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1、3.3两个随机变量函数的两个随机变量函数的分布分布本节我们只讨论当随机变量本节我们只讨论当随机变量(X,Y)的联合分布已知的联合分布已知时时,求其和、最大值、最小值的分布问题求其和、最大值、最小值的分布问题。 在在多维随机变量多维随机变量中需讨论：已知随机变中需讨论：已知随机变 量量X1, X2, ,Xn 及其联合分布，如何求及其联合分布，如何求 出它们的函数：出它们的函数： Yi =gi (X1, X2, ,Xn ), i = 1, 2, m 的联合分布。的联合分布。 研究的问题研究的问题在在一维随机变量一维随机变量中讨论了：已知随机中讨论了：已知随机变量变量 X 及它的分布，如何求其函数及
2、它的分布，如何求其函数的分布。的分布。我们先通过一个具体的例子来说明离散型随机变量我们先通过一个具体的例子来说明离散型随机变量和的分布律的计算方法和的分布律的计算方法一、一、Z=X+Y 的分布的分布例例1 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）的联合分布律为）的联合分布律为求求Z=X+Y的分布律。的分布律。解：解：Z 的可能取的可能取值为0，1，2，3列表为：列表为：Z0123P0.10.40.40.1例例2 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数.解解: =a0br+a1br-1+a
3、rb0 由独立性由独立性r=0,1,2, 下面我们推导更一般的公式下面我们推导更一般的公式证明：依题意证明：依题意 例例3 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.i=0,1,2,j=0,1,2,r =0,1，即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.独立正态变量的线性组合仍为正态变量独立正态变量的线性组合仍为正态变量Xi N( i, i2), i =1, 2, . n. 且且 Xi 间相互独间相互独立立, 实数实数 a1, a2, ., an 不全为零不全为零, 则则二、二
4、、M=max(X , Y )及及N=min(X ,Y )的分的分布布例例4 设设X与与Y 独立，且独立，且 X, Y 等可能地取值等可能地取值 0 和和1. 求求 Z = max(X, Y) 的分布律的分布律.解解:X 0 1P 1/2 1/2Y 0 1P 1/2 1/2Z = max(X, Y) 的取值为的取值为: 0, 1P(Z=0) = P(X=0, Y=0) =P(X=0)P(Y=0)=1/4P(Z=1)= P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1)= 3/4Z 0 1P 1/4 3/4例例5 设随机变量设随机变量(X,Y )的联合分布律为：的联合分布律为： （1）求）求Z=X+Y的分布律的分布律 （2）求）求U=max (X，Y )，V=min(X , Y)的分布律的分布律解解(X,Y )(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)(3,1)(3,2)Z=X+YU=max (X，Y )V=min (X，Y )P(X,Y )(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)(3,1)(3,2)Z=X+YU=max (X，Y )V=min (X，Y )P所以所以Z=X+Y的分布律为的分布律为U=max (X,Y )的分布律为的分布律为V=min (X,Y )的分布律为的分布律为
