2021年高考数学二轮复习专项训练：三角函数与平面向量

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1、一、单选题一、单选题1已知，则（）1,2a r1,0b r2abrrABCD575252若，则（）3sin1222sin 23ABCD121232323已知平面向量，则向量与的夹角的余弦值为（）2,1 ,2,4abrrarbrABCD354535- -454若，则（）4sin3cos02sin22cosABCD48255625854 355将函数的图象向左平移个单位，再向上平移 1 个单位，得到的图象若 226f xsinx6 g x，且，则的最大值为（） 129g xg x1x22 ,2x 12xxABCD2346已知，且，则（）042a5sincos54sin45sin()AB

2、CD3 10101551553 10107如图，已知中，为的中点，若，则（）ABCDAB13AEACuu u ruuu rDEABBCuuu ruu u ruu u rABCD561616568在中，角的对边分别为，若，则形状是（）ABC, ,A B C, ,a b ccoscosaBbAABCA直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形9如图，在中，点 D 在线段 BC 上，且，则的面积ABC1cos4BAC3BDDC152AD ABC的最大值为（）AB4CD3 2152 310在中，角的对边分别为，已知，且ABCABC，abc，2 5c ，点满足，则2 sincossin

3、sinaCBaAbB5sin2bCO0OAOBOCuuvuu u vuuu v3cos8CAO的面积为（）ABCABCD5533 55 255二、填空题二、填空题11的值为_.sin613cos1063tan3012函数的最小正周期是_ 21 sinf xx 13如图所示，正八边形的边长为，若为该正八边形上的动点，则的取值范围12345678A A A A A A A A2P131A AAPuuuu r uuu r_.14将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数( )3cos(2) 13f xx3的图象，则函数具有性质_ （填入所有正确性质的序号）( )g x(

4、)g x最大值为，图象关于直线对称；33x 图象关于轴对称；y最小正周期为；图象关于点对称；(,0)4在上单调递减(0,)3三、解答题三、解答题15若向量，在函数( 3sin,0)(cos, sin)(0)mxnxxrr的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为且当的最大值为 1( )()f xmmntrrr,40,( )3xf x时（I）求函数的解析式；( )f x（II）求函数的单调递增区间( )f x16在中，内角、所对的边分别为、，已知，ABCABCabc2sin, 32Bmu r，且.cos,cos2BnBrmnu rr（）求角的大小；B（）如果，求的面积.1a 3b ABC17如图所示

5、，在中，的对边分别为 a，b，c，已知，ABC,A,BC2 sincossin0,bABaB1a .2c （1）求 b 和；sinC（2）如图，设 D 为 AC 边上一点，求的面积.37BDCDABD参考答案参考答案1C【解析】【分析】求出向量的坐标，然后利用向量模的坐标表示可求出的值.2ab2ab【详解】，因此，. 22 1,21,03,4ab222345ab故选：C.【点睛】本题考查向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.2A【解析】【分析】根据条件和二倍角公式，先计算出的值，再将所要求的，cos262sin 2sin2362根据诱导公式进行化简，得到答案.【详解】因为，3sin122

6、所以23cos21 262 12 2sin 2sin2362cos 26 cos26 .12故选：A.【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.3B【解析】【分析】由向量的模的坐标计算公式求出，利用数量积的坐标表示求出，再根据向量的夹角公式即可求出,a ba b 【详解】由，得.设向量与的夹角为，则2,1 ,2,4ab5,2 5abab2 22 48410552 5cos 故选：B【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题4B【解析】【分析】由，求得，再由，即可求出4sin3c

7、os03tan4222tan2sin22costan1【详解】由，求得，4sin3cos0sin3tancos4而，222222sincos2cos2tan2sin22cossincostan1所以22322564sin22cos25314故选：B【点睛】本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题5C【解析】【分析】首先利用函数图象的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果【详解】解：函数的图象向左平移个单位，得到的图象，再向上平移 1 个单 226f xsinx6226ysinx位，得到的图象， 221

8、6g xsinx由于若，且， 129g xg x1x22 ,2x 所以函数在和时，函数都取得最大值1xx2x 2216g xsinx所以，解得，12262xkkZ16xk由于且，所以，同理，所以1x22 ,2x 176x2116x 711366故选：C【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题6D【解析】【分析】首先根据，求得，结合角的范围，利用平方关系，求得5sincos510sin410，利用题的条件，求得，之后将角进行配凑，使得3 10cos4103cos45，利用正弦的和角公式求得结果.sin

9、sin44a【详解】因为，所以，5sincos510sin410因为，所以.42a3 10cos410因为，所以，044sin453cos45所以，sinsin44a1033 1043 1010510510故选 D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.7C【解析】【分析】利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值.DE,AB AC , 【详解】因为，1123DEDAAEBAAC 111111236363BABCBABABCABBC 所以，.故.16 1316故选：C.【点睛

