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1、运用变式教学拓展学运用变式教学拓展学生的学习空间生的学习空间华东师范大学数学系华东师范大学数学系 鲍建生鲍建生一、什么是数学变式教学？一、什么是数学变式教学？ 概念性变式概念性变式 过程性变式过程性变式 概念变式概念变式 非概念变式非概念变式 标准变式标准变式 非标准变式非标准变式 问题解决的变式化归问题解决的变式化归 解题三部曲解题三部曲 铺垫教学铺垫教学 精致练习精致练习 变式教学存在的问题1.变变式教学在我国具有广泛的式教学在我国具有广泛的实实践践经验经验，但，但许许多老多老师师都是在不自都是在不自觉觉地运用地运用变变式教学的思想。式教学的思想。需要把需要把变变式教学式教学变变成一个自成
2、一个自觉觉的行的行为为2.变变式教学的目的是式教学的目的是让让学生学得学生学得聪聪明一点，但很明一点，但很多多时时候候变变成了成了单纯单纯的的变变式式训练训练。应该应该通通过变过变式教学，拓展学生的思式教学，拓展学生的思维维3.许许多老多老师觉师觉得，得，变变式教学挺好，但不容易式教学挺好，但不容易设计设计有效的有效的变变式式问题问题。寻寻找找变变式教学式教学设计设计的有效工具的有效工具二、什么是变易理论？二、什么是变易理论？为了认识某个事物，就必须注意到这个事为了认识某个事物，就必须注意到这个事物与其他事物之间的不同。为了注意这个物与其他事物之间的不同。为了注意这个事物与其他事物在某个属性上
3、的不同，这事物与其他事物在某个属性上的不同，这个属性就必须在某个维度上发生变化。在个属性就必须在某个维度上发生变化。在所有其他属性都保持不变的情况下，这个所有其他属性都保持不变的情况下，这个差异才可以被识别出来。差异才可以被识别出来。F. Marton三、变式教学与变易理论的联系三、变式教学与变易理论的联系有效教学有效教学变式教学变式教学变易理论变易理论数学任务数学任务学习空间学习空间知识结构知识结构思想方法思想方法学科能力学科能力概念理解概念理解技能训练技能训练问题解决问题解决灵活性灵活性适应性适应性创造性创造性整体整体属性属性样例样例部分部分四、基于关键属性的教学设计四、基于关键属性的教学
4、设计拓展学习空间拓展学习空间例子例子属性属性部分部分整体整体关键关键属性属性课堂课堂教学教学设计设计与研与研究的究的工具工具多维度的多维度的学习空间学习空间确定最近发展区确定最近发展区扩展思维空间扩展思维空间构建知识网络构建知识网络聚焦核心概念聚焦核心概念加深数学理解加深数学理解五、小学课例分析五、小学课例分析p课题：基于学情分析的变式教学课题：基于学情分析的变式教学p年级：四年级年级：四年级p主持：朱向阳（特级教师，校长）主持：朱向阳（特级教师，校长）p地点：浙江省义乌市义亭小学地点：浙江省义乌市义亭小学p时间：时间：2014年年12月月4-5日日课例1：数图形课题：数图形课题：数图形教材：
5、北师大版数学上册教材：北师大版数学上册93-94页页年级：四年级年级：四年级任教：杨姣萍老师任教：杨姣萍老师学校：浙江省义乌市义亭小学学校：浙江省义乌市义亭小学时间：时间：2014年年12月月4日日基于关键属性的学习空间基于关键属性的学习空间属性属性1：维度：维度1维维0维维2维维属性属性2：情境：情境模型模型图形图形 符号符号故事故事属性属性3：算法：算法树形图树形图公式公式递归递归图表图表围绕关键属性的变式设计围绕关键属性的变式设计教材教材：北师大版小学数学四年级上册：北师大版小学数学四年级上册93-94页页原题原题：鼹鼠去菜地旅行：鼹鼠去菜地旅行小鼹鼠有多少条不同的线路？小鼹鼠有多少条不
6、同的线路？关键属性关键属性1：维度：维度（一）（一） 0维：由维：由“洞洞”到到“点点”ABCD抽象抽象符号表示符号表示（变式（变式1） 4点到点到5点、点、6点、点、7点、点、n点点.（二）（二）0维维1维：由维：由“点点”到到“线段线段”ABCD（变式（变式2）关键属性关键属性1：维度：维度（三）（三）1维维2维：由维：由“线段线段”到到“图形图形”ABCDABCD（变式（变式3）（变式（变式4）（变式（变式5）关键属性关键属性1：维度：维度（三）（三）1维维2维：由维：由“线段线段”到到“图形图形”ABCD（变式（变式6）（变式（变式7）ABCD关键属性关键属性1：维度：维度（三）（三）
7、1维维2维：由维：由“线段线段”到到“图形图形”（变式（变式8）（变式（变式9）ABCDFE（变式（变式10）关键属性关键属性1：维度：维度（四）（四）2维维3维：由维：由“平面平面”到到“空间空间”（变式（变式11）（变式（变式12）ABCD（变式（变式13）关键属性关键属性2：情境：情境（一）故事：鼹鼠旅行（一）故事：鼹鼠旅行（变式（变式14）如果小鼹鼠可以往回跑，那么有多少种如果小鼹鼠可以往回跑，那么有多少种不同的路线？不同的路线？如果四个小朋友两两握手一次，总共握如果四个小朋友两两握手一次，总共握了多少次手？了多少次手？如果前后两个洞之间都相距如果前后两个洞之间都相距10米，那米，那么
8、小鼹鼠所有路线都跑了一次后，总共么小鼹鼠所有路线都跑了一次后，总共跑了多少米？跑了多少米？（变式（变式15）（变式（变式16）关键属性关键属性2：情境：情境（二）图形：线段（二）图形：线段折线折线长方长方形形三角三角形形多边多边形形圆弧圆弧长方长方体体四面四面体体多面多面体体关键属性关键属性2：情境：情境（三）符号（三）符号（变式（变式17） A、B、C、D四点可以组成多少条线段？四点可以组成多少条线段？（变式（变式18）有四个数字：有四个数字：1、2、3、4可以组成多少个可以组成多少个两位数？两位数？关键属性关键属性3：算法：算法（一）树形图（一）树形图ABCD进进出出ABCDCDDDACB
