《合情推理在数列中的体现(宁波市鄞州高级中学叶琪飞)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《合情推理在数列中的体现(宁波市鄞州高级中学叶琪飞)（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、合情推理在数列中的体现合情推理在数列中的体现能力的内涵的优质发展案例报告能力的内涵的优质发展案例报告宁波市鄞州高级中学宁波市鄞州高级中学 叶琪飞叶琪飞一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现二、类比推理在数列中的体现二、类比推理在数列中的体现三、合情推理在解数列综合题中的体现三、合情推理在解数列综合题中的体现“在数学里，发现真理的主要工具也在数学里，发现真理的主要工具也是是归纳归纳和和类比类比。” 法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯（1749-1827)合合情情推推理理归纳推理：归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，归纳推理：归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类
2、事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳简称归纳)。 例例1、观察下列等式、观察下列等式:由以上等式推测到一个一般的结论：由以上等式推测到一个一般的结论：2009，浙江高考题第，浙江高考题第15题题一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现由于加减号未注意，错成由于加减号未注意，错成 24n1+22n1由于加减号搞反了，错成由于加减号搞反了，错成 24n1(1)n22n1由于未注意到由于未
3、注意到n得取值从得取值从1开始，将开始，将4n1错成错成 4n+3，或将，或将2n1错成错成2n+1学生典型错误有如下三种：学生典型错误有如下三种：解：这是一种需归纳推理方法破解的问题，解：这是一种需归纳推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有结论由二项构成，第二项前有 ，二项指数，二项指数分别为分别为 ，因此对于任意的，因此对于任意的一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现(2010年考试说明中的参考试卷年考试说明中的参考试卷) 已知已知a00. 设方程设方程a0xa10的的1个根是个根是x1, 则则x1a1 / a0 设方程设方程a0x2a1xa20的的2个根是个根是x1
4、, x2, 则则x1x2 a2/a0 ； 设方程设方程a0x3a1x2a2xa30的的3个根是个根是x1, x2, x3, 则则x1x2x3 a3 / a0 ； 设方程设方程a0x4a1x3a2x2a3xa40的的4个根个根 是是x1, x2, x3, x4, 则则x1x2x3x4 a4 / a0 ； 由以上结论由以上结论, 推测出一般的结论推测出一般的结论:设方程设方程a0xna1xn-1a2xn-2an-1xan0的的 n个根是个根是x1, x2, , xn ,则则x1x2xn_.(1)n an/a0相关试题相关试题1: 例例2、（、（2009年高考湖南卷理科第年高考湖南卷理科第15题）将
5、正将正ABC分割成分割成n2(n2，nN) 个全等的小正三个全等的小正三角形角形(图2，图3分分别给出了出了n=2,3的情形的情形)，在每个三，在每个三角形的角形的顶点各放置一个数，使位于点各放置一个数，使位于ABC的三的三边边及及平行于某平行于某边的任一直的任一直线上的数上的数(当数的个数不少于当数的个数不少于3时)都分都分别依次依次等差数列，若等差数列，若顶点点A ,B ,C处的三个数互的三个数互不相同且和不相同且和为1,记所有所有顶点上的数之和点上的数之和为f(n)，则有有 f(2)=2，f(3)=_ ，f(n)=_ 一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现A(a)B(b)C
6、(c)x1x2gy1y2z1z2CAB图图2 2AB C图图3 3一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现2 、解法、解法3似乎违背了题意似乎违背了题意“若顶点若顶点A ,B ,C处的处的三个数互不相同三个数互不相同”这一条件，其实是命题人为了这一条件，其实是命题人为了干扰考生设计的陷阱，有此地无银三百两之嫌，干扰考生设计的陷阱，有此地无银三百两之嫌，这里利用了一般到特殊的思想方法求解。这里利用了一般到特殊的思想方法求解。一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现解题感悟：解题感悟：1 、以等差数列为背景，考察学生的阅读
