怎样解题一书正是通过剖析典型一书正是通过剖析典型例题的解题过程来展开例题的解题过程来展开“解题表解题表”和和“教会年教会年轻人去思考轻人去思考”的，并且在解题表中专设了一个的，并且在解题表中专设了一个步骤步骤“回顾回顾”，为每一道题的自觉分析都留下，为每一道题的自觉分析都留下了时间和空间他在书中指出：了时间和空间他在书中指出：“一个好的教一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题是可以解决得十全十美的，总剩下些工何问题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做经过充分的探讨与钻研，我们能够改作要做经过充分的探讨与钻研，我们能够
4、改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平高自己对这个解答的理解水平”这就又进一这就又进一步说明，分析解题过程不仅能步说明，分析解题过程不仅能“改进改进”解答，解答，而且总能提高而且总能提高“理解理解”水平波利亚在水平波利亚在数学数学的发现的发现序言中还具体指出解题分析的最佳时序言中还具体指出解题分析的最佳时机：机：“可能是读者解出一道题的时候，或是阅可能是读者解出一道题的时候，或是阅读它的解法的时候读它的解法的时候” 主要的解题理论波利亚的怎样解题 弗里德曼在怎样学会解数学题 元认知理论认 数学学习论 分析典型的例题或自己的解
5、题，也是一种“案例分析”，它是“案例数学”在解题教学中的移植 解题差异论认为，解题的过程就是消除已知（条件）与未知（结论）之间差异的过程 什么是数学问题解决呢？什么是数学问题解决呢？ 1问题解决是心理活动问题解决是心理活动 2问题解决是一个过程问题解决是一个过程 3问题解决是一个目的问题解决是一个目的 4问题解决是一种能力问题解决是一种能力 数学解题在数学教育中的重要性数学解题在数学教育中的重要性波利亚在波利亚在数学的发现数学的发现中认为：中认为：“中学数学教中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练学的首要任务就在于加强解题能力的训练”（参（参见文见文5序言），解题在数学学习中有不容置疑
6、的序言），解题在数学学习中有不容置疑的重要性重要性:1数学解题是数学学习中不可或缺的核心内容，数学解题是数学学习中不可或缺的核心内容，数学解题的思维实质是发生数学数学解题的思维实质是发生数学2数学解题是数学学习中不可替代的实质活动，数学解题是数学学习中不可替代的实质活动，解题活动的核心价值是掌握数学解题活动的核心价值是掌握数学3数学解题是评价数学能力时不可削弱的主体构数学解题是评价数学能力时不可削弱的主体构成，解题测试的基本理念是呈现数学成，解题测试的基本理念是呈现数学数学解题就是解题者在数学思想方法指导下，运用数学解题就是解题者在数学思想方法指导下，运用数学基础知识和数学基本技能分析、解决问
7、题的过数学基础知识和数学基本技能分析、解决问题的过程程 波利亚的怎样解题表：波利亚的怎样解题表： 弄清问题弄清问题 拟定计划拟定计划 实现计划实现计划 回顾回顾解题化归论解题化归论解题化归论认为，解数学题的过程，就是将未知的数学问解题化归论认为，解数学题的过程，就是将未知的数学问题转化为已经解决问题的过程这是一种关于解题的很流题转化为已经解决问题的过程这是一种关于解题的很流行的观点，笛卡儿（公元行的观点，笛卡儿（公元15961650）在）在指导思维的指导思维的法则法则一书提出的一书提出的“通用方法通用方法”有化归思想的明确表达：有化归思想的明确表达：将所论的问题化归为数学问题（数学化），将所论
8、的问题化归为数学问题（数学化），将数学问题化归为代数问题（代数化），将数学问题化归为代数问题（代数化），将代数问题化归为方程的求解（计算化）将代数问题化归为方程的求解（计算化）虽然这种方法不是万能的，但所体现的化归思想确实是非虽然这种方法不是万能的，但所体现的化归思想确实是非常有价值的常有价值的1 波利亚的波利亚的怎样解题表怎样解题表乔治乔治波利亚（波利亚（George Polya 18871985）是美籍匈牙利数学家、数学教育家）是美籍匈牙利数学家、数学教育家在解题方面，是数学启发法在解题方面，是数学启发法(指关于发现指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法和发明的方法和规律，亦译为探索法