9、AAB法法1：从进：从进口考虑口考虑法法2：从出：从出口考虑口考虑图形图形点数点数 基本线基本线段段线段数线段数211+0=1322+1=3433+2+1=6544+3+2+1=10关键属性关键属性3：算法：算法（二）（二） 图表图表ABABCABCDABCDE关键属性关键属性3：算法：算法（二）（二） 公式：组合数公式公式：组合数公式（1）（2）（3）关键属性关键属性3：算法：算法（三）（三） 递归递归如果我们把如果我们把4个点的所有线段数记为个点的所有线段数记为a4，那么，那么当有当有5个点是，我们可以分两部分考虑：个点是，我们可以分两部分考虑：（1）由前）由前4个点组成的所有线段数：个点
10、组成的所有线段数： a4；（2）以第）以第5个点为右端点的线段数：个点为右端点的线段数：4；所以所以5个点的线段总数是：个点的线段总数是： a5 = a4 + 4 （ ）ABCDE课例2：常见的数量关系（王礼英）属性属性1：关系：关系比例关系比例关系倍乘关系倍乘关系部分整体关系部分整体关系属性属性3：单位：单位基本单位基本单位乘幂单位乘幂单位比率单位比率单位属性属性4：算法：算法等量代换等量代换单位换算单位换算公式变形公式变形属性属性2：情境：情境模型模型图形图形 符号符号故事故事课例3：负数的认识（胡美文）属性属性1：表征（：表征（-3）正号正号字母表示字母表示负号与减号负号与减号属性属性3
11、：运算：运算“0”的界定：绝对与相对的界定：绝对与相对与正数的关系与正数的关系与减号的联系与减号的联系属性属性4：意义：意义相反数相反数数轴数轴符号符号属性属性2：模型：模型温度温度方向方向 海拔海拔记账记账课例课例4：买文具：买文具除数是整十数的除法除数是整十数的除法（刘友富）（刘友富）属性属性1：算式：算式竖式写法竖式写法余数表示余数表示横式写法横式写法属性属性3：运算：运算与乘法的关系与乘法的关系与减法的关系与减法的关系估算估算属性属性4：算理：算理位值位值化简化简互逆互逆属性属性2：模型：模型水笔水笔文具文具盒盒计算计算器器书包书包变与不变的四种范式变与不变的四种范式1. 对比对比(C
12、ontrast). 对比指的是对比指的是两两个事物、个事物、概念或现象在某个维度上不同值或特征的变概念或现象在某个维度上不同值或特征的变化化，同时这两个同时这两个(或多个或多个)事物之间的其他维事物之间的其他维度度(如形状如形状)保持不变。对比有助于识别特征。保持不变。对比有助于识别特征。2.分离分离(Separation)。分离指的是学习者将注分离指的是学习者将注意集中于事物、概念或现象的某个变易维度意集中于事物、概念或现象的某个变易维度上。学习者所识别的是变化的维度上。学习者所识别的是变化的维度3.类类化化(Generalization)。如果想将一个特如果想将一个特定的值从一个事物定的值
13、从一个事物(或多个事物或多个事物)中分离出来，中分离出来，就必须保持那个值不变，而同时让事物之间就必须保持那个值不变，而同时让事物之间的其他维度发生变化。关注保持不变的方面的其他维度发生变化。关注保持不变的方面叫做类合。叫做类合。4. 融合融合(Fusion)。融合指的是让学生注意事融合指的是让学生注意事物、概念或现象同时变化的几个方面。它反物、概念或现象同时变化的几个方面。它反映了几个变化的方面之间的关系，以及这些映了几个变化的方面之间的关系，以及这些方面与作为整体的学习内容之间的关系方面与作为整体的学习内容之间的关系ABAB五、为什么要进行变式教学？五、为什么要进行变式教学？1.变式教学是
14、中国数学教学的传统特色变式教学是中国数学教学的传统特色2.有助于形成良好的认知结构有助于形成良好的认知结构3.在较大的认知单元上工作在较大的认知单元上工作4.强化知识的主干强化知识的主干5.聚焦本源性问题（化归思维）聚焦本源性问题（化归思维）6.学会举一反三与一以贯之学会举一反三与一以贯之关于变式教学的研究历关于变式教学的研究历程程1.顾泠沅顾泠沅(1977 1990).上海青浦实验上海青浦实验 2.顾泠沅顾泠沅(1991).学会教学学会教学.人民教育出版社人民教育出版社 3.鲍建鲍建生生,黄荣黄荣金金,易凌峰易凌峰 &顾泠沅顾泠沅(2003).变式教学研究变式教学研究.数学教学数学教学,1-
15、3 4.聂必凯聂必凯(2004).数学变式教学的探索性研究数学变式教学的探索性研究. 华东师大博士论文华东师大博士论文5.Gu L., Huang, R. & Marton, F.(2004). Bianshe Jiaoxue (Teaching with variation): An effective way of mathematics teaching in China. In L. Fan, N. Y. Wong, J. Cai, & S. Li (Eds.),HowChinese learn mathematics: Perspectives from insiders(pp.309-348). Singapore: World Scientific 本报告主要基于上述的研究本报告主要基于上述的研究谢谢！谢谢！