10、】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.8D【解析】【分析】由，利用正弦定理化简可得 sin2Asin2B，由此可得结论coscosaBbA【详解】，coscosaBbA由正弦定理可得，sincossincosABBAsinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，2A2B 或 2A+2B，AB 或 A+B，2ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形故选：D【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.9C【解析】【分析】设，则，根据三角形的面积公式求出 AC，AB，然

11、后由BAD0BAC ，根据三角函数的性质求出面积的最大值1sin2ABCSAB ACBAC154213sin【详解】解：设，则BAD0BAC ，3BDDC152AD 34ABDABCSS13 124 2AB ADsinAB ACsin BAC，同理，83ACsin8ABsinBAC18 158 1515123344ABCSAB ACsin BACsin sinBACsincossin其中，15421 (3sin15)15tan，当时，0BAC 22sin(2)1max()15ABCmaxS故选：C【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档

13、积是面积的倍.故的面积为ABCAOC3ABC55【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.11.33【解析】【分析】根据诱导公式，进行化简，从而得到答案.【详解】sin613cos1063tan30sin253cos17tan30sin73cos17tan30 =cos17cos17tan3033故答案为：33【点睛】本题考查诱导公式化简，特殊角三角函数值，属于简单题.12【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期【详解】因为， 21 cos2311 sin1cos2222

14、xf xxx 所以函数的最小正周期为22T故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用以及余弦型函数的周期公式的应用，属于基础题132 2,86 2【解析】【分析】由题意可知，当与重合时，最小，当与重合时，最大，求出即可.P8A131A AAP P4A131A AAP 【详解】由题意，正八边形的每一个内角均为，12345678A A A A A A A A135且边长，12182A AA A13172 22A AA A由正弦函数的单调性及值域可知，当与重合时，最小，P8A131A AAP 且最小值为；222 222 cos112.52 222 22 当与重合时，.P4A13163 22 22

15、42 286 24 22A AAP 因此，的取值范围是.131A AAP 2 2,86 2故答案为：.2 2,86 2【点睛】本题考查平面向量数量积的运算以及数形结合思想的应用，解题的关键就是找出临界位置进行分析，考查计算能力，属于中等题.14【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到 3cos 213f xx33cos 2133yx的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，对3cos 213cos21xx 1 3cos2g xx 于函数：它的最大值为，由于当时，不是最值，故图象不关于直线 g x33x 32g x g x对称，故排除；由于该函数为偶函数，故它的图象关于轴对称，故正确；它的

16、最小周期为3x y，故正确；当时，故函数的图象关于点对称，故正确；在上，224x 0g x ,040,3不是单调函数，故排除，故答案为. 220,3xg x【方法点晴】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的周期性及奇偶性，属于难题三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个

17、角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解153( )3sin(2),320,2,333 3f xxtxx 当时55222,2612125( ),()121212kxkkxkf xkkkZ函数的单调递增区为分【解析】解：（I）由题意得( )()f xmmnt2mm n 23sin3sincos333cos2sin222233sin(2)432xxxtxxtxt 分对称中心到对称轴的最小距离为4的最小正周期为( )f xT6 分2,123( )3sin(2),320,2,333 3f xxtxx 当时2,( )333xxf x即时取得最大值3t)max(1,31,21( )3sin

18、(2).832xfttf xx 分（II）10 分222,232kxkkZ55222,2612125( ),()121212kxkkxkf xkkkZ函数的单调递增区为分16 （）；（）.2334【解析】【分析】（）由得出，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数关系可求得mn0m n ，结合的范围可得出角的值；tan3B BB（）利用余弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式即可求出的面积.cABC【详解】（），.mn2sincos3cossin3cos022BBm nBBB 化简得：，又，；tan3B 0B23B（）由余弦定理得，2222cosbacacB 22213122cc

19、整理得，解之得：，.220cc 1c 1133sin1 12224ABCSacB 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.17(1)，；(2).7b 21734【解析】【分析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到的值，再利用余弦定理，求出，根据正弦定理，求出；cosBbsinC（2）根据正弦定理得到，即，根据勾股定理得到，根据三角形面积公式，sin1CBD2CBD32BD 求出的面积.ABD【详解】（1）因为，2 sincossin0bABaB所以在中，由正弦定理，ABCsinsinsinabcABC得，2sinsinco

20、ssinsin0BABAB因为，所以，sinsin0AB 2cos10B 所以，1cos2B 又，所以，0B23B由余弦定理得，2222cosbacacB1142 1 22 7所以，7b 在中，由正弦定理，ABCsinsincbCB所以；sinsincBCb22sin37217（2）在中，由正弦定理得，ABDsinsinBDCCDCBD因为，所以，37BDCDsin3sin7CCBD因为，所以，21sin7C sin1CBD而0,CBD所以，2CBD由，设，37BDCD3 ,BDt7CDt所以，所以，222( 3 )1( 7 )tt12t 所以，32BD 因为，ABDABCDBC 2326所以.1sin2ABDSABBDABD1312222 34【点睛】本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.

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