7、理解能、以等差数列为背景，考察学生的阅读理解能力，运算能力，推理能力，合情猜想能力，能力力，运算能力，推理能力，合情猜想能力，能力立意高，设计新颖独特立意高，设计新颖独特;这是一道很好的探索性、这是一道很好的探索性、开放性、研究性的试题，解决其需要经历判断、尝开放性、研究性的试题，解决其需要经历判断、尝试、归纳、猜想与推证得过程，特别是从前若干特试、归纳、猜想与推证得过程，特别是从前若干特例中推理发现一般规律的能力。例中推理发现一般规律的能力。将正将正ABC分割成分割成n2(n2，nN) 个全等的小正三个全等的小正三角形角形(图2，图3分分别给出了出了n=2,3的情形的情形)，在每个三，在每个
8、三角形的角形的顶点各放置一个点各放置一个正正实数数，使位于，使位于ABC的三的三边边及平行于某及平行于某边的任一直的任一直线上的数上的数(当数的个数不少当数的个数不少于于3时)都分都分别依次成等依次成等比比数列，若数列，若顶点点A ,B ,C处的三的三个数互不相同且个数互不相同且积为1,记所有所有顶点上的数之点上的数之积为f(n)，则有有f(n)=_ 一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现A(a)B(b)C(c)x1x2gy1y2z1z2ACAB图图2 2B C图图3 31相关试题相关试题2: 变式变式 一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现相关试题相关试题3：（：
9、（2009湖北卷文）湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：例如： 他们研究过图他们研究过图1中的中的1，3，6，10，由于这些数，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称类似地，称图图2中的中的1，4，9，16这样的数称为正方形数。下这样的数称为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是列数中既是三角形数又是正方形数的是 （ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 C 1 3 6 101 4 9 16图图1 1图图2 2相关试题相关试题4： 已知数列
10、已知数列 满足满足 ，求求 的值。的值。相关试题相关试题5： 已知数列已知数列 满足满足 ，求连乘积求连乘积 的值。的值。一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现例例4、宁波市、宁波市2009学年度高三数学第一学期期末试卷学年度高三数学第一学期期末试卷(理科理科)第第17题：题：整数数列整数数列 满足满足:则数列则数列 的通项的通项分析：本题考生要经历观察分析：本题考生要经历观察-探究探究-归纳归纳- 猜想猜想-验证验证-证明的思维过程。证明的思维过程。 一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现二、二、类比推理在数列中
11、的体现类比推理在数列中的体现 类比推理：这种由两类对象具有某些类似特征和其中类比推理：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。征的推理称为类比推理（简称类比）。开普勒：开普勒：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最 可信赖的老师可信赖的老师 ”二、二、类比推理在数列中的体现类比推理在数列中的体现 例例5、（、（2009浙江文科第浙江文科第16题）题）设等差数列设等差数列 的前的前n项和为项和为Sn，则，则S4 , S8S4 , S12S8
12、 , S16S12 成等差数列类比以上结论有：成等差数列类比以上结论有：设等比数列设等比数列 的前的前n项积为项积为Tn，则，则T4， ， ， 成等比数列成等比数列【命题意图命题意图】此题是一个数列与类比推理结合此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力的方法和能力 二、二、类比推理在数列中的体现类比推理在数列中的体现 例例6、（、（2000上海）上海）在等差数列在等差数列 中，若中，若 则有等式则有等式 成立，类比上述性质，相应的，成立