9、)现代现代研究的先躯研究的先躯 波利亚（公元波利亚（公元1889-1985）的）的怎样解题怎样解题一书体现了解题化归论，波利亚的著作运一书体现了解题化归论，波利亚的著作运用化归思想十分熟练、实施化归途径非常用化归思想十分熟练、实施化归途径非常丰富（当然波利亚的解题思想不仅仅是化丰富（当然波利亚的解题思想不仅仅是化归）归）数学解题数学解题美国数学家哈尔莫斯（PRHalmos）认为，问题是数学的心脏 他说：“数学究竟是由什么组成的？定理吗？证明吗？ 概念？定义？理论？公式？诚然，没有这些组成部分，数学就不在,这些都是数学的必要组成部分，但是， 它们中的任何一个都不是数学的心脏,这个观点是站得 住脚
10、的，数学家存在的主要理由就是解问题因此，数学的真正的组成部分是问题和解” 引例引例经验和知和知识的的积累累例例2-1 已知已知求求证证经测试经测试，学生普遍都能找到多种解法，但，学生普遍都能找到多种解法，但对对哪种解法更反映哪种解法更反映 问题问题的本的本质质或深或深层结层结构，构，认识认识是不一致的是不一致的证证明明 （从（从结论结论出出发发，用配方法），用配方法）证证明明 （从（从结论结论出出发发，用基本不等式），用基本不等式） 证明证明 （用柯西不等式）（用柯西不等式） 证明证明4 （两次用基本不等式）（两次用基本不等式） 相乘相乘 在同学在同学们们各抒己各抒己见见的基的基础础上，我上，
11、我们们不表不表态态，请请大家大家继续继续思考下思考下题题：例例2-2 已知已知求求证证这时这时，不同解法的，不同解法的难难度、度、长长度和技巧表度和技巧表现现出出差异差异证证明明 （配方法）（配方法）证证明明2 （柯西不等式法）（柯西不等式法） 证证明明3 （三次（三次用用基本不等式法）基本不等式法） 相乘相乘 同学同学们们体会到，当字母增加体会到，当字母增加时时，三次用基本不等式法更反映，三次用基本不等式法更反映题题目的目的结结构，构，并立即推广得并立即推广得 例例2-3 已知已知是是个正数，个正数，满满足足 求求证证 原题目：原题目：在椭圆 上求一点，使它与俩焦点的连线互相垂直。随着新课程
12、改革的深入，处理好教材上的习题，随着新课程改革的深入，处理好教材上的习题，挖掘它的潜在教育价值功能。挖掘它的潜在教育价值功能。注意题目的引伸、变式、推广等，落实学生的注意题目的引伸、变式、推广等，落实学生的“三维三维”目标和创新意识的培养。例如目标和创新意识的培养。例如高中高中数数学第二册（上）学第二册（上）第第132132页第页第6 6题来进行剖析说明。题来进行剖析说明。原题目：原题目：在椭圆上求一点，使它与俩焦点的连线互相垂直。（04湖南）已知是椭圆C：的两个焦点，在C上满足的点P的个数为_.（2000年天津、江西）、椭圆的焦点为点P为其上的动点，当为钝角时，点P的横坐标的取值范围是_.（
13、2004年福州）已知P点是椭圆上的一点，是两个焦点，且=，则的面积_.已知椭圆：的两个焦点分别为点P是椭圆上的任意点，它的横坐标为x，一般地有： 双关双关图这种画有不止一种效果，如果你按通常这种画有不止一种效果，如果你按通常的方式去看它，它是一个图像，可是如的方式去看它，它是一个图像，可是如果你转到另一个位置再换一种特殊方式果你转到另一个位置再换一种特殊方式去看它，那么另一个图像就会突然闪现去看它，那么另一个图像就会突然闪现在你面前，并对第一个图像发表某些诙在你面前，并对第一个图像发表某些诙谐的评论谐的评论 我们也许会一下子看出隐藏在塞满了的我们也许会一下子看出隐藏在塞满了的画面里的真正图形，
14、也可能是逐渐地把画面里的真正图形，也可能是逐渐地把它认了出来我们可能是在努力解题的它认了出来我们可能是在努力解题的过程中，也可能是在一些次要的、非实过程中，也可能是在一些次要的、非实质性的机会中达到了它质性的机会中达到了它 波利亚强调了审题步骤的必要性和优先地位波利亚强调了审题步骤的必要性和优先地位审题工作的重要还表现在一句口头禅上：成在审题工作的重要还表现在一句口头禅上：成在审题、败在审题，审清题意就等于解决了问题审题、败在审题，审清题意就等于解决了问题的一半的一半对于大量的常规题来说，题意弄清楚了，题型对于大量的常规题来说，题意弄清楚了，题型就得以识别，记忆中关于这类题的解法就召之就得以识别，记忆中关于这类题的解法就召之即来（叫做模式识别）即使是新的即来（叫做模式识别）即使是新的“陌生情陌生情景景”，我们也有了解决它的目标与原始基础，我们也有了解决它的目标与原始基础，继而可以用继而可以用“差异分析差异分析”、“数形结合数形结合”等措等措施施