13、，类比上述性质，相应的，在等比数列在等比数列 中，若中，若 则有等式则有等式 成立成立 二、二、类比推理在数列中的体现类比推理在数列中的体现 二、二、类比推理在数列中的体现类比推理在数列中的体现 记等差数列记等差数列 的前的前 项的和项的和 为利用倒序相加法为利用倒序相加法 ,可将可将 表示成首项为表示成首项为 末项末项 与项数与项数 的一个关系的一个关系式，记公式式，记公式 类似地，类似地，记等比数列记等比数列 的前的前 项积为项积为 且且 试类比等差数列求和的方法，可将试类比等差数列求和的方法，可将 表示成首项表示成首项 末项末项 与项数与项数 的一个关系式的一个关系式,记公式记公式 _相
14、关试题相关试题1：解：解：二、二、类比推理在数列中的体现类比推理在数列中的体现 等差数列有如下的性质：若数列等差数列有如下的性质：若数列 是等差数列，则是等差数列，则当当 时，数列时，数列 也是等差数列；也是等差数列；类比上述性质，相应的，若数列类比上述性质，相应的，若数列 是正项等比数是正项等比数列，当列，当 时，数列时，数列 也是等比数列。也是等比数列。 相关试题相关试题2：二、二、类比推理在数列中的体现类比推理在数列中的体现 相关试题相关试题3 ：已知命题：已知命题：“若数列若数列 为等差数列，且为等差数列，且 ” ，现已知数列，现已知数列 为等比数列，为等比数列， 且且 ，若类比上，若
15、类比上述结论，则可得述结论，则可得背景知识：基本数列的通项公式。背景知识：基本数列的通项公式。三、三、合情推理在解数列综合题中的体现合情推理在解数列综合题中的体现 等差数列和等比数列是数列中最基本也是最简等差数列和等比数列是数列中最基本也是最简单的两大数列，数列综合题难度最高莫非与不等单的两大数列，数列综合题难度最高莫非与不等式结合的题目，所涉及的非基本数列都要转换到式结合的题目，所涉及的非基本数列都要转换到基本数列进行求解，这就需要合情推理，观察其基本数列进行求解，这就需要合情推理，观察其结构，结合解题经验，对问题的走向做出预测，结构，结合解题经验，对问题的走向做出预测，当然这其中需要直觉、
16、估算、转换视角等思维方当然这其中需要直觉、估算、转换视角等思维方式的参与。式的参与。例例7、（、（2002年高考数学全国卷理科第年高考数学全国卷理科第22题）题）设数列设数列 满足满足()当当 时，求时，求 并由此猜想出并由此猜想出 的一个通项公式的一个通项公式 ；()当当 时，证明对所有的时，证明对所有的 有有 三、三、合情推理在解数列综合题中的体现合情推理在解数列综合题中的体现 分析：第分析：第()问，容易猜想问，容易猜想对第对第()问，用数学归纳法加以证明。问，用数学归纳法加以证明。难在第难在第() 问。注意到问。注意到 ，可把右边的，可把右边的 看成以看成以 为首项，为首项， 为公比的
17、等比数列的和。为公比的等比数列的和。能想到用数列能想到用数列 来控制数列来控制数列 ，因此只需证，因此只需证 三、三、合情推理在解数列综合题中的体现合情推理在解数列综合题中的体现 三、三、合情推理在解数列综合题中的体现合情推理在解数列综合题中的体现 求证：求证： 当当 时时（） （）（）例例8、2008浙江理科卷压轴题第浙江理科卷压轴题第22题题 已知数列已知数列 记记三、三、合情推理在解数列综合题中的体现合情推理在解数列综合题中的体现 三、三、合情推理在解数列综合题中的体现合情推理在解数列综合题中的体现 三、三、合情推理在解数列综合题中的体现合情推理在解数列综合题中的体现 三、三、合情推理在
18、解数列综合题中的体现合情推理在解数列综合题中的体现 相关试题相关试题1 (2008年全国卷一第年全国卷一第22题题)设函数设函数 , 数列数列 满足满足 （）证明：函数）证明：函数 在区间在区间 是增函数；是增函数； （）证明：）证明： ； （）设）设 , 整数整数 证明：证明： 三、三、合情推理在解数列综合题中的体现合情推理在解数列综合题中的体现 (2008年陕西卷第年陕西卷第22题题)已知数列已知数列 的首项的首项（）求）求 的通项公式；的通项公式；（）证明：对任意的）证明：对任意的 （）证明：）证明：相关试题相关试题2三、三、合情推理在解数列综合题中的体现合情推理在解数列综合题中的体现
19、从特殊观察寻找并发现一般规律并给予证明是从特殊观察寻找并发现一般规律并给予证明是新课程要求培养的一种数学思考方法，合情推理，新课程要求培养的一种数学思考方法，合情推理，也是科学研究的很重要的方法，具有猜测和发现也是科学研究的很重要的方法，具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新能力结论、探索和提供思路的作用，有利于创新能力的培养，随着新课程的实施这一思想方法的考查的培养，随着新课程的实施这一思想方法的考查会越来越受到重视。会越来越受到重视。 “合情推理是冒险的，有争议的和暂时的合情推理是冒险的，有争议的和暂时的” 美籍匈牙利数学家波利亚美籍匈牙利数学家波利亚（1887-1985），
